Поверхностные состояния в полубесконечной сверхрешетке с шероховатой границей (стр. 2 )

Сами функции имеют вид

, (10)

где - целая часть числа , а - его дробная часть, а и

. (11)

Поперечный квазиимпульс и, следовательно, эЭнергияи электрона определяются из условий, накладываемых на волновую функцию в точке : волновая функция непрерывна, а ее производная терпит скачок, т. е.

(12)

При функции представляют собой блоховские волны, распространяющиеся вдоль оси :

, (13[D5] )

где - периодические с периодом функции с периодом .

При , одно из решений , для которого , определяет поверхностное состояние, убывающее вглубь решетки, а другое решение, неограниченно растущее вглубь решетки, является нефизическим.

Условия на можно переформулировать в виде условий, накладываемых на : соответствует случаю , в то время как соответствует случаю .

На рис.1 представлен график зависимости от[D6]  .при

Рисунок 1. Зависимость от при . Точки пересечения с прямыми определяют границы разрешенных () и запрещенных () зон, в случае бесконечной решетки.

Возможные значения , а следовательно и энергия электрона, определяются из условий, накладываемых на волновую функцию в точке : волновая функция непрерывна, а ее производная терпит скачок, определяемый из уравнения (5)

(12)

Условия (12) могут быть выполнены при всех из областей, отвечающих условию , поскольку накладываются только два условия на четыре коэффициента волновой функции (6) и только для определенных для областей, где , т. к. нефизические решения должны быть отброшены и условия (12) сводятся тем самым к системе двух линейных однородных уравнений, которая имеет решение только если ее определитель равен нулю.. Таким образом, спектр распадается (см. рис.1) на «разрешенные» зоны, отвечающие ограниченным решениям типа блоховских волн (в случае бесконечной решетки только такие решения и возможны), и дискретные значения, которым отвечают убывающие вглубь решетки, решения. Последние и являются поверхностными волнами., распространяющимися вдоль поверхности. Энергии, соответствующие этим решениям этих решений, располагаются как видно из рис.1 между разрешенными зонами[D7] . Границы разрешенных энергетических зон определяются условием , одно из решений которого ., а другое можно найти численно Другую границу зон можно найти только численно.

Выпишем теперь уравнение, вытекающее из системы (12), для определения энергии поверхностного состояния.Учитывая, что и Д, волновая функция которого убывает в обе стороны от границы в (6) следует положить равными нулю и один их коэффициентов .

Учтем теперь, что

и

., [D8] то вытекающее из (12) уравнение на энергию поверхностного состояния можно записать в виде

, (14)

Последнее соотношениекоторое с учетом (8) и (9) переписывается в виде

. (15)

На рисунке 2 представлен график зависимости энергии связи поверхностного состояния от параметра сверхрешетки

Рисунок 2. Зависимость энергии связи поверхностного состояния (сплошная линия) от мощности поверхностного потенциала

3.  Затухание поверхностного состояния на статистически неровной поверхностиСлучай шероховатой поерхности сверхрешетки.

В соответствии с постановкой задачи представим волновую функцию электрона в виде

При шероховатой поверхности решение уже не будет иметь вид (2):переменные и не разделяются. Решение уравнения (1) будем искать в виде

(16)

где должны удовлетворять уравнению

, (17)

В (17) - мода Фурье потенциала шероховатости.

Заметим, что при уравнения (17) совпадает с уравнением (5) с заменой . Соответственно определяется формулами (6), но они вместо условий (12) должны при удовлетворять условиям

(18)

Представим волновую функцию в виде суммы среднего поля и флуктуационной части

(8)

где - поверхностная волна, а - либо поверхностные волны, либо уходящие вглубь решетки блоховские волны, при этом

и

Энергию считаем вещественной. Как мы увидим, волновой вектор является комплексным, что отражает убывание амплитуды поверхностной волны в результате рассеяния. Такая ситуация не является реальной в случае неограниченной поверхности, но позволяет оценить затухание на единицу длины в области шероховатости.

Оценку затухания поверхностной волны проведем по теории возмущений, предложенной в /4/. Для этого условие (6) на волновую функцию (8) перепишем, явно выделив уравнение, содержащее , (учтено, что )

(9)

Здесь амплитуда Фурье потенциала шероховатости, а - размер решетки по осям и .

Считая в

Поскольку нас интересует поверхностные состояния электрона, то среднее поле будем искать в виде поверхностной волны

,

Где является поверхностным состоянием уравнения (5), а входящие во флуктуационную часть

функции представляют собой либо поверхностные состояние, либо уходящие вглубь решетки блоховские волны. Таким образом ( также) имеют вид

где , , функции и определяются формулами и (10)-(11)

Граничные условия (18) можно переписать в виде

амплитуда (19)

Считаю флуктуационную часть малой по сравнению со средним полем мы во втором уравнении принебрегаем членами второго порядка малости . Угловые скобки <….> означают статистическое усреднение по ансамблю реализаций шероховатой поверхности.

Учитывая, что ,

озмущение поверхностной волны малым, отбросим во втором уравнении системы (9) члены второго порядка малости и учитывая, что

,

а (см. приложение)

,

приходим к системесистема (19)

(10)

Эта принимает вид

с

Эта система уравнений совместнима, если выполняетсяено условие