Линейная алгебра

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

федеральное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

(МИИТ)

Одобрено кафедрой

«Высшая и прикладная математика»

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Задания на контрольные работы № 1 – 2

для студентов I курса

высшего профессионального образования по направлению подготовки

080100.62 Экономика

(квалификация (степень) «бакалавр»)

РОАТ

Москва – 2012

Составитель – проф. , доц. , ст. пр.

Рецензент – с. н.с.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В соответствии с учебным планом студенты заочной формы обучения по направлению подготовки 080100.62 «Экономика» (квалификация (степень) «бакалавр») изучают дисциплину «Линейная алгебра» на I курсе. Содержание учебного материала определяют требования по математике Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования. Эти требования сформулированы в рабочей программе дисциплины «Линейная алгебра» в виде конкретного перечня вопросов по изучаемым темам.

Каждая контрольная работа выполняется после освоения соответствующего учебного материала рабочей программы.

В таблице указаны номера задач, которые студент должен решить при выполнении контрольных работ 1 – 2 по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой учебного шифра студента. Задания представлены на трех уровнях сложности I, II, III. Выбор уровня сложности устанавливается преподавателем.

В учебном процессе изучения дисциплины «Линейная алгебра» предусмотрен следующий порядок подготовки контрольной работы к зачету. Правильно выполненную и оформленную контрольную работу студент представляет преподавателю на проверку и собеседование по содержанию контрольной работы и замечаниям преподавателя. По результатам проверки и собеседования преподаватель, при необходимости, предлагает студенту выполнить работу над замечаниями и дает заключение о допуске или не допуске контрольной работы к зачету: «Контрольная работа (к. р.) №… допущена к зачету» или «Контрольная работа (к. р.) №… не допущена к зачету». Работу над замечаниями студент выполняет письменно в разделе «Работа над замечаниями» после заключения преподавателя в той же тетради, что и контрольную работу. После прохождения процедуры проверки, собеседования и выполнения работы над замечаниями студент сдает зачет по допущенной к зачету контрольной работе.

Вариант	Контрольная работа №1 Задания №.
1	2	3	4	5
01	1	11	21	31	41
02	2	12	22	32	42
03	3	13	23	33	43
04	4	14	24	34	44
05	5	15	25	35	45
06	6	16	26	36	46
07	7	17	27	37	47
08	8	18	28	38	48
09	9	19	29	39	49
10	10	20	30	40	50

Вариант	Контрольная работа №2 Задания №.
1	2	3	4	5
01	51	61	71	81	91
02	52	62	72	82	92
03	53	63	73	83	93
04	54	64	74	84	94
05	55	65	75	85	95
06	56	66	76	86	96
07	57	67	77	87	97
08	58	68	78	88	98
09	59	69	79	89	99
10	60	70	80	90	100

Студент должен помнить, что для приобретения опыта математического мышления и овладения избранной специальностью, для которой математические знания являются базовыми, от него требуется систематическая и упорная самостоятельная работа.

ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ №1 – 2

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Для выполнения контрольной работы №1 студент должен освоить следующие темы рабочей программы:

I. Матричная алгебра.

II. Системы линейных уравнений.

ЗАДАЧА 1

1 – 10. Вычислить определитель матрицы А.

Уровень I

1.	А =	2.	А =	3.	А =
4.	А =	5.	А =	6.	А =
7.	А =	8.	А =	9.	А =
10.	А =

Уровень II

1.	А =	2.	А =
3.	А =	4.	А =
5.	А =	6.	А =
7.	А =	8.	А =
9.	А =	10.	А =

Уровень III

1.	А =	2.	А =
3.	А =	4.	А =
5.	А =	6.	А =
7.	А =	8.	А =
9.	А =	10.	А =

ЗАДАЧА 2

11 – 20. Даны матрицы:

11.	А =	В =
12.	А =	В =
13.	А =	В =
14.	А =	В =
15.	А =	В =
16.	А =	В =
17.	А =	В =
18.	А =	В =
19.	А =	В =
20.	А =	В =

Уровень I

Найти произведение матриц А и В.

Уровень II

Найти А*В+B*A.

Уровень III

Для заданных матриц найти обратные. Проверить выполнение равенства .

11.	12.	13.
14.	15.	16.
17.	18.	19.
20.

ЗАДАЧА 3

21 – 30. Уровень I

Дана матрица А. Найти обратную матрицу. Проверить выполнение равенства: А* А-1 =Е.

21. А =	22. А =	23. А =	24. А =
25. А =	26. А =	27. А =	28. А =
29. А =	30. А =

21 – 30. Уровень II

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Дана матрица А. Найти обратную матрицу двумя способами:

1. воспользовавшись определением обратной матрицы;

2. по методу Жордана-Гаусса

21.	22.	23.
24.	25.	26.
27.	28.	29.
30.

21 – 30. Уровень III

Заданы матрица А и матричный многочлен f(A). Найти значения указанных матричных многочленов от матрицы А.

21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

ЗАДАЧА 4

31 – 40. Уровень I

Исследовать на совместность и найти общее решение системы линейных уравнений.

31.	32.	33.
34.	35.	36.
37.	38.	39.
40.

31 – 40. Уровень II

Исследовать на совместность и найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: исключением неизвестных путем приведения к треугольному виду с помощью операций деления и вычитания; умножения и сложения.

31.		32.
33.		34.
35.		36.
37.		38.
39.		40.

31 – 40. Уровень III

Автозавод известного бренда производит 4 вида легковых автомобилей закрытого типа: седан, лимузин, универсал и купе. При этом используются материалы четырех типов: М1, М2, М3, М4. Нормы расхода каждого из них на один вид автомобиля и объем расхода материала на 1 день заданы таблицей (см. таблицу). Найти ежедневный объем выпуска каждого вида автомобиля.

Вид материала	Нормы расхода материала на один автомобиль, ед. изм.	Расход материала на 1 день, ед. изм.
седан	универсал	купе	лимузин
31
М1	2	3	1	4	1120
М2	2	1	5	2	1360
М3	1	2	3	1	980
М4	2	3	1	1	1030
32
М1	3	2	1	1	1120
М2	2	1	5	2	1390
М3	1	2	3	1	920
М4	3	3	1	1	1220
33
М1	1	4	1	2	750
М2	1	1	3	2	620
М3	1	2	3	1	715
М4	2	3	2	0	890
34
М1	1	1	1	2	425
М2	3	4	3	1	1345
М3	3	0	5	1	1165
М4	2	1	2	6	765
35
М1	0	1	1	2	180
М2	2	4	3	1	755
М3	4	3	1	2	860
М4	1	2	2	0	380
36
М1	3	1	1	2	588
М2	2	2	0	4	536
М3	4	3	4	2	1122
М4	1	1	2	3	401
37
М1	3	1	1	2	835
М2	3	2	3	4	1029
М3	4	0	3	2	1013
М4	1	1	6	3	541
38
М1	1	1	1	2	431
М2	3	2	3	5	1053
М3	4	2	3	2	808
М4	1	1	6	4	991
39
М1	1	1	2	2	827
М2	3	1	1	2	771
М3	4	4	3	6	2108
М4	1	1	2	3	927
40
М1	1	2	2	3	630
М2	3	1	0	4	525
М3	4	2	1	6	900
М4	1	1	5	2	735

ЗАДАЧА 5

41 – 50. Дана однородная система линейных уравнений:

41.	X1 + 2X2 + X3 – 2X4 + X5= 0, 3X1 + 4X2 – 2X3 – X4 + 3X5= 0	42.	2X1 + 3X2 – 7X3 + 2X4 + X5= 0, –X1 + X2 – 2X3 – X4 + 3X5= 0
43.	2X1 + 3X2 – 7X3 + 2X4 + X5= 0, –X1 + X2 – 2X3 – X4 + 3X5= 0	44.	X1 + 7X2 + X3 – 2X4 + 11X5= 0, 3X1 + 4X2 – 6X3 – X4 – 3X5= 0
45.	7X1 + X2 + 5X3 – 2X4 + X5= 0, X1 + X2 – 4X3 – X4 + 2X5= 0	46.	3X1 + 8X2 – 7X3 + 5X4 + X5= 0, –2X1 + X2 + 4X3 – X4 + 3X5= 0
47.	X1 + 4X2 – X3 – 2X4 + 6X5= 0, 3X1 + 4X2 – 8X3 – X4 – 5X5= 0	48.	X1 + 3X2 – X3 – 5X4 + X5= 0, –2X1 + 9X2 – 2X3 – X4 + 2X5= 0
49.	4X1 + X2 + X3 – 2X4 + 14X5= 0, X1 + 3X2 – 2X3 – X4 + X5= 0	50.	2X1 + 7X2 –3X3 + 2X4 + X5= 0, –3X1 + X2 – X3 – X4 + 2X5= 0

Уровень I

Найти общее решение и два частных решения однородной системы линейных уравнений.

Уровень II

Найти общее решение, общее решение в векторной форме и фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений.

Уровень III

Дана однородная система линейных уравнений. Найти общее решение и фундаментальный набор решений данной однородной системы линейных уравнений.

41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

Для выполнения контрольной работы №1 студент должен освоить следующие темы рабочей программы:

III. Векторная алгебра. Элементы аналитической геометрии.

IV. Линейные пространства.

ЗАДАЧА 1

51–60. Даны вершины А1(х1, у1, z1), А2(х2, у2, z2), А2(х3, у3, z3), А4(х4, у4, z4) пирамиды:

51.	А1(3, –2,8),	А2(–1,3,2),	А3(2,0, –1),	А4(4, –2,3).
52.	А1(2, –1,8),	А2(3,4,4),	А3(2, –1,2),	А4(6, –1,1).
53.	А1(8,5,0),	А2(–3,7, –5),	А3(–4,1,3),	А4(–2,1, –4).
54.	А1(0,1, –1),	А2(3, –4,4),	А3(6, –5,3),	А4(5,2, –1).
55.	А1(3,2, –3),	А2(3, –1, –1),	А3(0,2, –2),	А4(1, –2,3).
56.	А1(0,6, –1),	А2(3,0,5),	А3(4, –1,0),	А4(2,1, –4).
57.	А1(2, –3,2),	А2(0,5,4),	А3(5,6,1),	А4(–2, –2,3).
58.	А1(6, –2,0),	А2(6,2, –1),	А3(2, –1,4),	А4(–2,7,4).
59.	А1(1,4, –2),	А2(–3,0,3),	А3(8,0,1),	А4(1, –4,3).
60.	А1(1,8,2),	А2(4, –1,2),	А3(–1,5,3),	А4(3,3, –3).

Уровень I

Построить пирамиду в декартовой ортонормированной системе координат и найти:

1) длину ребра А1А2;

2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

3) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Уровень II

Построить пирамиду в декартовой ортонормированной системе координат и найти:

1) длину ребра А1А2;

2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

3) уравнение грани А1А2А3 и ее площадь;

4) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Уровень III

Построить пирамиду в декартовой ортонормированной системе координат и найти:

1) Вектор А4М, где М – центр тяжести основания А1А2А3 пирамиды;

2) Проекцию вектора А4М и А1А4;

3) Угол между векторами А4М и А4N, где А4N – медиана грани А1А3А4;

4) Длину медианы А4N.

ЗАДАЧА 2

61 – 70. Составить и привести к канонической форме уравнение множества точек, для каждой из которых выполняется заданное условие. Сделать рисунок.

Уровень I

61 – 65. Квадрат расстояния до точки А равен квадрату расстояния до оси абсцисс.

61. А (0,1)

62. А (0,2)

63. А (0,-1)

64. А (0,-2)

65. А (0,3)

66 – 70. Квадрат расстояния до точки А равен квадрату расстояния до оси ординат.

66. А (1,0)

67. А (2,0)

68. А (-1,0)

69. А (-2,0)

70. А (3,0)

Уровень II

61. Сумма квадратов расстояний до точек А(1,1) и В (–3,3) равна 20.

62.Сумма квадратов расстояний до точек А(3,0), В(0,4) и
С (–1, –1) равна 28.

63. Сумма квадратов расстояний до точек А(3,–3), В(–1,1),
С(–1,0) и D(2, –4) равна 58.

64. Квадрат расстояния до точки А(0,3) на 3 больше квадрата расстояния до оси абсцисс.

65. Сумма расстояний до точек А(6,0) и О (0,0) равна 10.

66. Квадрат расстояния до точки А(2,0) на 16 больше квадрата расстояния до оси координат.

67. Сумма квадратов расстояний до сторон прямоугольника, образованного прямыми х = 0, у = 0, х – 4 = 0, у – 2 = 0, равна 20.

68. Квадрат расстояния до точки А(0,2) на 3 больше квадрата расстояния до оси абсцисс.

69. Разность расстояний до точек А(0,10) и О(0,0) равна 8.

70. Квадрат расстояния до точки А(3,0) на 16 больше квадрата расстояния до оси координат.

Уровень III

Привести к канонической форме указанные уравнения кривых второго порядка, определить тип кривой, сделать чертеж.

Найти координаты фокуса кривой, составить уравнения директрис.

В случае эллипса или гиперболы найти центр кривой, ее полуоси, эксцентриситет. В случае гиперболы составить уравнения ее асимптот. В случае параболы найти координаты ее вершины и параметр p.

61. 5X2 + 9Y2 – 30X + 18Y + 9 = 0.

62. 16X2 + 25Y2 + 32X – 100Y – 284 = 0.

63. 4X2 + 3Y2 – 8X + 12Y – 32 = 0.

64. 16X2 – 9Y2 – 64X – 54Y – 161 = 0.

65. 9X2 – 16Y2 + 90X + 32Y – 367 = 0.

66. 16X2 – 9Y2 – 64X – 18Y + 199 = 0.

67. 4X2 – 8X – Y + 7 = 0.

68. X2 – 12X + 6Y – 42 = 0.

69. 2Y2 – 12Y – X + 14 = 0.

70. 9X2 + 25Y2 – 18X + 100Y – 116 = 0.

ЗАДАЧА 3

71 – 80. Уровень I

Выяснить, образует ли данная система векторов базис.

71. a (1, 2, 3), b (4,-3, 1), c (2, -5, 2);

72. a (-7, 5, 19), b (-5, 7, -7), c (-8, 7, 14);

73. a (1, -2, 1), b (4, 5, 1), c (2, -2, 2);

74. a (1, 2, 3), b (4, 5, 6), c (7, 8, 9);

75. a (0, 1, 1), b (4, 3, 1), c (2, -2, 2);

76. a (1, -1, 1), b (2,-2, 2), c (2, -3, 3);

77. a (4, 2, 1), b (4, 3, 1), c (0, 3, 2);

78. a (1, -2, 3), b (-4, 5, 1), c (3, -3, 3);

79. a (1, 2, 3), b (2,-1, 1), c (1, 3, 4);

80. a (0, 1, -1), b (4, 5, 1), c (2, -1, 0).

71 – 80. Уровень II

Даны векторы ,,, в некотором базисе. Показать, что векторы ,, образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.

71.	(7,3,0),	(4,1,1),	(–7,1,12),	(–1,5,10).
72.	(2,0,3),	(–9,2,10),	(–4,2,10),	(–1, –2, –10).
73.	(1,2,2),	(5, –2, –7),	(0,5, –1),	(–2,6, –6).
74.	(–2,3,1),	(2,6,7),	(4, –1,0),	(6, –3, –5).
75.	(1,3,1),	(1, –8,2),	(0, –5,3),	(3, –8,2).
76.	(2,5, –1),	(–1,2, –6),	(–2,1,1),	(–11, –5, –1).
77.	(–1,4,3),	(5,0,1),	(–1,4,4),	(–7,8,7).
78.	(3,3,2),	(1,2,3),	(1, –1,4),	(4, –1,7).
79.	(–2, –1,1),	(2,3,0),	(–4,2,3),	(–10, –9,3).
80.	(1,5,1),	(–2,5,4),	(3, –1,2),	(4,19,9).

71 – 80. Уровень III

Даны векторы ,,, в некотором базисе. Векторы α,β,γ и образуют замкнутую ломаную линию при условии, что начало каждого последующего вектора совмещено с концом предыдущего. Найти значения чисел α, β, γ.

71.	(7,3,0),	(4,1,1),	(–7,1,12),	(–1,5,10).
72.	(2,0,3),	(–9,2,10),	(–4,2,10),	(–1, –2, –10).
73.	(1,2,2),	(5, –2, –7),	(0,5, –1),	(–2,6, –6).
74.	(–2,3,1),	(2,6,7),	(4, –1,0),	(6, –3, –5).
75.	(1,3,1),	(1, –8,2),	(0, –5,3),	(3, –8,2).
76.	(2,5, –1),	(–1,2, –6),	(–2,1,1),	(–11, –5, –1).
77.	(–1,4,3),	(5,0,1),	(–1,4,4),	(–7,8,7).
78.	(3,3,2),	(1,2,3),	(1, –1,4),	(4, –1,7).
79.	(–2, –1,1),	(2,3,0),	(–4,2,3),	(–10, –9,3).
80.	(1,5,1),	(–2,5,4),	(3, –1,2),	(4,19,9).