Поверхностные состояния в полубесконечной сверхрешетке с шероховатой границей (стр. 4 )

Рис. 3в. Зависимость от при =3, =4.5 (суммарный вклад)

Как видно из результатов расчетов коэффициент затухания мал как при , так и при , что физически оправдано. При большой корреляционной длине неровностей поверхности и малой длине поверхностной волны затухание мало, так как этот случай мало отличается от гладкой поверхности. В противоположном случае малой корреляционной длины неровностей и большой длины волны поверхностного состояния затухание также мало в силу сглаживания неровностей на расстояниях порядка длины волны, что опять ведет к случаю гладкой поверхности.

Кроме того, при выбранных значениях параметров задачи вклад в от рассеяния вглубь решетки сильно подавлен по сравнению с вкладом от рассеяния вдоль поверхности. Для выяснения причин этого проведем аналитические оценки первого и второго слагаемых в (14). Интегрирование в (14) идет, как указывалось, по единственной «разрешенной» зоне в области отрицательных . Границы зоны определяются условиями . Приближенное решение этого уравнения для границ зоны дает

.

Откуда для ширины зоны находим

.

Оценивая интеграл в (14) по теореме о среднем с учетом того, что в средней точке интервала можно считать , находим

. (16)

Оценка вклада второго слагаемого в (14) имеет вид

, (17)

где учтено, что .

Как видим и имеют подобное поведение, как функции , но существенно разное поведение в зависимости от параметров потенциала сверхрешетки и потенциала поверхностного слоя . При выбранных при численных расчетах значениях параметров и отношение вкладов от рассеяния вглубь решетки и от рассеяния вдоль поверхности при составляет .

З5. Заключение

Проведен анализ влияния шероховатости границы сверхрешетки на поверхностные состояния электронов в простейшем однозонном приближении для невырожденных энергетических зон кристаллической решетки. Сверхрешетка моделировалась -образными потенциальными ямами, поверхностная потенциальная яма отличалась по глубине от остальных потенциальных ям сверхрешетки, а неровность поверхности вводилась через зависимость мощности потенциала поверхностного слоя от координат точек слоя.

Показано, что волновая функция усредненного поверхностного состояния будет затухать в направлении распространения вдоль граничной поверхности сверхрешетки в результате рассеяния на неровностях поверхности и преобразования поверхностной волны в объемные блоховские волны, уходящие вглубь решетки. Получены выражения для коэффициента затухания поверхностного состояния в продольном направлении, при этом выделены вклады, обусловленные рассеянием вдоль поверхности и рассеянием с преобразованием поверхностной волны в объемные волны, и проведены расчеты этого коэффициента.

Приложение.

В приложении приведены решения уравнения

(П1)

При это уравнение совпадает с уравнением (3).

В области решения этого уравнения можно выбрать так, что для них выполняется свойство , при этом числа оказываются корнями уравнения

, (П2)

где

(П3)

Корни уравнения (П2) обозначим

и соответственно есть два линейно независимых решения, отвечающие этим корням.

Отметим, что произведение корней , т. е либо оба корня по модулю равны 1, либо по модулю один из корней больше, а другой меньше 1.

Сами функции имеют вид

. (П4)

Здесь - целая часть числа , - его дробная часть и

. (П5)

Отметим, что и

При , т. е. когда, функции представляют собой блоховские волны:

,

где - периодические функции с периодом .

При одно из решений , для которого , определяет поверхностное состояние, убывающее вглубь решетки, а другое решение, неограниченно растущее вглубь решетки, является нефизическим. В случае бесконечной решетки оба эти решения являются нефизическими, так как убывая в одну сторону, в другую они неограниченно растут.

Значения определяются значениями : при этом , когда , в то время как соответствует случаю , причем при , а при .

На рис.4 представлен график зависимости от при .

Рис. 4. Зависимость от при . Точки пересечения с прямыми определяют границы «разрешенных» () и «запрещенных» () зон.

Как видно из рис. 4, область значений распадается на зоны: «разрешенные» зоны (), которым отвечают ограниченные решения типа блоховских волн (в случае бесконечной решетки только такие решения и возможны), и «запрещенные» зоны (), которым отвечают убывающие вглубь решетки решения.

В области в случае уравнение (П1) имеет решение

где .

Условие на производную волновой функции при , вытекающее из уравнения (П1),