Основы линейной алгебры

Глава 4. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

В математике часто встречаются объекты, над которыми производятся операции сложения и умножения на числа, называемые линейными операциями.

Важным свойством таких операций является тот факт, что их результатом являются объекты, принадлежащие тому же классу, что и исходные. Например, в геометрии это геометрические векторы в трехмерном пространстве, в алгебре – системы чисел (строки матрицы, координаты векторов произвольной размерности), в математическом анализе – указанные выше операции над непрерывными функциями и т. д. Всем этим объектам с введенными для них линейными операциями присущи некоторые общие свойства, которые рассматривает и изучает линейная алгебра.

4.1. Линейное пространство. Базис. Матрица перехода.

Дадим сначала ряд определений. Определение. Совокупность элементов любой природы, объединенных общим признаком, называется множеством.

Определение. Множество R, состоящее из элементов называется линейным пространством, если выполнены следующие три требования: I). Имеется правило, посредством которого любым двум элементам x и y множества R ставится в соответствие третий элемент этого же множества z, называемый суммой элементов x и y и обозначается символом z = x + y.

II). Имеется правило, посредством которого любому элементу x множества R и любому вещественному числу ставится в соответствие элемент u этого множества, называемый произведением элемента x на число и обозначаемый символом . III). Указанные правила подчиняются восьми аксиомам:

1). x + y = y + x (переместительное свойство) . 2). (x + y) + z = x + (y + z) (сочетательное свойство). 3). Существует нулевой элемент такой, что x + = x для любого x из R. 4). Для каждого элемента x существует противоположный ему элемент такой, что . 5). (особая роль числового множителя 1). 6). (сочетательное свойство). 7). . 8). .

Заметим, что в этом определении не указывается, как именно определяются операции сложения и умножения на числа. Их можно ввести любым нужным способом, лишь бы они удовлетворяли перечисленным выше условиям. Мы же будем в дальнейшем придерживаться традиционного определения этих операций, принятых в математическом анализе.

Пример 1. Множество всех геометрических векторов в трехмерной декартовой системе координат является линейным пространством. Действительно, сумма двух таких векторов есть также геометрический вектор, результатом умножения такого вектора на число есть снова геометрический вектор. Нетрудно видеть, что все 8 аксиом выполняются. Следовательно, множество геометрических векторов является линейным пространством.

Пример 2. Пусть - множество всех непрерывных на [a, b] функций. Сумма двух таких функций является также непрерывной функцией, как и их произведение на число. В качестве нулевого элемента естественно взять . Тогда все 8 аксиом выполняются и множество всех непрерывных на [a, b] функций является линейным пространством.

Пример 3. Множество всех полиномов фиксированной степени n линейным пространством не является. Действительно, сумма двух полиномов и уже не является полиномом n-той степени. В то же время множество полиномов всех степеней не выше n является линейным пространством.

Пример 4. Множество всех матриц одинаковой размерности также является линейным пространством, если за нулевой элемент взять нулевую матрицу.

Принято элементы линейного пространства называть векторами, поскольку природа этих элементов совершенно несущественна для свойств таких пространств. В дальнейшем будем рассматривать свойства линейного пространства в основном на примере пространства геометрических векторов. Как уже отмечалось во второй главе, в таком трехмерном пространстве совокупность любых трех некомпланарных векторов является линейно независимой, а любые четыре вектора уже линейно зависимы. Это означает, что любой вектор такого пространства может быть выражен в виде линейных комбинаций трех некомпланарных векторов, которые и называются базисом. Пусть три вектора образуют базис. Тогда любой вектор пространства , в том числе и сами базисные векторы, могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных векторов , которая также называется разложением вектора по базису. Числа называются координатами вектора в этом базисе. В качестве примера приведем орты осей декартовой системы координат , образующих ортогональный базис. Любой вектор может быть представлен как с координатами , орт , а его координаты . Такой базис в дальнейшем будем называть каноническим базисом. В линейном пространстве число базисных векторов бесконечно. Покажем, что если - базис, то , где - произвольные числа, тоже базис. Действительно, для базисных векторов их линейная комбинация равнее нулю тогда и только тогда, когда . Запишем и приравняем нулю линейную комбинацию векторов . Или, что тоже самое,

, откуда следует, что , , и в силу произвольности чисел имеем , т. е. система векторов также линейно независима и, следовательно, образует базис. Итак, пусть - базис, и - другой базис. Тогда каждый вектор второго базиса можно разложить по первому базису: , , . Запишем разложение одного и того же произвольного вектора по этим базисам . Или, используя результат разложения второго базиса по первому, получим

.

В силу линейной независимости векторов, коэффициенты при них в левой и правой частях должны быть равны. Тогда получим следующую систему линейных уравнений

или

,

где , .

Матрица этой системы

называется матрицей перехода от базиса к базису . Ее столбцами являются координаты соответствующего вектора в исходном базисе . Нетрудно видеть, что в силу линейной независимости столбцов как координат базисных векторов . Тогда, умножая систему на обратную матрицу слева, получим , т. е. с помощью матрицы, обратной к матрице перехода можно найти координаты вектора в новом базисе, если известны значения его координат в старом базисе. Подведем итог изложенному выше:

1. Для получения координат любого базисного вектора второго базиса следует умножить соответствующий вектор первого базиса на матрицу, транспонированную к матрице перехода T: .

2. Для получения координат произвольного вектора в новом базисе следует умножить вектор – столбец его координат в старом базисе на матрицу, обратную к матрице перехода T.

4.2. Евклидово пространство. Скалярное произведение

в произвольном базисе.

, используя результат разложение второго базиса по первому, получим торы, едение на число. ом умножения такого вектора на числ

Вещественное линейное пространство называется евклидовым пространством, если выполнены следующие два требования.

I. Имеется правило, посредством которого любым двум векторам и этого пространства поставлено в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих векторов и обозначаемое .

II. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:

1). - коммутативность. 2). - дистрибутивность. 3). - ассоциативность. 4). , если и , если .

Пример. Если в линейном пространстве функций одной переменной, определенных на [a, b] , ввести скалярное произведение как , то все аксиомы скалярного произведения выполняются и данное пространство является евклидовым. Нетрудно также видеть, что в пространстве геометрических векторов , в котором скалярное произведение двух векторов определено как , также все четыре аксиомы выполняются, следовательно, пространство является евклидовым пространством.

Одно из важных свойств евклидова пространства определяется следующей теоремой.

Теорема. Для любых двух векторов и произвольного евклидова пространства справедливо неравенство

называемое неравенством Коши-Буняковского.

Доказательство. В силу аксиомы 4 для любого вещественного числа справедливо неравенство . Используя первые три аксиомы, имеем

. Так как скалярное произведение есть вещественное число, то условием неотрицательности квадратного трехчлена относительно является неположительность его дискриминанта , откуда и следует неравенство Коши-Буняковского.

В любом линейном пространстве в качестве аналога длины вектора можно ввести понятие нормы вектора.

Определение. Линейное пространство R называется нормированным, если выполнены следующие два требования: I). Имеется правило, посредством которого каждому вектору из R ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой указанного вектора и обозначаемое символом . II).Указанное правило подчиняется следующим трем аксиомам:

1). , если и , если . 2). .

3). - неравенство треугольника (неравенство Минковского).

Теорема. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму произвольного вектора определить равенством

.

Доказательство. Достаточно показать справедливость всех трех аксиом. Справедливость первых двух очевидна и вытекает из свойств скалярного произведения. Докажем справедливость третей. Для этого запишем неравенство Коши-Буняковского . Тогда

Теорема доказана.

Пример. Нормой вектора в евклидовом пространстве непрерывных на [a, b] функций может быть , а в пространстве геометрических векторов в качестве нормы можно взять модуль вектора .

Пусть в в некотором произвольном базисе заданы два вектора и . Тогда их скалярное произведение может быть записано в виде

.

Скалярные произведения базисных векторов образуют квадратную симметричную матрицу , поскольку по свойству скалярного произведения =. Тогда скалярное произведение можно записать в виде . В случае декартова базиса и скалярное произведение имеет вид . Если же - произвольная симметричная матрица, то числовая функция

,

построенная по аналогии со скалярным произведением, называется квадратичной формой. Понятно, что квадратичная форма может принимать положительные, отрицательные и нулевые значения. Однако заметим, что квадратичная форма не есть скалярное произведение , поскольку ее матрица не является скалярным произведением базисных векторов. Числовая функция

,

где - произвольный фиксированный вектор, называется линейной формой.

4.2.1. Ортонормированный базис в евклидовом пространстве

В линейном n – мерном пространстве все базисы являются равноправными. В евклидовом же пространстве существуют специальные ортонормированные базисы, играющие ту же роль, что и декартова система координат в аналитической геометрии.

Определение. Будем говорить, что n векторов n – мерного евклидова пространства Е образуют ортонормированный базис этого пространства, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из этих векторов равна единице, т. е. .

Покажем предварительно, как построить ортогональный базис, т. е. систему линейно независимых попарно ортогональных векторов

, где - некоторые числа.

Нетрудно видеть, что ортонормированный базис является частным случаем ортогонального. Докажем, что определенная таким образом система n векторов образует базис в Е, для чего достаточно показать, что линейно независимы. Построим их линейную комбинацию и приравняем ее нулю.

.

Умножая ее последовательно на , получим что , т. е.

, что и доказывает линейную независимость этих векторов.

Теорема. Во всяком n – мерном евклидовом пространстве E существует ортогональный базис.

Доказательство. Согласно определению размерности в Е найдутся n линейно независимых векторов . Докажем, что можно построить n векторов, линейно выражающихся через и образующих ортогональный базис. Доказательство проведем методом математической индукции. Если имеется только один вектор (а он ненулевой), то просто положим . Далее, пусть удалось построить m (m<n) векторов , линейно выражающихся через и попарно ортогональных. Докажем, что к ним можно присоединить еще один вектор , линейно выражающийся через и ортогональный к каждому из . Убедимся, что имеет вид

.

Действительно, линейно выражается через , т. к. он линейно выражается через , а в свою очередь, линейно выражается через . Следовательно, вектор заведомо ненулевой (как линейная комбинация линейно независимых векторов ). Все скалярные произведения и, следовательно, действительно ортогонален к . Теорема доказана.

Из доказательства теоремы следует алгоритм построения ортогонального базиса (ортогонализация по Шмидту). Из произвольной системы линейно независимых векторов строятся последовательно векторы:

; ,

Чтобы из полученного ортогонального базиса получить ортонормированный базис , достаточно каждый вектор ортогонального базиса разделить на величину его нормы: ().

4.3. ЗАДАЧИ

1. Образуют ли данные множества линейные пространства. Если образуют, то указать вид нулевого и противоположного элемента:

1). Множество векторов из , у которых координата, стоящая на четном месте, равна нулю.

2). Множество радиус-векторов плоскости , концы которых лежат в первом квадранте.

2. Заданы соотношения, связывающие координаты вектора в старом и новом базисах:. Найти матрицу перехода Т. Разложить векторы нового базиса по старому базису .

3. В пространстве геометрических векторов заданы векторы: , , . Доказать, что они образуют базис в ; найти матрицу перехода Т от базиса к ; найти координаты вектора в базисе .

4. Доказать, что в линейном пространстве скалярное произведение может быть задано равенством: , где , . Вычислить скалярное произведение векторов и , а также их нормы и .

5. Можно ли определить в пространстве скалярное произведение равенством: , где , ? Будет ли пространство с таким скалярным произведением являться евклидовым, если оно состоит из векторов, у которых все координаты положительны, а сложение и умножение определено равенствами:

, ?

Найти длину вектора в данном евклидовом пространстве.

6. Ортогонализовать следующие системы векторов евклидова пространства :

7. Задан базис и вектор в двумерном евклидовом пространстве геометрических векторов с определенным для них обычным скалярным произведением. Требуется: 1). Преобразовать исходный базис в ортонормированный . 2). Найти координаты вектора в ортонормированном базисе.

Домашнее задание.

8. Образуют ли данные множества линейные пространства. Если образуют, то указать вид нулевого и противоположного элемента:

1). Множество векторов из , у которых первая и последняя координаты равны между собой.

2). Множество векторов из , координаты которых удовлетворяют уравнению .

9. Разложить векторы нового базиса по старому базису , если задана матрица Т перехода: . Выписать уравнения, связывающие координаты вектора в старом и новом базисах.

10. В пространстве геометрических векторов заданы векторы: , , . Доказать, что они образуют базис в ; найти матрицу перехода Т от базиса к ; найти координаты вектора в новом базисе.

11. Можно ли в линейном пространстве скалярное произведение определить следующими равенствами, если , :

а) ; б) .

Если можно определить, то вычислить скалярное произведение векторов и , а также их нормы и .

12. Ортогонализовать следующие системы векторов евклидова пространства :

13. Задан базис и вектор в двумерном евклидовом пространстве геометрических векторов с определенным для них обычным скалярным произведением. Требуется: 1). Преобразовать исходный базис в ортонормированный . 2). Найти координаты вектора в ортонормированном базисе.

Ответы. 1. 1). Образует, , . 2). Не образует.

2. , . 3. , .

4. , , . 5. Является евклидовым, .

6. .

7. .

8. 1). Образует, , . 2). Не образует.

9. , 10. , .

11. а). Можно. , , . б). Нельзя.

12. .

13. .

4.4. Линейное преобразование. Собственные числа

и собственные векторы.

Пусть имеется два линейных пространства и . Если каждому вектору из поставлен в соответствие по какому-то закону вектор из , то говорят, что задан оператор , преобразующий пространство в пространство . Вектор называется образом вектора а вектор - прообразом вектора . В случае, когда пространства и совпадают, говорят, что задано преобразование пространства самого в себя. Именно только такой случай мы и будем рассматривать, а оператор просто будем называть преобразованием. Преобразование одного вектора в другой можно задать путем непосредственного указания законов преобразования соответствующих координат вектора в координаты вектора . Так, в случае трехмерного пространства (а в дальнейшем в основном только такие и будем рассматривать) преобразование можно записать в виде:

,

где - некоторые заданные функции. Например,

.

Определение. Если для двух произвольных векторов и преобразование удовлетворяет двум условиям:

1). ,

2). ,

то оно называется линейным преобразованием.

Например, легко проверить, что преобразование

является линейным преобразованием, а преобразование

не удовлетворяет указанным выше условиям и, следовательно, не является линейным. Именно линейные преобразования и будут представлять для нас интерес в дальнейшем.

Известно, что результатом умножения квадратной матрицы A на произвольный вектор , определенный в некотором базисе , является новый вектор в том же базисе и этот результат также является преобразованием одного вектора в другой с помощью матрицы A. Таким образом, линейное преобразование можно задавать и в виде матрицы A, которая называется матрицей линейного преобразования . Матрицу А линейного преобразования в каком-либо базисе можно построить следующим образом. Пусть вектор представлен разложением по данному базису . Тогда , причем каждое произведение есть новый вектор - образ базисного вектора. Разложим каждый такой вектор по исходному базису . Тогда координаты вектора выражаются через координаты вектора следующим образом

и тогда можно утверждать, что матрицей линейного преобразования является матрица, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов.

Для приведенного выше примера в каноническом базисе матрицей линейного преобразования будет матрица . В качестве другого примера приведем преобразование координат произвольного вектора на плоскости в декартовой системе координат при повороте его на угол :

.

Матрица такого преобразования

.

Если линейное преобразование было определено своей матрицей А в базисе , то при переходе к другому базису его матрица в этом базисе принимает вид , где Т – матрица перехода от первого базиса ко второму. Если умножить полученное соотношение справа на матрицу T, а затем полученный результат слева на , то получим выражение для матрицы А через матрицу :

.

Легко показать, что значение определителя матрицы А при переходе к другому базису не изменяется. Действительно, Наиболее простым видом матрицы является диагональная матрица. Такие матрицы называют также матрицами простой структуры. Поэтому возникает вопрос, как построить такой базис, в котором матрица становится диагональной. Если для матрицы линейного преобразования существует такой ненулевой вектор , что под воздействием матрицы A он переходит в вектор, коллинеарный исходному, т. е. , то вектор называют собственным вектором матрицы A, а число - ее собственным числом или собственным значением этой матрицы. Ответ на вопрос о том, как найти собственные векторы и собственные числа матрицы дает следующая теорема.

Теорема: Для того, чтобы число было собственным числом матрицы A линейного преобразования, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения .

Доказательство. Перепишем выражение в виде , где E – единичная матрица или . Полученная система линейных однородных уравнений имеет нетривиальное решение тогда, и только тогда, когда ее определитель или

.

Раскрыв этот определитель, получим алгебраическое уравнение третьего порядка, которое и называется характеристическим уравнением матрицы A. Это уравнение имеет три корня, которые могут быть действительными (различными, кратными) или комплексно-сопряженными. В дальнейшем будем рассматривать только случай действительных корней. Если все корни характеристического уравнения различны, то, подставляя их по очереди в левую часть однородной системы уравнений , (), получим соответствующие им собственные векторы как фундаментальные решения данной системы. В этом случае ранг матрицы этой системы равен двум. Если же корни кратные, то число собственных векторов определяется рангом матрицы. Если ранг равен двум, то этим собственным числам соответствует один собственный вектор, если единице – то система имеет два фундаментальных решения, которые и можно взять в качестве собственных векторов и . Если же кратность корня равна трем, а собственных векторов два, то их линейная комбинация также является собственным вектором, но в этом случае три собственных вектора будут линейно зависимыми.

Покажем, что если все корни характеристического уравнения вещественны и различны, то соответствующие им собственные векторы будут линейно независимыми, т. е. образуют базис. Действительно, для одного собственного вектора утверждение справедливо. Добавим к нему следующий собственный вектор и приравняем нулю их линейную комбинацию

. (4.1)

Тогда, применяя к ней линейное преобразование, получим или . Так как и собственные векторы, то

. (4.2)

Умножая (4.1) на , имеем . Вычитая из него (4.2), получим . Так как , то , а из (4.1) следует, что , т. е. линейная комбинация (4.1) действительно равна нулю и векторы и линейно независимы. Совершенно аналогично можно показать, что линейная комбинация трех собственных векторов также равна нулю , т. е. собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

Следствие. Если корни характеристического уравнения вещественны и различны, то в базисе из соответствующих им собственных векторов матрица A имеет диагональный вид.

Действительно по свойству матрицы А линейного преобразования ее столбцами являются образы базисных векторов, т. е.

откуда и следует, что

.

Базис , в котором матрица скалярного произведения базисных векторов является диагональной матрицей, т. е. , является ортогональным базисом. Если же, кроме того, длины базисных векторов равны единице, т. е. матрица является единичной, то базис будет ортонормированным. Такой базис также называется каноническим базисом. Покажем, что в таком ортонормированном базисе для симметричной матрицы А и для двух произвольных векторов и имеет место соотношение . Линейное преобразование, обладающее таким свойством, называется самосопряженным линейным преобразованием. Действительно, скалярное произведение в ортонормированном базисе имеет вид

и

.

Это позволяет доказать следующие две важные теоремы:

Теорема 1. Собственные значения симметричной матрицы вещественные.

Доказательство. Пусть - собственное значение симметричной матрицы А, т. е. существует такой вектор , что . Тогда скалярное произведение . Слева стоит вещественное число, скалярное произведение также вещественное число, значит и тоже вещественное число.

Теорема 2. Собственные векторы симметричной матрицы, соответствующие различным собственным числам, ортогональны.

Доказательство. Докажем ее для двух собственных векторов. Пусть и - различные собственные значения симметричной матрицы А, а и - соответствующие им собственные векторы. Тогда имеют место соотношения: и . В силу доказанного ранее, , и тогда или . Но по условию и, следовательно, , т. е. векторы и ортогональны. Аналогично можно показать, что и и , Если эти собственные векторы привести к единичным

,

то в таком ортонормированном базисе матрица А имеет диагональный вид, причем на главной диагонали располагаются ее собственные числа:

.

4.5. ЗАДАЧИ

Какие из преобразований являются линейными? Построить матрицу линейного преобразования:

1. .

2. .

3. .

Докажите, что преобразования пространства являются линейными. Запишите матрицы этих преобразований:

4. Преобразование, переводящее произвольный вектор в противоположный ему вектор.

5. Преобразование проектирования произвольного вектора на координатную плоскость .

6. Преобразование поворота произвольного вектора вокруг оси на угол против часовой стрелки.

Найти собственные значения и нормированные собственные векторы следующих матриц линейных преобразований. Выяснить, образуют ли собственные векторы базис:

7. . 8. .

9. . 10. .

11. Для линейного преобразования

выписать матрицу преобразования и из приведенных ниже векторов выбрать те, которые являются собственными. Найти соответствующие им собственные значения.

, , .

Домашнее задание.

Какие из преобразований являются линейными? Построить матрицу линейного преобразования:

12. .

13. .

14. .

Докажите, что преобразования пространства являются линейными. Запишите матрицы этих преобразований:

15. Преобразование, переводящее произвольный вектор в симметричный ему относительно координатной плоскости .

16. Преобразование растяжения произвольного вектора вдоль оси в два раза.

17. Преобразование поворота произвольного вектора вокруг оси на угол против часовой стрелки.

Найти собственные значения и нормированные собственные векторы следующих матриц линейных преобразований. Выяснить, образуют ли собственные векторы базис:

18. . 19. .

Ответы:. 1. Является, . 2. Не является. 3. Является,

. 4. . 5. . 6. .

7. , , , , ,

, базис образуют. 8. ,

, базиса нет. 9. , ,

, базиса нет. 10. , , ,

, , базис образуют.

11. , , . 12. Является, .

13. Не является. 14. Является, .

15. . 16. . 17. .

18. , , , , ,

, базис образуют.

19. , , , , базиса нет.

4.6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Классификация квадратичных форм.

Рассмотрим квадратичную форму , которая, как уже отмечалось, является числовой непрерывной функцией от вектора или, что все равно, от координат этого вектора . Матрица квадратичной формы симметричная и тогда в развернутом виде квадратичная форма может быть записана следующим образом:

.

По доказанному выше, существует ортонормированный базис из собственных векторов матрицы, называемый каноническим базисом, в котором эта матрица принимает диагональный вид. В таком базисе квадратичная форма записывается в наиболее простом виде, называемом каноническим видом квадратичной формы:

,

где - координаты вектора в данном ортонормированном базисе. В таком каноническом базисе можно дать следующую классификацию квадратичной формы.

Определение. Квадратичная форма называется:

1) положительно определенной, если все , т. е. ;

2) отрицательно определенной, если все , т. е. ;

3) знакопеременной (или знаконеопределенной), если часть , а часть ;

4) положительно полуопределенной, если , и отрицательно полуопределенной, если .

Эти свойства квадратичной формы используются при исследовании кривых второго порядка на плоскости и поверхностей второго порядка в пространстве.

4.7. Применение квадратичной формы к исследованию

кривых второго порядка на плоскости.

На плоскости в декартовой системе координат (канонический базис) общий вид алгебраического уравнения второго порядка можно записать в следующем виде

,

где - некоторые числа. Первые три члена этого уравнения есть квадратичная форма с матрицей . Следующие два члена есть линейная форма , - свободный член. Основной целью исследования этого уравнения является приведение его к одному из шести известных канонических форм кривой на плоскости и его классификация (эллипс, гипербола, парабола, пара пересекающихся прямых, пара параллельных прямых, точка). Общий подход здесь заключается в следующем:

1). За счет перехода к новому ортонормированному базису из собственных векторов матрицы А квадратичная форма приводится к каноническому виду (к сумме квадратов)

,

где - координаты вектора в новом базисе, - новые коэффициенты. При этом коэффициент не изменяется.

2). По каждой из переменных , для которой (i= 1, 2) осуществляется параллельный перенос начала координат, уничтожающий линейную часть уравнения

,

где .

3). После этого уравнение можно записать в каноническом виде и провести его классификацию:

если , то уравнение при одинаковых знаках и в зависимости от значения есть либо уравнение эллипса, либо точки, а при различных знаках – либо уравнение гиперболы, либо пары пересекающихся прямых.

Если же одно из собственных чисел равно нулю (например, ), то уравнение , в зависимости от значения , описывает либо параболу, либо пару параллельных прямых.

Рассмотрим теперь этот подход более подробно. Исходный базис декартовой системы координат является каноническим и поэтому переход к новому каноническому базису возможен только двумя путями – либо параллельным переносом координат

,

либо их поворотом

,

где - координаты точки кривой (ее радиус-вектора) в исходных координатах, - в новых координатах, - координаты центра новых координат в старом базисе. Заметим, что параллельный перенос не является линейным преобразованием. При повороте координат матрица перехода от старой системы к новой имеет вид

.

При переходе от исходного базиса к базису из ортонормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы эта же матрица перехода имеет вид , а поэтому такое преобразование является по сути поворотом системы координат на угол . Итак, при переходе от базиса к базису уравнение кривой запишется

. (4.3)

Рассмотрим два случая.

1). Пусть . Тогда, дополняя (4.3) до полного квадрата, получим

,

или, вводя новые переменные , - параллельный перенос координат, получим . При этом:

а). Если , то кривая имеет эллиптический тип. При это эллипс, при - мнимый эллипс, при - уравнение точки.

б). Если , то кривая имеет гиперболический тип. При это уравнение гиперболы, при - уравнение пары пересекающихся прямых.

2). Одно из собственных значений матрицы квадратичной формы равно нулю, т. е. . Заметим, что одновременно обращаться в нуль они не могут. Пусть , . Тогда

.

Дополняя до полного квадрата, имеем . За новую переменную возьмем и обозначим как .

Если , то .

Введем , имеем - уравнение параболы. Если , то - уравнение пары параллельных прямых (действительных или мнимых). Поэтому, если , то кривая имеет параболический тип.

Пример. Выяснить характер кривой

,

где F – произвольное число, и построить ее график.

Матрица квадратичной формы . Найдем ее собственные значения. Имеем , или , корни которого есть . Первому корню соответствует нормированный собственный вектор , второму - . Поскольку , то кривая имеет эллиптический тип. Матрица перехода . Переход к новому базису есть поворот исходной системы координат на угол , т. е. . Координаты произвольной точки кривой в исходном и новом базисе связаны через матрицу перехода или

.

В покоординатном виде это преобразование запишется:

.

Подставим эти выражения старых координат точки через новые в уравнение кривой:

.

Дополняем до полного квадрата

.

Введем новые переменные (параллельный перенос координат) ; . Тогда уравнение принимает вид:

.

Если , то кривая является эллипсом, если , то это мнимый эллипс.

Пусть, для определенности, , Тогда

или

.

График данной кривой приведен на рисунке.

4.8. ЗАДАЧИ

1. Построить матрицы квадратичных форм:

а) ;

б) .

Привести уравнения кривых к каноническому виду, указать тип кривых:

2. .

3. .

4. .

Выяснить, является ли положительно (отрицательно) определенной квадратичная форма:

5. .

6. .

7. .

Домашнее задание.

8. Построить матрицу квадратичной формы:

.

9. Записать квадратичную форму, порожденную матрицей:

.

Привести уравнения кривых к каноническому виду, указать тип кривых:

10. .

11. .

12. .

Выяснить, является ли положительно (отрицательно) определенной квадратичная форма:

13. .

14. .

Ответы. 1. а) ; б) .

2. , , , эллипс.

3. , , , где , , парабола.

4. , , , где , , гипербола.

5. Положительно определенная. 6. Знакопеременная.

7. Отрицательно определенная. 8. .

9. .

10. , , , эллипс.

11. , , , где , , гипербола. 12. , , , где , , парабола.

13. Положительно определенная. 14. Знакопеременная.

ЛИТЕРАТУРА

1.  , Никольский линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, .

2.  Беклемишев аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1980.

3.  , Позняк алгебра. – М: Наука, 1984.

4.  , Позняк геометрия. – М: Наука, 1984.

5.  Головина алгебра и некоторые ее применения. – М: Наука, 1971.

6.  , , Соснина алгебра (практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии: учебное пособие). - Новосибирск, 1999.

7.  Зеленцов и векторная алгебра (учебное пособие для практических занятий). – Новосибирск, 2005.