УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ ВУЗОВ РОССИИ
ПО ОБРАЗОВАНИЮ В ОБЛАСТИ ФИНАНСОВ,
УЧЕТА И МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ
УТВЕРЖДАЮ
Зам. Председателя Совета УМО
_________________
________ _________________ 2013 г.
ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА
дисциплины «Математический анализ»
Рекомендуется для направления 080100 «Экономика»
Квалификация (степень) выпускника: БАКАЛАВР
Москва 2013
1. Цели и задачи дисциплины:
Цель дисциплины:
Получение базовых знаний и формирование основных навыков по математическому анализу, необходимых для решения задач, возникающих в практической экономической деятельности.
Развитие понятийной математической базы и формирование определенного уровня математической подготовки, необходимых для решения теоретических и прикладных задач экономики и их количественного и качественного анализа.
Задачи дисциплины:
В результате изучения дисциплины «Математический анализ» студенты должны:
- владеть основными математическими понятиями дисциплины; иметь навыки работы со специальной математической литературой; уметь решать типовые задачи; уметь использовать математический аппарат для решения теоретических и прикладных задач экономики; уметь содержательно интерпретировать получаемые количественные результаты.
2. Место дисциплины в структуре ООП:
Дисциплина «Математический анализ» является базовой дисциплиной математического цикла федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению 080100 Экономика (квалификация – "бакалавр").
Изучение дисциплины «Математический анализ» основывается на базе знаний, умений и компетенций, полученных студентами в ходе освоения школьного курса «Алгебра и начала анализа», а также дисциплины «Линейная алгебра».
Дисциплина «Математический анализ» является базовым теоретическим и практическим основанием для всех последующих математических и финансово-экономических дисциплин подготовки бакалавра экономики.
3. Требования к результатам освоения дисциплины
В совокупности с другими дисциплинами базовой части ФГОС ВПО дисциплина «Математический анализ» направлена на формирование следующих общекультурных (ОК) и профессиональных (ПК) компетенций бакалавра экономики:
владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
способен логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-6);
способен к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-9);
способен собирать и анализировать исходные данные, необходимые для расчёта экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);
способен на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой базы рассчитывать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-2);
способен выполнять расчёты, необходимые для составления экономических разделов планов. Обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3);
способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-4);
способен выбирать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, анализировать результаты расчётов и обосновывать полученные выводы (ПК-5).
В результате освоения содержания дисциплины «Математический анализ» студент должен:
Знать:
- теоретические положения всех разделов дисциплины «Математический анализ»; понятийный аппарат математики; понятийный аппарат математического анализа; язык математики как универсальный язык науки. основы математических методов моделирования экономических систем основы математического анализа, необходимые для решения финансовых и экономических задач;
Уметь:
- применять математические методы для решения экономических задач; использовать понятийный аппарат математического анализа как инструмент научного познания и анализа, для исследования математических моделей в экономике; оперировать различными видами обобщений, включая образы, понятия, категории; применять приемы и методы мышления (анализ и синтез, индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, абстрагирование и аналогия), необходимые для интеллектуальной деятельности; четко, логично, аргументировано строить доказательства, делать умозаключения и выводы. работать с учебной и научной математической литературой; развивать интеллектуальную самостоятельность и активность; осуществлять интеллектуальное саморазвитие, самоусовершенствование. формировать позитивное отношение к умственному напряжению, преодолевать познавательные трудности; осуществлять поиск, сбор и анализ информации, необходимой для решения поставленной экономической задачи; осуществлять выбор соответствующего математического инструментария, необходимого для проведения расчетов и обработки полученных данных в соответствии с поставленной задачей; анализировать результаты расчетов, обосновывать полученные выводы; анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты; прогнозировать на основе стандартных математических моделей развитие экономических процессов и явлений, представлять результаты аналитической и исследовательской работы в виде выступления, доклада, информационного обзора, аналитического отчета с использованием графиков, таблиц, диаграмм.
Владеть
- математическими методами анализа количественных характеристик изучаемого объекта; навыками аргументированного объяснения, доказательства; приемами классификации, систематизации знаний на основе логического мышления. языком математики, необходимым для изучения всех последующих дисциплин, для решения экономических задач. понятийно-категориальным аппаратом математического анализа; навыками применения современного математического инструментария для анализа полученных данных; методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов (в части компетенций, соответствующих методам математического анализа). креативными навыками самостоятельной познавательной деятельности; умениями грамотно и эффективно пользоваться источниками информации, справочной литературы, ресурсами интернет.
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы | Всего часов / зачетных единиц | Семестры | |||
1 | 2 | 3 | 4 | ||
Аудиторные занятия (всего) | 108/3 | 36 | 72 | ||
В том числе: | - | - | - | - | - |
Лекции | 54/1,5 | 18 | 36 | - | - |
Практические занятия (ПЗ) | 54/1,5 | 18 | 36 | - | - |
Семинары (С) | - | - | - | - | - |
Лабораторные работы (ЛР) | - | - | - | - | - |
Самостоятельная работа (всего) | 108/3 | 36 | 72 | - | - |
В том числе: | - | - | - | - | - |
Курсовой проект (работа) | - | - | - | - | - |
Расчетно-графические работы | - | - | - | - | - |
Реферат | - | - | - | - | - |
Другие виды самостоятельной работы | 108/3 | 36 | 72 | - | - |
Работа с учебной литературой, решение задач | 22 | 10 | 12 | - | - |
Выполнение домашних заданий | 48 | 14 | 34 | - | - |
Выполнение заданий контрольных работ | 38 | 12 | 26 | - | - |
Вид промежуточной аттестации (экзамен) | 36 | 36 | |||
Общая трудоемкость: часы зачетные единицы | 288 | 108 | 180 | - | - |
8 | - | - |
5. Содержание дисциплины
5.1. Содержание разделов дисциплины
Математический анализ. Часть I
Раздел 1. Введение в анализ: множества, функции
1) Действительные числа, их свойства. Числовые множества. Элементы алгебры множеств. Обозначения для сумм и произведений. Окрестность точки. Ограниченные множества. Декартовы координаты на плоскости.
2) Числовые функции. Способы задания функций. Область определения и множество значений функции. График функции. Сложная и обратная функции. Характеристики функций: четность и нечетность, периодичность, монотонность, ограниченность.
3) Степенная, показательная и логарифмическая функции. Тригонометрические функции и обратные к ним. Элементарные функции. Свойства основных элементарных функций.
Раздел 2. Предел и непрерывность
4) Числовые последовательности. Способы задания последовательностей. Прогрессии. Формула сложных процентов.
5) Предел последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Переход к пределу в неравенствах, теорема о трех последовательностях. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями.
6) Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной ограниченной последовательности.* Число e.
7) Теорема Кантора о стягивающихся отрезках. * Точные границы числового множества.
8) Предел функции (по Гейне). Различные типы пределов: односторонние пределы, пределы в бесконечности, бесконечные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Основные свойства пределов функции: арифметические действия над пределами, ограниченность, переход к пределам в неравенствах. Предел сложной функции. Сравнение бесконечно малых функций: эквивалентные функции, символ 
.
9) Первый и второй* замечательные пределы. Формула непрерывных процентов.
10) Непрерывность функции в точке. Непрерывность суммы, разности, произведения и частного непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функции*. Непрерывность элементарных функций. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Точки разрыва функции, их классификация.
11) Свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы о существовании корня, о промежуточных значениях, об ограниченности функции, о достижении наибольшего и наименьшего значений*. Равномерная непрерывность*. Паутинные модели рынка.
Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
12) Производная функции. Дифференцируемость и дифференциал функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций, сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций.
13) Геометрический смысл производной и дифференциала функции. Уравнение касательной к графику функции.
14) Предельные величины в экономике. Эластичность функции, ее свойства и геометрический смысл. Логарифмическая производная. Задача о распределении налогового бремени.
15) Локальный экстремум функции, теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.
16) Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
17) Производные и дифференциалы высших порядков.
18) Формула Тейлора (Маклорена) с остаточным членом в формах Лагранжа и Пеано*. Разложение функций 
, 
, 
, 
, 
по формуле Маклорена.
19) Признак монотонности функции на интервале. Достаточные условия локального экстремума.
20) Выпуклые (вогнутые) функции. Достаточные условия выпуклости функции.* Необходимый и достаточный признаки точки перегиба.*
21) Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
22) Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Математический анализ. Часть II
Раздел 4. Интегральное исчисление функций одной переменной
23) Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной в неопределенном интеграле, интегрирование по частям.
24) Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций.
25) Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл (по Риману) и его свойства. Интегрируемость непрерывной функции.* Аддитивность определенного интеграла. Теорема о среднем.
26) Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
27) Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям.*
28) Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции и объема тела вращения.*
29) Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов.
30) Приближенное вычисление определенных интегралов. Формулы прямоугольников и Симпсона.*
Раздел 5. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
31) Пространство 
. Свойства расстояния. Окрестность точки. Внутренние и граничные точки множества. Открытые и замкнутые множества. Изолированные и предельные точки множества. Ограниченные множества.
32) Сходимость последовательности точек в 
, ее эквивалентность покоординатной сходимости.
33) Функции нескольких переменных. Поверхности (линии) уровня функции. Элементарные функции нескольких переменных.
34) Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений.*
35) Частные производные, дифференцируемость, дифференциал функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости.* Непрерывность дифференцируемой функции.
36) Производная сложной функции. Производная по направлению, градиент. Свойства градиента.
37) Эластичность функции нескольких переменных.
38) Однородные функции нескольких переменных. Формула Эйлера.
39) Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.*
40) Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие первого порядка. Достаточные условия существования локального экстремума.*
41) Выпуклые множества в 
. Выпуклые (вогнутые) и строго выпуклые (вогнутые) функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие выпуклости.* Достаточное условие строгой выпуклости дважды дифференцируемой функции.* Критерий выпуклости (строгой выпуклости) квадратичной формы.
42) Экстремумы выпуклых (вогнутых) функций. Теорема о глобальном характере экстремума выпуклой функции. Теорема о достижении выпуклой функцией глобального экстремума в стационарной точке.* Неравенство Йенсена для выпуклых функций.*
43) Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод исключения переменных. Метод множителей Лагранжа.
44) Нахождение глобальных экстремумов дифференцируемой функции на замкнутом ограниченном множестве.
Раздел 6. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
45) Кратные интегралы (двойные и тройные), их свойства. Геометрический смысл двойного интеграла. Сведение кратного интеграла к повторному.
46) Формула замены переменных в двойном интеграле.* Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов.
47) Несобственные кратные интегралы. Интеграл Эйлера-Пуассона.
Раздел 7. Числовые и степенные ряды
48) Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости.
49) Числовые ряды с положительными членами: критерий сходимости. Достаточные признаки сходимости: первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера и Коши* в предельной форме, интегральный признак Коши*.
50) Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства. Условно сходящиеся ряды.
51) Степенные ряды. Теорема Абеля. Область, интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенного ряда на интервале сходимости.*
52) Ряд Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в Маклорена. Разложения функций 
, 
, 
, 
, 
и 
в ряд Маклорена. Степенные ряды с произвольным центром их интервалы сходимости. Ряд Тейлора.
Раздел 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
53) Обыкновенные дифференциальные уравнения n-го порядка, основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка, нормальная форма. Поле направлений, интегральные кривые. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме.* Общее и частное решения уравнения. Общий интеграл. Особые решения.
54) Некоторые типы интегрируемых уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные, в полных дифференциалах, линейные, Бернулли. Автономные уравнения и их свойства.
55) Линейные дифференциальные уравнения. Теорема о существовании и единственности решения.* Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Теорема об общем решении линейного неоднородного уравнения. Пространство решений линейного однородного уравнения, фундаментальная система решений. Определитель Вронского системы решений. Теорема об общем решении линейного однородного уравнения.
56) Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (на примере уравнений второго порядка). Характеристическое уравнение и фундаментальная система решений однородного уравнения. Построение частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида методом неопределенных коэффициентов.
57) Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Векторная запись, матрица системы. Собственные значения и собственные векторы матрицы системы, частные решения системы. Фундаментальный набор решений и общее решение системы уравнений в случае существования базиса из собственных векторов. Построение общего решения с помощью метода исключения неизвестных.
58) Задачи экономической динамики, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Модели естественного и логистического роста.
5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№№п/п | Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин базовой части | №№ разделов дисциплины «Математический анализ», необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин | |||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||
1 | Микроэкономика | * | * | * | * | * | |||
2 | Теория вероятностей и математическая статистика | * | * | * | * | * | * | * | |
3 | Теория игр | * | * | * | * | * | * | * | |
4 | Макроэкономика | * | * | * | * | * | * | ||
5 | Статистика | * | * | * | * | * | * | ||
6 | Бухгалтерский учет и анализ | * | * | * | * | * | |||
7 | Финансовый менеджмент | * | * | * | * | * | |||
8 | Мировая экономика и МЭО | * | * | * | * | * | * | ||
9 | Экономика фирмы | * | * | * | * | * | * | * | * |
10 | Методы оптимальных решений | * | * | * | * | * | * | * | * |
11 | Основы финансовых вычислений | * | * | * | * | * | * | * | * |
12 | Эконометрика | * | * | * | * | * | * | * | * |
13 | Макроэкономическое планирование и прогнозирование | * | * | * | * | * | * | ||
14 | Финансовые рынки | * | * | * | * | * | * | * | * |
15 | Оценка стоимости бизнеса | * | * | * | * | * | * | * | * |
5.3. Разделы дисциплины и виды занятий
№ п/п | Наименование раздела дисциплины | Лекции | Практические занятия | СРС | Всего |
1 | Введение в анализ: множества, функции | 2 | 3 | 5 | 10 |
2 | Предел и непрерывность | 7 | 6 | 13 | 26 |
3 | Дифференциальное исчисление функций одной переменной | 9 | 9 | 18 | 36 |
4 | Интегральное исчисление функций одной переменной | 8 | 8 | 16 | 32 |
5 | Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных | 10 | 10 | 20 | 40 |
6 | Интегральное исчисление функций нескольких переменных | 2 | 2 | 4 | 8 |
7 | Числовые и степенные ряды | 8 | 8 | 16 | 32 |
8 | Обыкновенные дифференциальные уравнения | 8 | 8 | 16 | 32 |
Всего | 54 | 54 | 108 | 216 | |
Экзамен | 72 | ||||
Итого: | 288 |
6. Лабораторный практикум
Не предусмотрен
7. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
Не предусмотрены
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины
а) основная литература:
1. Математика в экономике: Учебник: В 3-х ч. Ч. 2. / , . – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2010. – 560 с. (Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации).
2. Сборник задач по курсу «Математика в экономике». В 3-х частях. Ч.2. Математический анализ: учеб. пособие /, , и др.; под ред. и . – М.: Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2010. - 368 с.
3. . Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Учебное пособие для подготовки бакалавров /Под редакцией и . – М.: Финакадемия, 2009. - 92 с.
4. . Математический анализ. Часть 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие для подготовки бакалавров /Под редакцией и . – М.: Финакадемия, 2009. - 96 с.
5. , . Математический анализ. Часть 3. Интегральное исчисление. Учебное пособие для подготовки бакалавров /Под редакцией и . – М.: Финакадемия, 2009. - 104 с.
6. . Математический анализ. Часть 4. Функции нескольких переменных. Учебное пособие для подготовки бакалавров /Под редакцией и . – М.: Финакадемия, 2009. - 116 с.
7. , . Математический анализ. Часть 5. Ряды. Часть 6. Дифференциальные уравнения. Учебное пособие для подготовки бакалавров /Под редакцией и . – М.: Финакадемия, 2009. - 104 с.
б) дополнительная литература:
8. - C. P. Simon, L. Blume. Mathematics for Economists. – Norton Company. N.-Y., 1994.
9. E. Dowling. Introduction to Mathematical Economics. – Shaum’s Outline Series. N.-Y., 2001.
10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Учебный материал дисциплины «Математический анализ» состоит из следующих разделов: 1) введение в анализ; 2) предел и непрерывность функций; 3) дифференциальное исчисление функций одной переменной; 4) интегральное исчисление функций одной переменной; 5) дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; 6) интегральное исчисление функций нескольких переменных; 7) числовые и степенные ряды; 8) дифференциальные уравнения.
Изучение разделов «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной» служит углублению знаний, полученных в школьном курсе «Алгебра и начала анализа», как в отношении более основательной теоретической базы, так и в направлении решения более трудных задач.
При изучении раздела «Предел и непрерывность функций» студенты знакомятся с основами математического анализа как раздела высшей математики.
В разделе «Интегральное исчисление функций одной переменной» рассматривается решение задачи, обратной к задаче нахождения производной. Трудности, возникающие при освоении раздела, носят как технический характер (приемы вычисления неопределенных интегралов), так и принципиальный характер: не любой интеграл от элементарной функции может быть представлен как элементарная функция. Для хорошего освоения раздела требуется решение большого количества задач.
Раздел «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных» является для студентов новым и требует большего времени на освоение. Так как математическая формализация экономических задач требует рассмотрения, как правило, функций нескольких переменных, то для успешной работы с математическими моделями экономических процессов этот раздел обязателен для изучения.
При изучении раздела «Интегральное исчисление функций нескольких переменных» студенты знакомятся с простейшими задачами вычисления двойных интегралов, которые используются на 2-м курсе в учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика».
В разделе «Числовые и степенные ряды» студенты осваивают новые для них понятия. Центральным моментом при изучении числовых рядов является понятие сходимости ряда, которое позволяет определить бесконечную сумму ряда или утверждать, что такой суммы для данного ряда не существует. В степенных рядах важнейшим обстоятельством является возможность разложения функций в степенной ряд с последующим их дифференцированием или интегрированием. Это позволяет применять степенные ряды как в приближенных вычислениях, так и при решении дифференциальных уравнений.
В разделе «Обыкновенные дифференциальные уравнения» используются понятия производной и интеграла. Дифференциальные уравнения часто возникают при построении математических моделей экономических процессов.
Для успешного освоения учебного материала курса «Математический анализ» требуются систематическая работа по изучению лекций и рекомендуемой литературы, решению домашних задач и домашних контрольных работ, а также активное участие в работе семинаров.
Показателем освоения материала служит успешное решение задач предлагаемых домашних контрольных работ и выполнение аудиторных самостоятельных и контрольных работ.
В качестве оценочных средств программой дисциплины предусматривается:
текущий контроль (аудиторные контрольные работы, домашние контрольные работы, домашние задания).
промежуточный контроль (Часть I – экзамен, часть II – экзамен).
Промежуточный контроль изучения дисциплины «Математический анализ» проводится в форме письменного экзамена в 1-ом и 2-ом семестре. Итоговая оценка за экзамен выставляется в форме «неудовлетворительно», «удовлетворительно», «хорошо», «отлично» и в баллах по 100-балльной шкале:
«неудовлетворительно» – менее 51 балла;
«удовлетворительно» – от 51 до 69 баллов;
«хорошо» – от 70 до 85 баллов;
«отлично» – свыше 85 баллов;
и формируется:
аттестационными баллами семестра (20);
экзаменационным баллом (80).
Аттестационный балл семестра складывается из баллов текущей «аттестации» в середине семестра (10) и баллов второй половины семестра «работа в году» (10), каждый из которых учитывает успешность работы студента в семестре: выполнение домашних заданий, аудиторных и домашних контрольных работ, активность студента во время аудиторных занятий, выполнение им заданий для самостоятельной работы и результаты собеседований по лекционному материалу и материалу практических заданий.
Оценка за работу в течение семестра (текущий контроль) выставляется по 100-балльной шкале, в соответствии с нормативными документами вуза, и затем конвертируется в 10-балльную оценку следующим образом:
ниже 51 балла 0 баллов (не аттестовано);
51 — 55 баллов 1 балл;
56 — 60 баллов 2 балла;
61 — 65 баллов 3 балла;
66 — 70 баллов 4 балла;
71 — 75 баллов 5 баллов;
76 — 80 баллов 6 баллов;
81 — 85 баллов 7 баллов;
86 — 90 баллов 8 баллов;
91 — 95 баллов 9 баллов;
96 — 100 баллов 10 баллов.
Распределение максимальных баллов по видам работы:
№ п/п | Вид отчетности | Баллы |
1. | Работа в семестре | 20 |
2. | Экзамен | 80 |
3. | Итого: | 100 |
Разработчики:
Финансовый университет | профессор кафедры «Математика-1» | |
Финансовый университет | Профессор кафедры «Математика-1» |
Эксперты:
РГТУ (Москва) | Зав. кафедрой | |
ЦЭМИ РАН | Главный научный сотрудник |
* Без доказательства
