Конспект лекций по курсу «Алгебра и аналитическая геометрия» (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4

Конспект лекций по курсу «Алгебра и аналитическая геометрия».

Специальность – «Прикладная математика». Курс – 1, семестр – 2.

Автор:

Оглавление

Конспект лекций по курсу «Алгебра и аналитическая геометрия». 1

Лекция № 1. Раздел 1. Линейные пространства. 7

1.1. Определение линейного пространства. 7

Линейное (векторное) пространство над полем P. 7

Вектор. 7

Противоположный вектор. 7

Нулевой вектор. 7

Разность векторов. 7

1.2. Линейная комбинация. 8

Линейная комбинация векторов. 8

(не)Тривиальная линейная комбинация. 8

1.3. Линейная (не)зависимость системы векторов. 8

Линейно независимая система векторов. 8

Теорема о двух системах векторов, каждый вектор одной системы является линейной комбинацией векторов другой системы.. 8

1.4. Базис, база. 8

Базис линейного пространства. 8

База системы векторов. 9

Теорема о количестве векторов в любом из базисов линейного пространства. 9

Теорема о дополнении любой системы векторов до базиса. 9

1.5. Координаты вектора. 9

Координаты вектора в базисе. 9

Лекция № 2. Раздел 1. Линейные пространства. 10

1.6. Ранг системы векторов. 10

Размерность линейного пространства. 10

Бесконечномерное пространство. 10

Арифметическое n-мерное пространство. 10

1.7. Матрица перехода от одного базиса к другому. 10

Матрица перехода от одного базиса к другому. 10

Теорема. Изменение координат вектора при переходе от одного базиса к другому. 11

1.8. Изоморфизм линейных пространств. 11

Изоморфизм линейных пространств. 11

Теорема об изоморфных линейных пространствах. 11

Лекция № 3. Раздел 2. Подпространства произвольного линейного пространства. 12

2.1. Определение подпространства. 12

Подпространство линейного пространства. 12

Линейная оболочка системы векторов. 12

Теорема о линейной оболочке как подпространстве. 12

2.2. Сумма и пересечение подпространств. 12

Пересечение подпространств. 12

Сумма двух подпространств. 12

Теорема о сумме и пересечении подпространств. 13

Теорема о размерности суммы двух подпространств. 13

Разложение вектора по подпространствам.. 13

Лекция № 4. Раздел 2. Подпространства произвольного линейного пространства. 14

2.3. Прямая сумма подпространств. 14

Прямая сумма подпространств. 14

Критерий прямой суммы подпространств. 14

Дополнительное подпространство. 15

Теорема о существовании дополнительного подпространства. 15

Линейное многообразие. 15

Направляющее подпространство. 15

Фактор-пространство. 15

2.4. Подпространство решений однородной СЛАУ. 15

Подпространства, задаваемые однородной системой линейных алгебраических уравнений. 15

Лекция № 5. Раздел 3. Подпространства евклидова (унитарного) линейного пространства. 16

3.1. Ортогональное дополнение к подпространству. 16

Вектор, ортогональный к подпространству. 16

Ортогональное дополнение к подпространству. 16

Теорема об ортогональном дополнении как подпространстве. 16

3.2. Ортогональная проекция, ортогональная составляющая. 16

Ортогональная проекция вектора на подпространство. 16

Ортогональная составляющая вектора. 16

Перпендикуляр, опущенный на подпространство. 16

Наклонная к подпространству. 17

Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения. 17

Следствие о существовании и единственности ортогональной проекции вектора на подпространство. 17

3.3. Расстояние от вектора до подпространства. 17

Расстояние от вектора до подпространства. 17

Лекция № 6. Раздел 4. Билинейные и квадратичные формы. 18

4.1. Линейная форма. 18

Линейная функция (линейная форма) 18

Матрица линейной формы.. 18

Теорема об изменении матрицы линейной формы при переходе от одного базиса к другому. 18

4.2. Билинейная форма. 19

Билинейная функция (билинейная форма) 19

Матрица билинейной формы.. 19

Теорема о матрице билинейной формы в фиксированном базисе. 19

Теорема об изменении матрицы билинейной формы при переходе от одного базиса к другому. 20

Ранг билинейной формы.. 20

(не) Вырожденная билинейная форма. 20

Симметричная билинейная форма. 20

Теорема о матрице симметричной билинейной формы.. 20

Лекция № 7. Раздел 4. Билинейные и квадратичные формы. 21

4.3. Квадратичная форма. 21

Квадратичная форма. 21

Полярная билинейная форма. 21

Теорема о полярной билинейной форме. 21

Матрица квадратичной формы.. 21

Ранг квадратичной формы.. 21

(не) вырожденная квадратичная форма. 21

Свойства матрицы квадратичной формы.. 21

4.4. Канонический вид квадратичной формы.. 22

Канонический вид квадратичной формы.. 22

Канонический базис квадратичной формы.. 22

Метод Лагранжа (метод выделения полных квадратов) 22

Теорема о существовании канонического базиса квадратичной формы. Метод Лагранжа. 23

Теорема о существовании ортонормированного канонического базиса - приведение к главным осям). 23

Формулы Якоби. 23

Лекция № 8. Раздел 4. Билинейные и квадратичные формы. 25

4.5. Индексы инерции квадратичной формы.. 25

Индексы инерции квадратичной формы.. 25

Сигнатура. 25

Закон инерции. 25

Сигнатурное правило Якоби. 25

4.6. Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы.. 25

Знакоопределенная квадратичная форма. 25

Знакопеременная квадратичная форма. 26

Критерий знакоопределенности квадратичной формы (102.3) 26

Критерий Сильвестра. 26

Критерий скалярного произведения. 26

Теорема о соответствии между квадратичными формами и симметрическими линейными преобразованиями 26

Лекция № 9. Раздел 5. Линейные операторы - общие сведения. 27

5.1. Линейный оператор, линейное преобразование, линейный функционал. 27

Линейный оператор. 27

Линейное преобразование. 27

Линейный функционал. 27

Простейшие свойства линейных операторов. 27

5.2. Отдельные виды линейных операторов. 27

Оператор проектирования. 27

Оператор отражения. 27

Нулевой оператор. 28

Единичный оператор. 28

5.3. Матрица линейного оператора, линейной формы.. 28

Матрица линейного оператора. 28

Теорема о соответствии между матрицами и линейными операторами. 28

Теорема об изменении матрицы линейного оператора при переходе от одной пары базисов к другой. 28

Координаты образа вектора. 28

Лекция № 10. Раздел 5. Линейные операторы - общие сведения. 28

5.4. Образ, прообраз, ядро оператора. 28

Образ вектора. 28

Координаты образа вектора. 28

Полный прообраз вектора. 28

Образ оператора. 28

Ядро оператора. 28

Ранг линейного оператора. 28

Дефект линейного оператора. 28

Теорема о ранге линейного оператора. 28

Теорема о ранге и дефекте. 28

5.5. Пространство линейных операторов. 28

Сумма линейных операторов. 28

Произведение линейного оператора на число. 28

Пространство линейных операторов. 28

Теорема о пространстве линейных операторов. 28

Изоморфизм линейных операторов. 28

Произведение линейных операторов. 28

Сопряженное пространство. 28

Алгебра линейных операторов. 28

Многочлен от оператора. 28

Определитель линейного оператора. 28

Обратный оператор. 28

Теорема о виде матрицы произвольного линейного оператора в паре канонических базисов. 28

Теорема о матрице обратного оператора. 28

Лекция № 11. Раздел 6. Линейные преобразования. 28

6.1. Собственное значение, собственный вектор. 28

Линейный оператор, действующий в одном линейном пространстве. 28

Матрица линейного оператора, действующего в одном линейном пространстве. 28

Инвариантное подпространство. 28

Индуцированный оператор. 28

Теорема о виде матрицы линейного оператора в пространстве – прямой сумме инвариантных подпространств 28

Собственное значение линейного оператора. 28

Спектр линейного оператора. 28

Собственный вектор линейного оператора. 28

Теорема о собственных векторах с различными собственными значениями. 28

Теорема о матрице линейного преобразования в базисе из собственных векторов. 28

Теорема о собственных значениях и собственных векторах в комплексном линейном пространстве. 28

Критерий наличия у оператора простой структуры.. 28

Лекция № 12. Раздел 6. Линейные преобразования. 28

6.2. Характеристический многочлен линейного преобразования. 28

Характеристический многочлен матрицы.. 28

Подобные матрицы.. 28

Характеристический многочлен линейного оператора. 28

Теорема о характеристических многочленах подобных матриц. 28

Теорема о корнях характеристического многочлена и собственных значениях линейного оператора. 28

Собственное подпространство линейного оператора. 28

Алгебраическая кратность собственного значения линейного оператора. 28

Геометрическая кратность собственного значения линейного оператора. 28

Оператор простой структуры.. 28

Матрица простой структуры.. 28

Теорема Гамильтона-Кэли. 28

Лекция № 13. Раздел 7. Линейные операторы в евклидовом (унитарном) пространстве. 28

7.1. Сопряженный оператор, самосопряженный оператор. 28

Сопряженный оператор. 28

Теорема о линейности сопряженного оператора. 28

Теорема о существовании и единственности сопряженного оператора. 28

Свойства сопряженного оператора. 28

Биортогональные базисы.. 28

Теорема о матрицах двух сопряженных операторов в паре биортогональных базисов. 28

Самосопряженный оператор. 28

Свойства самосопряженного оператора. 28

Спектральная характеристика самосопряженного оператора. 28

Каноническая форма матрицы самосопряженного оператора. 28

Нормальный оператор. 28

Теорема о собственных векторах нормального и сопряженного к нему оператора. 28

Теорема о собственных векторах нормального оператора, соответствующих различным собственным значениям 28

Критерий нормальности оператора в унитарном пространстве. 28

Лекция № 14. Раздел 7. Линейные операторы в евклидовом (унитарном) пространстве. 28

7.2. Ортогональный (унитарный) оператор. 28

Ортогональный (унитарный) оператор. 28

Ортогональная (унитарная) матрица. 28

Три свойства унитарного и ортогонального операторов. 28

Критерий унитарности оператора. 28

Спектральная характеристика унитарного оператора. 28

Каноническая форма матрицы унитарного оператора. 28

Каноническая форма матрицы ортогонального оператора. 28

7.3. Эрмитов оператор. 28

Эрмитов оператор. 28

Эрмитова матрица. 28

Лекция № 15. Раздел 8. Евклидовы и унитарные пространства. 28

8.1. Скалярное произведение. 28

Скалярное произведение. 28

Длина вектора. 28

Теорема. Неравенства треугольника. 28

8.2. Евклидово пространство. 28

Вещественное (действительное) евклидово пространство. 28

Комплексное евклидово (унитарное) пространство. 28

Пять свойств скалярного произведения. 28

Неравенство Коши-Буняковского. 28

Теорема об изоморфизме евклидовых (унитарных) пространств. 28

Метрика. 28

Метрическое пространство. 28

Изометрия. 28

Лекция № 16. Раздел 8. Евклидовы и унитарные пространства. 28

8.3. Ортогональные, ортонормированные системы.. 28

Ортогональные векторы.. 28

Ортонормированная система. 28

Теорема о линейной независимости ортогональной системы.. 28

Теорема о вычислении координат вектора в ортонормированном базисе. 28

Теорема о вычислении скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе. 28

Теорема о существовании ортонормированного базиса. 28

8.4. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. 28

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. 28

8.5. Матрица Грама. 28

Матрица Грама. 28

Критерий линейной (не)зависимости системы векторов в евклидовом (унитарном) пространстве. 28

Теорема об определителе матрицы Грама линейно независимой системы векторов. 28

Лекция № 17. Раздел 9. Жорданова форма матрицы.. 28

9.1. Жорданова клетка, жорданова матрица. 28

Жорданова клетка. 28

Нильпотентный линейный оператор. 28

Индекс нильпотентности (высота) оператора. 28

Прямая сумма линейных операторов. 28

Корневой вектор линейного оператора. 28

Высота корневого вектора. 28

Присоединенный вектор. 28

Корневое подпространство линейного оператора. 28

Лекция № 18 (обзорная). Разделы 1-9 (обзор). Примеры задач, решаемых с помощью освоенных методов. 28

Лекция № 1. Раздел 1. Линейные пространства.

Темы:

1.1. Определение линейного пространства

1.2. Линейная комбинация

1.3. Линейная (не)зависимость системы векторов

1.4. Базис, база.

1.5. Координаты вектора.

1.1. Определение линейного пространства

Линейное (векторное) пространство над полем P

Пусть дано поле P. Непустое множество V называется линейным или векторным пространством над полем P, если на этом множестве определены внутренний закон композиции , называемый сложением, и внешний закон композиции , называемый умножением на число из поля P, удовлетворяющие следующим аксиомам:

Для любых и :

1)

2)

3) существует элемент такой, что

4) для любого элемента существует элемент такой, что

5)

6)

7)

8)

Линейное пространство над полем R называется действительным (или вещественным) линейным пространством, а над полем С – комплексным.

Вектор

Векторами называются элементы произвольного линейного пространства.

Противоположный вектор

Вектор (a) называется противоположным к вектору a, если

Нулевой вектор

Нулевым вектором пространства V называется вектор такой, что для любого вектора .

Разность векторов

Разностью векторов линейного пространства V называется вектор такой, что .

Отметим, что всегда b – a = b + (-a).

(Записанное для чисел, это равенство уже привычно и очевидно. Для элементов произвольного линейного пространства его требуется доказывать).

1.2. Линейная комбинация

Линейная комбинация векторов

Пусть - векторы линейного пространства V, и - элементы основного поля (например, действительные или комплексные числа). Вектор называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами . Если вектор является линейной комбинацией векторов , то говорят, что он выражается (или – линейно выражается) через векторы .

(не)Тривиальная линейная комбинация

Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю, и нетривиальной - если хотя бы один коэффициент не равен нулю.

Очевидно, тривиальная комбинация любой системы векторов равна нулевому вектору.

1.3. Линейная (не)зависимость системы векторов

Линейно независимая система векторов

Система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная комбинация всех векторов этой системы, равная нулевому вектору.

Система векторов называется линейно независимой, если любая нетривиальная комбинация всех векторов этой системы не равна нулевому вектору.

Теорема о двух системах векторов, каждый вектор одной системы является линейной комбинацией векторов другой системы

Пусть в линейном пространстве заданы две системы векторов – {} и { }. Пусть каждый из векторов есть линейная комбинация векторов , и пусть векторы линейно независимы.

Тогда .

Коротко, для запоминания: среди линейных комбинаций трёх (произвольных) векторов не может быть больше чем 3 линейно независимых.

1.4. Базис, база.

Базис линейного пространства

Мы будем использовать несколько эквивалентных определений базиса.

1. (упорядоченная) Система векторов называется базисом линейного пространства V, если она линейно независима, и любой вектор является линейной комбинацией векторов .

2. Базисом в линейном пространстве V называется (упорядоченная) максимальная линейно независимая система векторов этого пространства.

3. (упорядоченная) Система векторов называется базисом в пространстве V, если каждый вектор линейного пространства линейно выражается через , причем единственным образом.

База системы векторов

Базой системы векторов называется такая линейно независимая подсистема этой системы векторов, через которую линейно выражается любой вектор системы.

Теорема о количестве векторов в любом из базисов линейного пространства

В любом базисе (конечномерного) линейного пространства количество векторов одно и то же.

Теорема о дополнении любой системы векторов до базиса

Любая линейно независимая система векторов линейного пространства может быть дополнена до базиса.

1.5. Координаты вектора.

Координаты вектора в базисе

Коэффициенты в разложении вектора по базису (упорядоченный набор чисел) называются координатами вектора в этом базисе

Лекция № 2. Раздел 1. Линейные пространства.

Темы:

1.6. Ранг системы векторов

1.7. Матрица перехода от одного базиса к другому

1.8. Изоморфизм линейных пространств

1.6. Ранг системы векторов

Число векторов в базе системы векторов называется рангом этой системы. То есть, ранг системы векторов – максимальное количество линейно независимых векторов в этой системе.

Размерность линейного пространства

Размерностью линейного пространства V (обозначается ) называется число (если оно существует) - максимальное количество линейно независимых векторов этого пространства.

Бесконечномерное пространство

Линейное пространство называется бесконечномерным, если в пространстве существует любое, сколь угодно большое, количество линейно независимых векторов.

Арифметическое n-мерное пространство

Арифметическим пространством - называется линейное пространство (специального вида) над полем P. Оно состоит из упорядоченных наборов n элементов из P, причем на этих наборах определены операции сложения и умножения на произвольный элемент из P. Более формально, : если и , , то , .

1.7. Матрица перехода от одного базиса к другому

Матрица перехода от одного базиса к другому

Пусть и - два базиса n-мерного линейного пространства V. Любой вектор fi можно (единственным образом) разложить по базису e.

Пусть

Из коэффициентов можно составить матрицу

,

которая называется матрицей перехода от базиса e к базису f и обозначается .

Неформально: матрица перехода от одного базиса к другому состоит из столбцов. В этих столбцах записаны координаты векторов «нового» базиса (в «старом» базисе).

Теорема. Изменение координат вектора при переходе от одного базиса к другому

Для произвольных двух базисов = (e1, e2, …, en) и f = (f1, f2, …, fn) некоторого линейного пространства выполняется равенство:

(где - матрица перехода от базиса e к базису f).

При этом координаты любого вектора изменяются следующим образом:

(При переходе от одного базиса к другому координаты вектора изменяются при помощи матрицы, обратной к матрице перехода).

1.8. Изоморфизм линейных пространств

Изоморфизм линейных пространств

Два линейных пространства и над общим полем P называются изоморфными, если существует биективное отображение : , которое сохраняет законы композиции, т. е. если для всех векторов и каждого числа выполняются два равенства:

1)

2)

Обозначение:

Само биективное отображение называется изоморфизмом линейных пространств.

Теорема об изоморфных линейных пространствах

Два (конечномерных) линейных пространства над общим полем изоморфны тогда и только тогда, когда из размерности совпадают.

Другими словами, все пространства над общим полем одинаковой размерности изоморфны, разной размерности – не изоморфны.

Лекция № 3. Раздел 2. Подпространства произвольного линейного пространства

Темы:

2.1. Определение подпространства

2.2. Сумма и пересечение подпространств

2.1. Определение подпространства

Подпространство линейного пространства

Пусть L – линейное пространство, - некоторое множество векторов из L.

Множество в пространстве L называется линейным подпространством, если является линейным пространством относительно тех же операций, которые определены в L.

Множествобудет линейным подпространством, если выполняются следующие условия:

1) Для их сумма также входит в

2) Для и - элемента поля - произведение

Линейная оболочка системы векторов

Пусть в линейном пространстве L задана система векторов . Множество всевозможных линейных комбинаций вида называется линейной оболочкой данной системы и обозначается .

Теорема о линейной оболочке как подпространстве

Если - векторы линейного пространства , то линейная оболочка этих векторов является линейным подпространством пространства .

2.2. Сумма и пересечение подпространств

Пересечение подпространств

Пересечением подпространств линейного пространства L называется множество всех тех векторов из L, которые одновременно принадлежат всем рассматриваемым подпространствам.

Сумма двух подпространств

Пусть в линейном пространстве L заданы два подпространства и . Суммой подпространств и называется множество всех векторов, представимых в виде , где , .

Обозначение: = +

Другими словами, сумма двух подпространств – это множество всех сумм (пар) векторов, взятых по одному из каждого подпространства.

Обратите вниманиесумма подпространств – не объединение этих подпространств!

Теорема о сумме и пересечении подпространств

Сумма и пересечение линейных подпространств линейного пространства также являются линейными подпространствами линейного пространства .

Теорема о размерности суммы двух подпространств

1. Размерность суммы двух подпространств равна сумме их размерностей за вычетом размерности их пересечения:

dim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 – dimL1∩L2

(Размерность суммы любого конечного количества подпространств равна рангу совокупности базисов слагаемых подпространств:

Разложение вектора по подпространствам

Разложением вектора x по подпространствам называется представление вектора x в виде суммы векторов из всех этих подпространств: x = x1 + x2 + … + xn, где , .

Лекция № 4. Раздел 2. Подпространства произвольного линейного пространства

Темы:

2.3. Прямая сумма подпространств

2.4. Подпространство решений однородной СЛАУ

2.3. Прямая сумма подпространств

Прямая сумма подпространств

Пусть в пространстве L даны подпространства , тогда их сумма есть линейное подпространство, составленное из всех векторов вида x = x1 + x2 + … + xn, где , . Если для такое разложение единственно, то называется прямой суммой подпространств .

Обозначение:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4



Подпишитесь на рассылку:


Вычисление
это получение из входных данных нового знания

Алгебра


Геометрия


 Курсы:

Подготовительные курсыДистационное образование и курсыПодготовительные курсыДневные курсыВечерние курсыКонкурсы профессиональныеЗаочные конкурсыКурсовые работыПрограммы курсовКурсы МЭОКурсы лекций

Студенты: Для студентов I курсаДля студентов II курсаДля студентов III курсаДля студентов IV курсаДля студентов V курсаДля студентов VI курса

Проекты по теме:

Математика
Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.