Wie definiert und verändert sich das Axiomsystem in der Mathematik, insbesondere in der Geometrie?

Die Frage nach der Wahrheit von Axiomen gehört zu den grundlegendsten und zugleich am stärksten diskutierten Themen in der Philosophie der Mathematik. Axiome bilden die Ausgangspunkte eines deduktiven Systems, aus denen durch logisch-deduktive Methoden, die bereits bei den alten Griechen ihren Ursprung haben, neues Wissen gewonnen wird. Dabei sind Axiome und Postulate grundsätzliche Annahmen, die ohne Beweis akzeptiert werden, denn ohne eine solche Basis lässt sich nichts herleiten. Der logische Aufbau der Mathematik beruht darauf, dass alle weiteren Aussagen (Theoreme) aus diesen Grundannahmen zwingend folgen.

Die Veränderung des Axiombegriffs spiegelt sich besonders in der Entwicklung der Geometrie wider. Während die alten Griechen Geometrie als eine unter vielen Naturwissenschaften betrachteten und ihre Sätze auf Erfahrungswahrheiten gründeten, verschob sich die Perspektive im 19. Jahrhundert fundamental. Durch Variationen im Axiomensystem – speziell durch Modifikation des Parallelpostulats – entstanden alternative Geometrien, die heute als nicht-euklidische Geometrien bekannt sind. Diese Entwicklung begann mit Carl Friedrich Gauss und Ferdinand Karl Schweikart, deren Ideen jedoch erst später, durch Lobatschewski und János Bolyai, öffentlich gemacht wurden. Beide veröffentlichten unabhängig voneinander grundlegende Arbeiten zur hyperbolischen Geometrie, die das Parallelpostulat negierten und somit die Grundlage einer neuen geometrischen Welt eröffneten.

Die axiomatische Beschreibung der euklidischen Geometrie wurde ebenfalls weiterentwickelt. Euklids ursprüngliche fünf Postulate genügen nicht, da sie implizit mehrere nicht näher definierte Annahmen enthalten. David Hilbert formulierte ein umfassendes Axiomensystem mit etwa zwanzig Axiomen, das die Basis für eine konsistente Begründung der klassischen Geometrie bildet. Unabhängig von der Wahl der Axiomensysteme ist das Parallelenpostulat – in einer seiner zahlreichen äquivalenten Formen – eine zentrale Annahme. Wird dieses Postulat entfernt oder durch seine Negation ersetzt, entsteht ein neues geometrisches System: die absolute Geometrie oder nicht-euklidische Geometrie.

Neben den formalen Überlegungen ist wichtig zu verstehen, dass Axiome nicht nur als willkürliche Regeln angesehen werden dürfen, sondern als notwendige Voraussetzungen für eine kohärente Theorie. Sie sind Ausgangspunkte, deren Auswahl die Art und Weise bestimmt, wie die Mathematik strukturiert ist und welche Aussagen als gültig gelten. Die historische Entwicklung der Geometrie verdeutlicht zudem die Wechselwirkung zwischen mathematischer Abstraktion und physikalischer Wirklichkeit, was zeigt, dass Mathematik als Wissenschaft eine doppelte Funktion hat: Sie schafft formale Systeme mit innerer Logik und modelliert gleichzeitig die Welt, deren Beschaffenheit mit den Mitteln der Mathematik untersucht wird.

Wie beeinflussen Emotionen die gesellschaftliche Wahrnehmung von Künstlicher Intelligenz?

Die Auseinandersetzung mit den aktuellen Entwicklungen im Bereich der Künstlichen Intelligenz wird zunehmend von emotional aufgeladenen Debatten geprägt, deren Grundlage oft weniger im Wissen als vielmehr in Spekulation, Wunschdenken und Furcht liegt. Diese Tendenz ist weder neu noch überraschend. Bereits in den 1980er Jahren entbrannte eine vergleichbare Diskussion rund um das Thema Computerschach. Die Faszination wuchs bis zu jenem Moment im Jahr 1996, als Garri Kasparow, der damalige Weltmeister, eine Partie gegen das IBM-System Deep Blue verlor. Was folgte, war ein kurzer öffentlicher Sturm an Kommentaren, danach jedoch setzte eine sachliche, technologische Weiterentwicklung ein – frei von dramatisierten Projektionen.

Ein ähnliches Muster wiederholt sich gegenwärtig im Zusammenhang mit der Entwicklung autonomer Fahrzeuge. Obwohl Roboterfahrzeuge bereits seit Jahren in spezialisierten Bereichen eingesetzt werden, ohne nennenswerte Zwischenfälle zu verursachen, konzentriert sich die öffentliche Wahrnehmung vor allem auf hypothetische Gefahren und Extremszenarien. Die Diskussionen werden dominiert von Zukunftsängsten, von der Angst vor Kontrollverlust, von der Sorge um ethische Dilemmata, während die realen technologischen Fortschritte oft unbeachtet bleiben.

Besonders auffällig ist dies im aktuellen Diskurs über Sprachmodelle wie GPT-4. Die Faszination über die Fähigkeit dieser Systeme, komplexe Texte zu erzeugen und scheinbar „intelligent“ zu antworten, wird fast vollständig überlagert durch eine Welle der Kritik: Urheberrechtsverletzungen, Plagiate, Faktenverzerrungen, potenzielle Desinformation und die angebliche Einschränkung menschlicher Kreativität dominieren die öffentliche Debatte. Rasch werden Forderungen nach Regulierung, gesetzlichen Verboten und Beschränkungen laut – als handle es sich bei diesen Technologien um unkontrollierbare Gefahrenquellen.

Dabei ist der Missbrauch technischer Innovation kein neues Phänomen. Jede neue Technologie – sei es das Buchdruckverfahren, der Film, das Fernsehen oder das Internet – wurde zunächst mit Skepsis betrachtet, als Bedrohung gedeutet, häufig moralisch verurteilt. Die Möglichkeit, technische Mittel auch negativ zu nutzen, liegt jedoch nicht in der Natur der Technologie selbst, sondern im Verhalten der Menschen. Es ist daher kaum zielführend, den Fortschritt zu dämonisieren, anstatt ihn differenziert zu betrachten.

Nur durch informierte Auseinandersetzung lässt sich der Boden bereiten für eine gesellschaftliche Integration von KI-Systemen, die sowohl Chancen als auch Risiken klar benennt. Das Ziel besteht darin, jedem Menschen – unabhängig vom beruflichen oder akademischen Hintergrund – die Möglichkeit zu geben, Entwicklungen nachvollziehen zu können, mitzureden und sich im eigenen beruflichen Umfeld fundiert weiterzubilden. Dazu bedarf es keiner Spezialisierung, sondern der Bereitschaft, sich in den Prozess der Wissensaneignung einzubringen.

Für vertieftes Verständnis sind zusätzliche Lehrmaterialien, spezialisierte Fachliteratur und praktische Kurse unabdingbar. Viele dieser Ressourcen stehen heute online zur Verfügung und erlauben es, eigene Erfahrungen mit KI-Systemen zu sammeln. Solche praktische Auseinandersetzung ist nicht nur lehrreich, sondern auch notwendig, um emotionale Reaktionen in rationale Urteilsfähigkeit zu überführen.

Was zusätzlich bedacht werden sollte: Technologische Entwicklungen geschehen nicht im luftleeren Raum. Sie sind eingebettet in gesellschaftliche, wirtschaftliche und politische Kontexte, in denen Machtverhältnisse, Interessen und Normen eine zentrale Rolle spielen. Wer über Künstliche Intelligenz spricht, sollte daher nicht nur Algorithmen, Daten und Systeme im Blick haben, sondern auch die Institutionen, die sie finanzieren, regulieren oder kontrollieren. Ebenso ist das Bildungssystem gefordert: Eine kritische Technologiebildung muss früh ansetzen, um zukünftige Generationen zu mündigen Akteuren im digitalen Wandel zu machen.

Wie die Ideen von John von Neumann und Norbert Wiener die Entwicklung der Künstlichen Intelligenz prägten

John von Neumann und Norbert Wiener gehören zu den herausragenden Wissenschaftlern, deren Arbeiten das Fundament für die heutige Künstliche Intelligenz (KI) gelegt haben. Beide trugen maßgeblich zur Entwicklung der modernen Mathematik, Kybernetik und Informationstheorie bei und beeinflussten damit nicht nur die Technologie, sondern auch die Art und Weise, wie wir heute über Systeme nachdenken, die Wissen verarbeiten und Entscheidungen treffen.

Die Grundannahmen der Spieltheorie, insbesondere die Begriffe der vollständigen Information, der perfekten Information und des perfekten Gedächtnisses, sind entscheidend, um zu verstehen, wie Entscheidungen getroffen werden, wenn verschiedene Akteure miteinander interagieren. In "Nullsummenspielen" beispielsweise sind die Spieler sich der Regeln und ihrer Handlungen der anderen bewusst, was zu einer maximalen Effizienz und Rationalität führt. In realen Anwendungen, wie in der Wirtschaft oder der Politik, sind jedoch vollständige Information und perfektes Gedächtnis selten gegeben, was die Analyse komplexer und weniger vorhersehbar macht.

Wiener argumentierte, dass ein idealer Computer, ähnlich wie das menschliche Gehirn, alle Daten zu Beginn der Berechnung einnehmen und so wenig wie möglich von menschlicher Eingabe während des Prozesses abhängen sollte. Diese Vorstellung vom Dualsystem, bei dem die Informationsverarbeitung binär erfolgt (0 und 1), war zur damaligen Zeit revolutionär und bildete einen theoretischen Rahmen, auf dem die moderne Computertechnik aufbaute. Wiener beschäftigte sich auch mit der Frage, wie das Gehirn und Maschinen Fehler vermeiden, was zur Entwicklung von Fehlerkorrekturmechanismen und Selbstregulierungssystemen in der Technik führte.

Ein weiteres bemerkenswertes Thema in Wieners Arbeit war seine Auseinandersetzung mit der Psychopathologie und den Gefahren von unkontrollierter Technologie. Bereits 1961 warnte er vor den möglichen Gefahren von Maschinen, die aus eigener Intelligenz lernen könnten. In einem Kontext, der an heutige Diskussionen über Künstliche Intelligenz erinnert, stellte er fest, dass es nicht immer möglich ist, eine Maschine auszuschalten, wenn sie eine kritische Grenze überschreitet. Er betonte, dass Maschinen, die von Menschen programmiert werden, in der Lage sein könnten, ihre eigenen Nachfolger zu schaffen, die über ein höheres Maß an Intelligenz verfügen als ihre Vorgänger. Diese Voraussicht, dass Maschinen sich selbst verbessern könnten, ist heute eine der zentralen Fragen im Bereich der KI und der Forschung zu selbstlernenden Algorithmen.

Wichtig ist, dass die Arbeiten von Wiener, von Neumann und Shannon nicht isoliert betrachtet werden können. Sie stehen in einem engen Zusammenhang mit den sozialen und technologischen Entwicklungen ihrer Zeit und bieten wichtige Einsichten in die heutigen Herausforderungen im Umgang mit künstlicher Intelligenz. Die Art und Weise, wie Maschinen heute lernen, Entscheidungen treffen und sich selbstständig weiterentwickeln, basiert auf den Prinzipien, die von diesen Wissenschaftlern formuliert wurden. Gleichzeitig ist es unerlässlich, die ethischen und sozialen Implikationen dieser Entwicklungen zu verstehen und zu hinterfragen.

Die Frage, wie weit die Entwicklung der KI noch gehen wird, bleibt ebenso relevant wie zu Wieners und von Neumanns Zeiten. Die heutigen Diskussionen über die Kontrolle und die ethischen Richtlinien für den Einsatz von KI beruhen auf den von diesen Wissenschaftlern formulierten Konzepten. Eine kritische Auseinandersetzung mit den Mechanismen und den potenziellen Risiken von KI ist daher ebenso notwendig wie die Anerkennung der bahnbrechenden Entdeckungen, die diese Denker gemacht haben.

Wie entwickelte sich die Kunst der Anamorphose und welche Bedeutung hat sie heute?

Die Kunst der Anamorphose, eine Technik, die auf verzerrten Perspektiven basiert und erst aus einem bestimmten Blickwinkel ein kohärentes Bild zeigt, hat im Laufe der Jahrhunderte eine bemerkenswerte Entwicklung erfahren. Ursprünglich im Barock populär, wurden anamorphe Darstellungen häufig genutzt, um gemalte und reale architektonische Elemente zu verschmelzen. Ein herausragendes Beispiel dafür ist die Deckenmalerei von Andrea Pozzo in der Kirche St. Ignatius in Rom, bei der die flache Decke durch eine illusionistische Malerei wie eine echte Kuppel wirkt – allerdings nur von genau einem bestimmten Standort aus betrachtet.

Im 18. und 19. Jahrhundert wandelte sich die Anamorphose zunehmend zu einer Unterhaltungsform. Renaissance-Radierungen wurden neu aufgelegt, während politische, obszöne und volkstümliche Themen in den Vordergrund rückten. Edgar Allan Poes Erzählung „Ligeia“ illustriert dabei die Wirkung verzerrter Formen, die sich je nach Blickwinkel verändern und so den Betrachter in eine surreale Welt entführen. Diese Popularisierung hatte später entscheidenden Einfluss auf die Surrealisten, die die Anamorphose als ästhetisches und konzeptuelles Mittel wiederentdeckten.

Im 20. Jahrhundert wurde die Anamorphose erneut für unterschiedlichste Zwecke eingesetzt: Arthur Mole schuf während des Ersten Weltkriegs patriotische Großbilder, bei denen sich zusammengesetzte Menschengruppen erst aus der Entfernung zu einem erkennbaren Bild formten. Salvador Dalí integrierte extreme Verkürzungen und anamorphe Verzerrungen in seine Werke und realisierte mit dem „Mae West Lips Sofa“ eine dreidimensionale, perspektivische Illusion, die nur von einem bestimmten Standpunkt aus als das Gesicht der Schauspielerin erkennbar ist.

Ein weiteres faszinierendes Phänomen des 20. Jahrhunderts ist die Entstehung sogenannter unmöglicher Objekte, wie die Penrose-Dreiecke oder der Necker-Würfel. Obwohl diese Figuren in der Realität nicht existieren können, erzeugt die Anamorphose die Illusion ihrer Existenz – eine visuelle Paradoxie, die von Künstlern wie M.C. Escher und Mathematikern wie Roger Penrose bekannt gemacht wurde.

Der amerikanische Wissenschaftler Adelbert Ames Jr. erfand 1946 den sogenannten Ames-Raum, der durch verzerrte Proportionen eine perspektivische Täuschung erzeugt. Aus einer definierten Perspektive erscheint der Raum normal, während aus anderen Blickwinkeln die ungewöhnlichen Formen und Größenverhältnisse sichtbar werden. Diese Technik wird seitdem häufig in der Filmindustrie für Spezialeffekte genutzt, wie beispielhaft bei den „Hobbit“-Filmen, in denen mithilfe der gezielten Verzerrung Figuren unterschiedlich groß erscheinen, ohne digitale Effekte einzusetzen.

Auch in der modernen Bildprojektion spielen anamorphe Verfahren eine bedeutende Rolle. Breite Bildformate wie Cinemascope oder IMAX nutzen anamorphe Verzerrungen, um aus schmalen Filmstreifen ein breites Bild auf der Leinwand oder einer kuppelförmigen Fläche zu erzeugen. Im Alltag begegnen wir der Anamorphose zudem etwa bei Straßenbeschriftungen oder Werbeanzeigen in Sportstadien, wo verzerrte Buchstaben aus einem bestimmten Blickwinkel korrekt lesbar erscheinen.

Neben der künstlerischen und unterhaltenden Nutzung sind auch technische Anwendungen im Bereich der Bildverarbeitung und Informationssicherheit hervorzuheben. Steganografie, eine Methode, Informationen so in Bildern zu verstecken, dass Außenstehende nichts Verdächtiges erkennen, kombiniert häufig mathematische Funktionen und digitale Bildmanipulation. Dabei werden Botschaften pixelweise in ein Trägerbild eingefügt und können am Zielort wieder entschlüsselt werden. Diese Praxis unterscheidet sich von der reinen Kryptografie durch ihr Ziel, die Existenz der Nachricht selbst zu verbergen.

Zusätzlich zu den beschriebenen Aspekten ist zu beachten, dass anamorphe Techniken stets mit einer bewussten Manipulation der Wahrnehmung spielen. Die Kunst des Sehens wird hier hinterfragt, indem gewohnte Perspektiven aufgelöst und neu geordnet werden. Dies eröffnet nicht nur künstlerische, sondern auch philosophische und psychologische Fragestellungen zur Wahrnehmung von Realität und Illusion. Der Betrachter wird eingeladen, seine Position und seinen Blickwinkel als Teil der Bildwahrnehmung zu reflektieren. Diese Dimension macht die Anamorphose zu einem zeitlosen und vielschichtigen Phänomen, das weit über bloße optische Täuschungen hinausgeht.

Wie Künstliche Intelligenz das Rechtssystem Verändern Wird: Chancen und Herausforderungen

Es geht vielmehr darum, die Entwicklung von KI im rechtlichen Bereich aktiv zu gestalten – sowohl technisch, ethisch, regulatorisch als auch kulturell. Besonders während der Corona-Krise wurden viele Prozesse im Rechtssektor digitalisiert, die ansonsten deutlich länger gebraucht hätten. Dieser Effekt muss weiter genutzt werden, denn letztlich wird es auf eine Kombination von Menschen und Maschinen hinauslaufen, die sich gegenseitig ergänzen. Um dieses Ziel zu erreichen, sind insbesondere Experten und Fachleute in diesem Bereich notwendig, um Kanzleien auf diesem Weg zu unterstützen. Gut ausgebildetes Personal und fundiertes Know-how werden auch in Zukunft die Treiber der Innovation bleiben – nur die Art und Weise, wie dies genutzt wird, wird sich ändern.

Das System wählt für den Nutzer, nachdem es dessen Situation erlernt hat, tatsächlich Anwälte in der entsprechenden Gerichtsbarkeit aus, die ihm helfen können. Es ist auch möglich, Informationen zu analysieren und durch den Einsatz von Datenwissenschaften die Erfolgsaussichten einer Klage zu berechnen. In den USA gibt es ebenfalls eine umfangreiche Initiative, KI im Rechtssektor zu integrieren. Ginni Rometty, Vorsitzende und CEO von IBM, sagte kürzlich auf einer Konferenz: "Ich erwarte, dass KI in den nächsten fünf bis zehn Jahren 100 Prozent der Arbeitsplätze verändern wird. Das wird eine massive Weiterentwicklung von Fähigkeiten erfordern, und Unternehmen müssen dies auf eine inklusive Weise tun, die auch Menschen ohne Hochschulabschluss einbezieht."

Ein Beispiel dafür, wie Veränderungen in der Praxis den Rechtsbereich beeinflussen, zeigt sich an der Einführung von E-Discovery-Tools. Noch vor wenigen Jahren war es nahezu undenkbar, dass eine Kanzlei, die große Mengen an Dokumenten von Hand durchforstete, von einer Kanzlei, die E-Discovery-Technologie nutzte, überholt würde. Heute ist das Gegenteil der Fall: Eine Kanzlei, die keine Technologie einsetzt, wäre der Außenseiter. Der Wandel der E-Discovery-Technologie vollzog sich relativ schnell. Ähnlich verhält es sich mit der Entwicklung von Smartphones. Als Apple im Jahr 2007 das erste iPhone auf den Markt brachte, war es zunächst nur ein iPod in einem Telefon. Heute, nur 12 Jahre nach der Einführung, erwirtschaftet Apple mit dem iPhone etwa 70 % seines Umsatzes.

Ein Beispiel für eine solche Innovation ist die Plattform LawGeex, die eine automatisierte Vertragsprüfung bietet. Mithilfe von KI wird die Frage „Kann ich diesen Vertrag unterzeichnen?“ beantwortet. Das Verfahren ist einfach: Ein Vertrag wird hochgeladen und von der KI auf Probleme überprüft. Falls welche gefunden werden, wird der Vertrag an ein juristisches Team weitergeleitet, das die fraglichen Formulierungen kennzeichnet. Der Zeitgewinn ist immens, und die Genauigkeit ist unübertroffen. Eine Studie mit fünf Nichtoffenlegungsvereinbarungen (NDAs), die von 20 erfahrenen Anwälten überprüft wurden, zeigte, dass die KI eine weitaus höhere Genauigkeit bei der Vertragsprüfung erzielte.