Wie die S-Matrix die Wechselwirkungen zwischen Teilchen beschreibt

Die Streumatrix (S-Matrix) ist ein zentrales Element in der Streutheorie und dient als Verbindungsglied zwischen der theoretischen Beschreibung und den experimentellen Ergebnissen. Sie ist von entscheidender Bedeutung für das Verständnis von Kollisionen zwischen Teilchen, da die experimentelle Untersuchung von Streuprozessen die einzige Methode ist, die uns zur Verfügung steht, um die Struktur fundamentaler Wechselwirkungen zu erfassen. In der Praxis ermöglicht uns die Streumatrix, die Übergänge von einem Anfangszustand zu einem Endzustand zu beschreiben und die resultierenden physikalischen Prozesse zu analysieren.

Im Kontext der Streutheorie ist es wichtig, zwischen den sogenannten "in"-Zuständen und den "out"-Zuständen zu unterscheiden. Der "in"-Zustand beschreibt die Situation zu einem sehr frühen Zeitpunkt, bevor die Teilchen miteinander wechselwirken, während der "out"-Zustand den Zustand nach der Wechselwirkung beschreibt, wenn die Teilchen sich wieder weit voneinander entfernt haben. Diese Zustände sind entscheidend, um die Entwicklung der Teilchen und ihre Wechselwirkungen über die Zeit hinweg zu verstehen.

In der Schrödinger-Darstellung evolviert der Zustand $|p_1, \alpha; p_2, \beta; in \rangle$ über die Zeit, und seine Entwicklung folgt einer komplexen Bahn im Zustandsraum, die durch den Hamiltonoperator des Systems bestimmt wird. In der Heisenberg-Darstellung hingegen ist die Zeitentwicklung dieses Zustands durch einen festen Vektor gegeben, der ebenfalls durch die Momente $p_1$ und $p_2$ bestimmt ist. Dies führt uns zu der Vorstellung, dass der "in"-Zustand als Teil der vollständigen Basis von Zuständen betrachtet werden kann, die alle möglichen Teilchenkonfigurationen zu einem bestimmten frühen Zeitpunkt beschreiben.

Für bestimmte Systeme, wie ein nicht-relativistisches Teilchen in einem definierten Potential, dessen Energie im Bereich $E < 0$ diskret ist und für $E > 0$ ein kontinuierliches Spektrum aufweist, ist es möglich, normalisierte Wellenpakete zu konstruieren, die durch eine Überlagerung von Eigenzuständen mit $E > 0$ beschrieben werden. In solchen Fällen wird das Verhalten des Systems im Unendlichen vorwiegend von freien Teilchen bestimmt. Der Zustand ist daher zu jedem Zeitpunkt weit entfernt von der Wechselwirkung, und die Bewegung erfolgt hauptsächlich im Unendlichen.

Es gibt jedoch auch komplexere Fälle, in denen die Teilchen in einem gebundenen Zustand verbleiben, selbst wenn sie sich weit voneinander entfernen. Ein Beispiel hierfür wäre ein Elektron im Wasserstoffatom, das sich nicht einfach auflöst, sondern weiterhin als gebundenes System existiert. In diesen Fällen ist die Basis der "in"-Zustände nicht vollständig, es sei denn, wir schließen auch gebundene Zustände in das System ein. Eine vollständige Beschreibung des Systems würde also auch Wechselwirkungen wie die Streuung eines Elektrons an einem Wasserstoffatom umfassen:

Dies verdeutlicht, dass der "in"-Zustand immer auch solche gebundenen Zustände umfassen muss, um die Physik eines Systems vollständig zu bestimmen.

Darüber hinaus ist die Einführung des "out"-Zustandssystems genauso entscheidend. Der "out"-Zustand beschreibt die Situation zu einem späteren Zeitpunkt $t = +T/2$, wenn die Teilchen weit voneinander entfernt sind und keine Wechselwirkungen mehr stattfinden. Diese Zustände können ebenfalls durch eine Überlagerung von freien Teilchenzuständen beschrieben werden, wobei die Impulse der einzelnen Teilchen definiert sind:

Die vollständige Basis des "out"-Zustandssystems muss ebenfalls die Möglichkeit umfassen, alle möglichen Endzustände zu erreichen. Die Vollständigkeit des "out"-Zustandes wird durch eine ähnliche Gleichung wie für die "in"-Zustände beschrieben:

Wie die Asymptotische Hypothese und die Selbstenergiekorrekturen das S-Matrix-Konzept beeinflussen

Die S-Matrix-Theorie geht von der Annahme aus, dass Teilchen in den Grenzfällen von Zeitverläufen, die gegen ±∞ gehen, keine Wechselwirkungen miteinander haben. In diesen extremen Zeitbereichen tendieren die Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Teilchen gegen null. Diese Annahme führt zu dem sogenannten Asymptotischen Zustand, bei dem Teilchen in einem Zustand ohne Wechselwirkung ankommen oder sich wieder trennen. Dies bedeutet, dass wir die Wechselwirkungen in der Vergangenheit und Zukunft als vernachlässigbar betrachten können, was die Berechnung und das Verständnis von Streuprozessen erheblich vereinfacht. Doch diese Theorie erfordert eine zusätzliche Präzisierung, da es nicht möglich ist, ein Teilchen vollständig von seiner eigenen Wechselwirkung zu isolieren.

Das gleiche Problem tritt im quantenmechanischen Kontext auf, insbesondere im Zusammenhang mit der Berechnung von Green’s Funktionen. Im Fall des λφ^4-Modells wird dieses Problem durch den Renormalisierungsprozess gelöst. Renormalisierung ist ein Verfahren, bei dem unendliche Beiträge aus den Berechnungen entfernt werden, sodass physikalische Ergebnisse erhalten werden, die mit experimentellen Beobachtungen übereinstimmen. Diese Technik wird später in den Berechnungen der Zweipunktfunktion im nächsten Kapitel weiter erläutert.

Ein weiteres grundlegendes Konzept in der S-Matrix-Theorie ist die Anwendung der LSZ-Reduktionsformel. Diese Formel stellt eine Verbindung zwischen Green’s Funktionen und den S-Matrix-Elementen her. Insbesondere wird das vierpunktige Green’s Funktion G(x1, x2, x3, x4) mit einem bestimmten Streuprozess, wie beispielsweise der Reaktion p1 + p2 → p3 + p4, in Verbindung gesetzt. Wenn wir die Feynman-Regeln zur Berechnung des Green’s Functions anwenden, sehen wir, dass jede Linie im Diagramm aus dem Punkt x1 kommt und mit den anderen Diagrammpunkten verbunden ist. Die Fourier-Transformation der Green’s Funktion in Bezug auf x1 mit einem Impuls p1 enthält daher einen Faktor, der der Fourier-Transformation des Propagators ∆F entspricht. Bei der Berechnung ergibt sich ein Pol, wenn der Impuls p1 auf der „Massenschale“ liegt, d.h. wenn p1^2 = m^2.

Die LSZ-Formel zeigt uns, dass wir die Beiträge des Green’s Functions durch Subtrahieren des Terms (p1^2 − m^2) isolieren können. Die Anwendung dieser Methode auf die Fourieranalyse von Green’s Funktionen ermöglicht es uns, das Matrixelement der T-Produktfelder zwischen dem Vakuum und einem Zustand mit einem Teilchenimpuls p1 zu berechnen. Dies stellt einen wichtigen Schritt in der Berechnung der S-Matrix dar, da es uns erlaubt, die verschiedenen Beiträge eines Streuprozesses zu analysieren und zu bestimmen.

Durch das Einsetzen der Fourier-Transformationen und das Eliminieren des gesamten T-Produkts der Felder erhalten wir schließlich das gewünschte Ergebnis. Die Reduktionsformeln ermöglichen es uns, die S-Matrix-Elemente für Reaktionen mit beliebig vielen ein- und ausgehenden Teilchen zu berechnen. Diese Formeln bieten einen direkten Zugang zu den notwendigen Beziehungen zwischen Green’s Funktionen und den S-Matrix-Elementen, die für die Berechnung von Streuprozessen erforderlich sind.

Ein wichtiger Punkt, den man in diesem Zusammenhang hervorheben muss, ist die Lorentz-Invarianz der Streukreuzabschnitte. Da die Green’s Funktion Lorentz-invariant ist und auch unter Translation invariiert, gilt dies auch für den Fourier-Transformierten. Dies führt zu der bekannten Delta-Funktion (2π)^4δ(4)(p_in − p_fin), die sicherstellt, dass die Gesamtenergie und der Gesamtimpuls vor und nach der Wechselwirkung erhalten bleiben. Diese Invarianz ist entscheidend, da sie die Konsistenz der theoretischen Berechnungen mit den symmetrischen Eigenschaften der Raum-Zeit sicherstellt.

In der praktischen Berechnung des Streukreuzabschnitts führt die Anwendung der Lorentz-Invarianz zu den Formeln, die die Struktur der Wechselwirkungen und die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Streuprozesses ausdrücken. Die Invariante Phasenraumformel und der Invariante Flussfaktor spielen dabei eine entscheidende Rolle. Die Berechnungen des Streukreuzabschnitts, die auf diesen Formeln basieren, sind nicht nur für theoretische Untersuchungen von Interesse, sondern auch von zentraler Bedeutung für die Analyse experimenteller Daten.

Was sind die Auswirkungen von Diagrammen mit mehrfachen Insertionen auf die Quantenfeldtheorie?

Die Beiträge von Diagrammen mit mehreren Insertionen stellen eine bedeutende Erweiterung der Feynman-Diagramme dar, die es ermöglichen, die Wechselwirkungen in der Quantenelektrodynamik (QED) genauer zu untersuchen. Wenn wir ∆(p) als die Summe aller einzelnen Insertionen definieren, erhalten wir die Form:

Dies bedeutet, dass der Propagator, der für die Beschreibung von Teilchenbewegungen innerhalb eines Feldes verwendet wird, durch zusätzliche Beiträge beeinflusst wird. Diese Diagramme mit Einzel- oder Mehrfachinsertionen führen zu einer Modifikation des Propagators, was sich auf die renormalisierten Größen wie Masse und Kopplungskonstanten auswirkt. Beispielsweise kann der Propagator iSF(p) mit der entsprechenden Formel ausgedrückt werden, wobei man die Reihenentwicklung von ∆(p) betrachtet:

Dieser Ausdruck führt zu einer Singularität bei p/- = m, es sei denn, Ã = 0. Dies ist eine entscheidende Bedingung, da sie die Masse des Elektrons in der Theorie fixiert und damit auch die Natur der Interaktionen beeinflusst.

Hierbei ist die Funktion Λµ(p′, p) die Korrektur der Vertexfunktion, die durch ein Integral über alle möglichen Momenta k beschrieben wird. Dieses Integral ist jedoch mit Divergenzen behaftet, sowohl für k → ∞ als auch für k → 0, was auf die Notwendigkeit einer Regularisierung hinweist. Eine solche Regularisierung könnte beispielsweise darin bestehen, dem Photon eine kleine Masse λ zuzuordnen, die nur am Ende der Berechnungen auf Null gesetzt wird:

Die Divergenzen, die durch das Integral entstehen, erfordern eine genaue Untersuchung und Berechnung der Korrektur. In vielen Fällen wird gezeigt, dass die Divergenzen durch den entsprechenden Faktor γµ proportional sind, was es ermöglicht, die Korrektur in eine divergente und eine nicht-divergente Komponente zu unterteilen. Diese Trennung wird durch die Bedingung ū(p)Λµ(p, p)u(p) = Lū(p)γµu(p) und die daraus resultierende renormierte Form der Vertexfunktion weiter spezifiziert:

Diese nicht-divergente Komponente, Λµc(p′, p), ist für die genaue Bestimmung der Wechselwirkungen auf Teilchenebene entscheidend.

Es ist wichtig zu betonen, dass durch die Korrektur der Vertexfunktion auch eine weitere Renormierung des elektrischen Ladung e0 vorgenommen wird:

Diese zusätzliche Renormierung hat erhebliche Auswirkungen auf die Dynamik der Theorie und steht in direkter Verbindung mit der Ward-Identität, die eine fundamentale Beziehung zwischen den Korrekturen des Elektronenpropagators und der Vertexkorrektur herstellt. Dies führt zu einer vollständigen Kompensation der beiden Renormierungen der elektrischen Ladung, was wiederum zu einem exakten Ergebnis für die Ladung des Elektrons und anderer geladenen Teilchen führt.

Ein weiteres Schlüsselelement ist die Ward-Identität, die im Zusammenhang mit der Quantenfeldtheorie der elektromagnetischen Wechselwirkung von zentraler Bedeutung ist. Die Identität lautet:

Diese Beziehung, die bereits in Kapitel 4 abgeleitet wurde, ermöglicht es, die Renormierungskonstanten Z1 und Z2 genau zu berechnen und zu zeigen, dass diese Konstanten durch die Korrekturen am Propagator und an der Vertexfunktion übereinstimmen. Es stellt sich heraus, dass dies eine unverzichtbare Eigenschaft der Quantenfeldtheorie ist, die die universelle Natur der Kopplungskonstanten für alle Teilchen mit elektrischer Ladung erklärt, selbst wenn man den Unterschied in den verschiedenen Teilchenarten wie Elektronen, Myonen und Tau-Leptonen berücksichtigt.

Warum sind supersymmetrische Teilchen und der Protonzerfall entscheidend für das Verständnis der Teilchenphysik?

Ab etwa dem Jahr 2000 begannen mehrere Autoren, auf eine potenzielle Verbesserung der Konvergenz zu einem Punkt der großen Vereinheitlichung hinzuweisen, wenn man davon ausging, dass bei Energien von etwa 1 TeV Teilchen, die durch eine neue Symmetrie – die Supersymmetrie – vorhergesagt wurden, produziert werden könnten. Supersymmetrie stellt eine Verbindung zwischen Teilchen mit unterschiedlichen Spins her und hat das Potenzial, die bestehende Theorie der Teilchenphysik signifikant zu erweitern. Bislang gibt es jedoch keinerlei Anzeichen für die Existenz solcher supersymmetrischen Teilchen, selbst bis zu Massen von 500 bis 600 GeV. In den kommenden Jahren wird die Suche nach supersymmetrischen Teilchen im CERN mit dem Large Hadron Collider (LHC) mit maximaler Energie und Luminosität weiter intensiviert. Das Entdeckungspotential liegt bei etwa 2–3 TeV.

Diese Suche nach supersymmetrischen Teilchen ist von grundlegender Bedeutung für das Fortschreiten der Teilchenphysik. Denn diese Teilchen könnten helfen, die noch offenen Fragen im Standardmodell zu beantworten, wie etwa die Natur der Dunklen Materie und die Vereinheitlichung der fundamentalen Wechselwirkungen. Es wird vermutet, dass die Existenz dieser Teilchen eine tiefere Symmetrie in der Natur widerspiegeln könnte, die bisher nicht entdeckt wurde.

Dieser Versuch, den Protonzerfall zu messen, ist nicht nur ein technisches Unterfangen, sondern steht im direkten Zusammenhang mit der Frage, ob die Modelle der großen Vereinheitlichung (Grand Unified Theories, GUTs) tatsächlich korrekt sind. Der Protonzerfall ist eine der möglichen Konsequenzen dieser Theorien, und seine Messung könnte zu einer Bestätigung oder Widerlegung der aktuellen Vorstellungen führen. Die Suche nach dem Protonzerfall steht daher im Mittelpunkt der Experimente der nächsten Jahrzehnten, insbesondere bei der Weiterentwicklung von Detektoren und Technologien, die den Zerfall bei extrem langen Zeitskalen nachweisen könnten.

Ein weiteres faszinierendes Konzept in der theoretischen Teilchenphysik ist die Idee der spontanen Symmetriebrechung, die im Standardmodell durch das Higgs-Mechanismus realisiert wird. Das Higgs-Boson, das in den 2010er Jahren am LHC experimentell nachgewiesen wurde, ist ein Beispiel für ein Skalarfeld, das eine zentrale Rolle im Mechanismus der Massenentstehung spielt. Ein Skalarfeld mit einer speziellen Wechselwirkung kann eine spontane Symmetriebrechung hervorrufen, die notwendig ist, damit die Quarks, Leptonen und Vektorfelder Massen erhalten.

Es ist wichtig, dass der Leser erkennt, dass diese Theorien und Modelle nicht isoliert betrachtet werden können. Sie hängen eng miteinander zusammen und beeinflussen sich gegenseitig. Die Entdeckung supersymmetrischer Teilchen könnte das Verständnis der Dunklen Materie revolutionieren und neue Perspektiven auf die Vereinheitlichung der fundamentalen Wechselwirkungen eröffnen. Gleichzeitig stellt die Untersuchung des Protonzerfalls und der Stabilität des Protons eine kritische Testmöglichkeit für die Gültigkeit dieser Theorien dar. Auch die Rolle des Higgs-Bosons im Standardmodell und die damit verbundene Symmetriebrechung sind für das umfassende Verständnis der Naturgesetze von zentraler Bedeutung.

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