Программа вступительных испытаний для поступления в магистратуру в Дальрыбвтуз в 2011 г.
по направлению 010500.68
«Прикладная математика и информатика»
1. Численные методы.
Системы линейных алгебраических уравнений и задача наименьших квадратов. Число обусловленности матрицы. Треугольное разложение матрицы (LU-разложение). Метод Холесского (метод квадратного корня).QR-разложение отражения матрицы методом отражений Хаусхолдера. Метод наименьших квадратов. Плоские вращения. Приведение матрицы к треугольному виду при помощи плоских вращений. Разложение матрицы методом Грама-Шмидта. Сингулярное разложение матрицы. Трехдиагональные матрицы и метод прогонки. Теорема Гершгорина и ее следствия. Метод сопряженных градиентов.
Нахождение собственных чисел и собственных векторов симметричной матрицы. Методы прямой и обратной итерации. Отношение Релея и обратные итерации с отношением Релея. Метод Якоби.
Постановка задачи, условия существования и единственности решения. Интерполяция полиномами. Интерполяционный полином Лагранжа. Погрешность интерполяции. Разделенные разности и интерполяционный полином Ньютона. Интерполяционный полином Эрмита.
Интерполяция кубическими сплайнами. Постановка задачи, существование и единственность решения.
Полиномы Чебышева. Экстремальное свойство полиномов Чебышева. Ортогональность полиномов Чебышева. Метод Кленшо.
Нахождение корней уравнений. Метод простых итераций. Метод Ньютона. Методы секущих и ложного положения. Метод Барстоу.
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Числа Бернулли и полиномы Бернулли. Формула суммирования Эйлера. Метод экстраполяции. Повышение порядка аппроксимации квадратурной формулы трапеций методом Ричардсона. Ортогональные полиномы. Свойства корней ортогональных полиномов. Примеры ортогональных полиномов. Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля. Вычисление несобственных интегралов.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши и краевые задачи. Метод разложения в ряд Тейлора. Методы Рунге-Кутта. Выбор шага в методе Рунге-Кутта. Метод предиктор-корректор. Решение краевых задач и задач на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений методом стрельбы. Разностные методы решения краевых задач для уравнения второго порядка.
2. Методы оптимизации.
Общая постановка задачи линейного программирования в канонической форме. Двойственная задача. Транспортная задача. Вычислительные схемы симплекс-метода и метода потенциалов. Решение тестовых задач.
Элементы выпуклого анализа. Основные определения. Теоремы отделимости. Свойства выпуклых множеств и выпуклых функций. Теорема Фенхеля-Моро о сопряженной функции.
Доказательство теоремы существования решения для задачи линейного программирования. Доказательство теоремы двойственности для задачи линейного программирования с помощью преобразования Фенхеля-Юнга. Свойства опорных решений, переход от одних опорных решений к другим.
Задача нелинейного программирования с ограничениями в виде неравенств. Задача выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера для задачи выпуклого программирования.
Необходимые условия оптимальности решения для задачи нелинейной оптимизации в банаховых пространствах в виде уравнения Эйлера-Лагранжа. Доказательство с использованием теорем функционального анализа. Принцип Лагранжа в задачах нелинейной оптимизации
Задача оптимального управления для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Принцип максимума Понтрягина. Примеры. Задача о быстродействии.
3. Системное и прикладное программное обеспечение.
Программное обеспечение ЭВМ. Классификация. Системное и прикладное программное обеспечение.
Операционные системы. Исторические этапы развития. Режим работы. Назначение и функции. Компоненты. Классификация современных операционных систем. Язык управления заданиями в операционных системах. Задание, пункт задания, процесс, обработка прерываний.
Системы редактирования. Текстовый процессор, его функции. Требования к текстовому процессору. Интерфейс пользователя, системы редактирования.
Пакеты прикладных программ. Типы пакетов прикладных программ. Модель предметной области пакетов прикладных программ, управляющие и обслуживающие модули. Типы входных языков.
Автоматизированное рабочее место. Структура. Классификация.
Системы программирования. Состав. Языки программирования. Исторический обзор. Классификация. Структура, грамматика, семантика языков программирования. Методы оптимизации. Оптимизирующие преобразования.
Компьютерные сети. Основные понятия. Топологии. Классификация. Протоколы компьютерных сетей.
Стандарты разработки программного обеспечения (ISO/IEC).
