Поверхностные состояния в полубесконечной сверхрешетке с шероховатой границей (стр. 3 )

(11)

(20)

УЭто уравнение (11) определяет волновые числа электронной поверхностнойго волнысреднего поля. Правая часть уравнения (11) является комплексным числом вс силу комплексности для блоховских волн и наличия нулей у знаменателя. В силу этого Ккомплексными являются и волновые числа поверхностного состояния электронасреднего поля. Мнимые добавки к волновому числу отражаютведут к затуханиею поверхностного состояния электронасреднего поля вдоль шероховатой поверхности по сравнению со случаем гладкой поверхностиго интерфейса. Это затухание, как видно, происходит за счет преобразования поверхностной волны в объемную при рассеянии на неровностях поверхности сверхрешетки. Кроме того, меняется и фазовая скорость поверхностной волны по сравнению со случаем гладкого интерфейса за счет добавки к вещественной части волнового числа .

Оценим затухание поверхностной электронной волны, усредненное по ансамблю реализаций поверхности со случайной шероховатостью (2). Поскольку нас интересует мнимая часть волнового числа, то суммирование в (11) можно вести только по области , соответствующей блоховским волнам, полюса же в (11) учтем стандартным образом, обходя их по малой полуокружности в области комплексных .

Для дальнейшего анализа выберем в виде

(12)

где среднеквадратичная случайная добавка к мощности поверхностного потенциала , а -обратная корреляционная длина шероховатости. Кроме того, заменой выполним в уравнении (11) стандартный переход от суммирования по квазидискретным волновым векторам к интегрированию.

Для краткости записи введем обозначение

После интегрирования по углам правая часть уравнения (11), которую обозначим , сводится к

(13)

где - функция Бесселя от мнимого аргумента первого рода /6/.

Мнимая часть отрицательна и равна

. (14)

В интеграле выполнена замена переменной и интегрирование по в (14) идет, как отмечалось, только по областям, отвечающим блоховским волнам, т. е. там где . Второе слагаемое в (14) есть вклад от полюсов ().

поверхностной средней волны, Ссчитая затуханиеего малым., Тогда в правую часть уравнения (1120) можно подставимть значенияе , , отвечающееотвечающие поверхностному состоянию для ггладкойму поверхности с мощностью потенциала поверхности .интерфейсу (Такой потенциал поверхности получается эффективно в пределе для уравнения (11) с коррелятором (12) и, кроме того, это позволяет избежать расходимости в полюсном члене в (14) в пределе ). Тогда и правая часть уравнения (11)правая часть уравнения (20) даст просто поправку к . С учетом этого.

Обозначая и записывая (20) в компактном виде находимполучаем поправки к волновому числу ()

,

и

Так как ,поправки к волновому числу (учтено, что )

то .

(15)

4.  Результаты расчетов

Для расчетов выберем случай и . С учетом условия получаем, что . В области отрицательных имеется единственная «разрешенная» зона, отвечающая блоховским волнам (см. рис.4 приложения), и для того, чтобы она давала вклад в (14), значение должно лежать выше этой зоны. Кроме того, в области отрицательных вклад от полюсов в (14) содержит только одно слагаемое, а условие ведет к тому, что лежит ниже разрешенной зоны (см. рис. 5 приложения).

На рис. (21)

Для численных оценок выберем в виде

(22)

где определяет шероховатость поверхности, а -обратная корреляционная длина шероховатости. Кроме того, заменой выполним стандартный переход от суммирования во квазидискретным волновым векторам к интергрированию.углам (напомним, что ) 2 и 3 показана зависимость от . Кроме того, отдельно показаны вклады в только от рассеяния вглубь решетки и только за счет рассеяния по поверхности.

.Где

=5, =5.5

Рис. 2а. Зависимость от при =5, =5.5 (вклад от рассеяния вглубь решетки).

Рис. 2б. Зависимость от при =5, =5.5 (вклад от рассеяния вдоль поверхности).

=3, =4.5

Рис. 2в. Зависимость от при =5, =5.5 (Суммарный вклад).

Рис. 3а. Зависимость от при =3, =4.5 (вклад от рассеяния вглубь решетки)

Рис. 3б. Зависимость от при =3, =4.5 (вклад от рассеяния вдоль поверхности)