Направление: Прикладная математика и информатика (стр. 1 )

Национальный Исследовательский Университет

Высшая школа экономики

Направление: Прикладная математика и информатика

010400.68

Аннотации дисциплин магистерской программы

«Математические методы естествознания и компьютерные технологии»

Линейные операторы в задачах математической физики

Цель курса: представить главные идеи и подходы к анализу базовых задач математической физики с помощью теории линейных операторов.

Задачи курса: обучить слушателей основным понятиям и теоремам теории линейных операторов, а также методам применения линейных операторов в основных типах задач математической физики.

Программа курса

1. Спектральные свойства операторов математической физики

1.1. Неограниченные операторы. Область определения. Замкнутые операторы.

1.2. Симметрические операторы и индексы дефекта. Самосопряженное расширение. Теорема Нельсона. Физические примеры.

1.3. Дискретный и непрерывный спектры. Собственные функции.

1.4. Спектральная теорема. Спектральная плотность. Формулы следа.

1.5. Унитарные операторы. Проекторы и корни из единицы. Примеры: оператор Теплица, когерентные состояния, квантайзер.

1.6. Общие свойства спектра операторов Шредингера и Дирака.

1.7. Спектр в периодических полях. Блоховские функции. Зоны Бриллюэна. Поверхность Ферми.

1.8. Туннельное расщепление спектра.

1.9. Квазистационарные состояния оператора Шредингера и спектр аналитических семейств компактных операторов (теория Келдыша).

2. Нестационарные задачи математической физики

2.1. Теорема Стоуна.

2.2. Банаховы и гильбертовы шкалы, производящие операторы.

2.3. Формулы Троттера и Каца-Фейнмана. Вывод континуального интеграла.

2.4. Туннельная транспортация квантовых состояний.

2.5. Симметрические гиперболические системы, уравнения Максвелла.

2.6. Связь волновых и диффузионных процессов. Полугруппы операторов.

2.7. Эволюция в неавтономных системах.

2.8. Периодические системы и операторы монодромии.

3. Задача рассеяния

3.1. Постановка задачи рассеяния. Безотражательные потенциалы.

3.2. Интегральное уравнение Липпмана-Швингера теории рассеяния.

3.3. Функция Йоста, матрица рассеяния, полюса Редже.

3.4. Обратная задача теории рассеяния.

Список литературы

1. У. Рудин, Функциональный анализ / М.: Мир, 19К. Морен, Методы гильбертова пространства / М.: Мир, 19Т. Като, Теория возмущений линейных операторов / М.: Мир, 19, Линейный функциональный анализ / Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т.19 (Функциональный анализ-I), М.: ВИНИТИ, 19П. Халмош, Гильбертово пространство в задачах / М.: Мир, 19К. Фридрихс, Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве / М.: Мир, 19М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, тт.1-4 / М.: Мир, 1977, 1978, 19, , Уравнение Шредингера / МГУ, 19, Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов / М.: Физматгиз, 19, , Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / М.: Наука, 1981.

Квантовые эффекты и специальные методы квантовой механики

Цель курса: описать понятия и методы важные как для освоения принципиально новых концепций в данной области, так и для расчета конкретных моделей квантовых систем,

рассмотреть парадоксы квантовой механики, дать анализ методов компьютерного моделирования квантовых систем (достоинства, недостатки и открытые проблемы).

Задачи курса: научить делать простые оценки квантовых эффектов, научить основным подходам и методам моделирования базовых квантовых систем.

Программа курса

I. Квантовая механика и топология.

Квантовые системы во внешнем электромагнитном поле. Эффект Ааронова-Бома. Эффект Ааронова-Кашера. Фаза Берри.

II. Специальные методы квантовой механики.

Аналогия между квантовой механикой и квантовой статистической физикой. Метод мнимого времени. Метод инстантонов в квантовой механике. Континуальные интегралы. Квантовые методы Монте Карло. Метод функционала плотности. Теорема об однозначности энергии как функционала от плотности. Уравнения Кона-Шэма.

III. Квантовые коллективные явления.

Симметрии и законы сохранения. Симметрия кристаллов. Квазиимпульс. Электронная структура твердых тел. Кристаллическая решетка и фононы. Фазовые переходы. Спонтанное нарушение симметрии. Теория Ландау. Теорема Голдстоуна.

Природа сил притяжения между электронами в кристалле. Бозе-конденсация и сверхтекучесть бозе-систем. Спаривание электронов. Модель Купера. Сверхтекучесть ферми-газа и микроскопическая теория сверхпроводимости. Эффект Мейснера. Эффект Джозефсона. Магнетизм

Список литературы

1. Y. Aharonov, D. Bohm, Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory /

Phys. Rev., 115, 485-

2. Y. Aharonov, A. Casher, Ground state of spin-1/2 charged particle in a two-dimensional magnetic field / Phys. Rev., A19, 2461-2

3. , Об "особой" роли потенциалов в квантовой механике / УФН,78, 53–64 (1962).

4. , Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике / М.: Наука, 1972.

5. , , Топологические фазы в квантовой механике и поляризационной оптике / УФН, 160, 1–49 (1990).

6. , Теория металлов / М, Наука, 1987.

7. О. Маделунг, Теория твердого тела / М.: Наука, 1980.

8. Р. Фейнман, Статистическая механика / М.: Мир, 1975.

9. Р. Фейнман, А. Хиббс, Квантовая механика и интегралы по траекториям / М.: Мир, 1968.

10. Х. Гулд, Я. Тобочник, Компьютерное моделирование в физике / М.: Мир, 1990.

11., Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике / М.: Наука, 1990.

12. , Введение в теорию функционала плотности. Учебно-методическое пособие / Нижний Новгород, 2009.

Наноструктуры; физические основы конструирования наноустройств

(части I и II)

Цель курса

Курс направлен на глубокое изучение основных понятий и явлений физики наноструктур, наиболее важных как с концептуальной, так и с прикладной точек зрения. Этот постоянно обновляющийся курс включает в себя последние, наиболее интересные и перспективные достижения; в настоящее время это, например, – открытие и свойства графена и совсем недавнее открытие и изучение замечательных свойств топологических изоляторов.

Задачи курса

Задачи курса – глубокое и наглядное освоение понятий и самых важных эффектов физики твердого тела и физики твердотельных наноструктур, понимание эвристики важнейших научных открытий, ценности физических аналогий, умение делать простые и быстрые оценки критических параметров для различных эффектов, умение применять полученные знания к конкретным научным и техническим задачам

Программа курса

Введение.

Тенденции и основные открытия в современных нанотехнологиях. Закон Мура. Ограничения и возможности нанолитографии. Основные устройства для анализа с нанометровым пространственным разрешением. Принципиальные особенности низкоразмерных систем.

1. Низкоразмерные системы и наноструктуры.

Инверсионные слои. Гетероструктуры. Квантовые ямы и сверхрешетки. Связанные квантовые ямы. Квантовые провода. Квантовые точки. Приложения в наноэлектронике и в оптоэлектронике.

2. Двумерные электронные и электрон-дырочные системы

Основные свойства двумерного электронного газа. Сильно коррелированные низкоразмерные электронные системы. Теория ферми-жидкости Ландау. Латинжеровская жидкость. Вигнеровский кристалл. Переход Мотта-Хаббарда. Фазовые переходы в системе электронов и дырок в полупроводниковых наноструктурах. Модель экситонных фаз. Бозе-конденсация и сверхтекучесть экситонов и магнитоэкситонов в наноструктурах: теория, эксперименты и проблемы.

3. Теория низкоразмерных разупорядоченных систем.

Источники случайного поля в кристалле: примеси, шероховатость поверхности раздела, дефекты кристалла и т. п. Делокализованные и локализованные состояния в примесном кристалле. Пороги подвижности в трехмерных неупорядоченных системах. Правило Иоффе-Регеля. “Примесный” переход Хаббарда. Минимум металлической проводимости.

Локализация Андерсона:

- модель Андерсона, модель Лифшица,

- критерии локализации,

- самоусредняющиеся величины,

- квантовая перколяция,

- локализация в одномерных системах,

- слабая локализация, роль интерференции путей с обращенным временем.

4. Мезоскопические явления. Фазовая когерентность

5. Квантовый эффект Холла.

Эффект Холла в полупроводниках. Выражение для холловского сопротивления.

Целочисленный квантовый эффекты Холла:

- основные экспериментальные закономерности целочисленного квантового эффекта Холла,

- продольная и поперечная проводимость и сопротивление,

- диск Корбино,

- спектр и плотность состояний двумерного электронного газа в сильных магнитных полях, кратность вырождения, заполнение уровня Ландау,

- случайное поле примесей,

- движение электрона в скрещенных электрическом и магнитном поле,

- дрейфовое приближение в сильных магнитных полях и квантование холловской проводимости,

- краевые состояния,

- квантовый эффект Холла и топологические инварианты,

- эффект Бома – Ааронова,

- калибровочная инвариантность и квантование холловской проводимости,

- квантование холловского сопротивления и эталон сопротивления.

Дробный квантовый эффект Холла:

- основные экспериментальные закономерности дробного квантового эффекта Холла,

- теория Лафлина, несжимаемые квантовые жидкости,

- свойства вариационной функции Лафлина,

- аналогия волновой функции Лафлина и двумерной электродинамики (зарядов с логарифмическим взаимодействием), квазичастицы – квазиэлектроны и квазидырки,

- дробный заряд квазичастиц, доказательство Лафлина по аналогии с двумерной электродинамикой, доказательство Шриффера с использованием эффекта Бома-Ааронова,

- экспериментальное доказательство дробного заряда квазичастиц по спектру шумов,

- дробная статистика квазичастиц,

- композитные фермионы – новый тип квазичастиц, аналогия целочисленного и дробного квантовых эффектов Холла, калибровочные поля, теория типа Черна-Саймонса.

Композитные фермионы при дробных заполнениях уровня Ландау с четными знаменателями:

- поверхность Ферми для композитных фермионов,

- экспериментальные проявления композитных фермионов: магнитная фокусировка и резонансное поглощение ультразвука в системе антиточек,

- новые загадки.

6. Открытие и свойства графена.

Аллотропные формы углерода. Проблема устойчивости двумерных мембран. Симметрия и электронный спектр графена. Аналогия с уравнением Дирака для нейтрино. Киральность. Графен и парадокс Клейна в квантовой электродинамике. Аномальное прохождение электронов через барьер. Отсутствие отражения назад и отсутствие слабой локализации в графене. Проблема минимальной металлической проводимости в графене.

Поведение графена в сильном магнитном поле. Эффект Шубникова-де Газа и экспериментальное доказательство линейности электронного спектра. Аномальный квантовый эффект Холла для графена. Возможные наноустройства на основе графена.

Нерешенные проблемы в графене. Возможные применения графена.

7. Топологические изоляторы

Топологические инварианты в физике. Фаза Берри. Эффект Бома-Ааронова. Аналогия с квантовым эффектом Холла. Краевые состояния. Топологический инвариант. Двумерный топологический изолятор. Спиновый квантовый эффект Холла. Киральные краевые состояния. Трехмерный топологический изолятор. Киральные безмассовые дираковские фермионы на поверхности. Магнитоэлектрический эффект. Дионы. Нерешенные вопросы, возможные эксперименты и применения.

Список литературы

1. , Теория металлов, М, Наука, 1987.

2. Christophe Jean Delerue, Michel Lannoo, Nanostructures: Theory and Modelling Springer, 2010..

3. О. Маделунг, Теория твердого тела, М, Наука, 1980.

4. , , Введение в теорию неупорядоченных систем, М, Наука.

5. Электронная теория неупорядоченных полупроводников, М, Наука.

6. Квантовый эффект Холла, сборник статей под ред. Гирвина.

7. Т. Райс, Дж. Хенсел, Т. Филипс, Г. Томас, Электронно - дырочная жидкость в полупроводниках, М, Мир.

8. M. I. Katsnelson, Graphene: carbon in two dimensions, Materials. Review article,. Materials Today, Volume 10, Issue 1-2, January 2007, Pages 20-27.|

9. Carbon nanotubes, eds. M.S. Dresselhaus et. al., Springer

10. A. Kavokin, G. Malpuech, Cavity polaritons, Elsevier.

11. Turton R. J. The Quantum Dot, W H Freeman, 1995.

12. П. Дьячков, Электронные свойства и применение нанотрубок, Бином-Пресс (2010).

13. M. Z. Hasan, C. L. Kane, Topological Insulators, arXiv:1002.3895 (Обзор).

14. К. фон Клитцинг, Квантованный эффект Холла, 150, 107–Нобелевская лекция).

15. , Х. Штермер, Д. Цуи, Открытие нового вида квантовой жидкости с дробно заряженными возбуждениями. Нобелевские лекции по физике—1998, 170,

16. , Случайные блуждания: непредсказуемый путь к графену, 181, 1284–1Нобелевская лекция).

17. , Графен: материалы Флатландии, 181, 1299–1Нобелевская лекция).

Компьютерное симулирование в задачах естествознания

(части I и II)

Цель курса: познакомить слушателя с математическими и физическими основами молекулярно-динамического моделирования и с основными принципами компьютерного моделирования материалов на основе квантовой механики, показать связь между моделированием вещества на уровне отдельных атомов с расчетом макроскопических свойств, описать базовые теоретические положения, продемонстрировать примеры решения конкретных задач физики конденсированного состояния, молекулярной биологии и материаловедения, дать представление о различных приближениях и вычислительных методах, начиная с выбора базиса для представления волновых функций и заканчивая алгоритмами распараллеливания вычислений.

Задачи курса:

Описание основных положений теоретической механики и вычислительной математики, относящихся к построению молекулярно-динамических моделей. Классификация моделей потенциалов межатомного и межмолекулярного взаимодействия для различных веществ. Обучение принципам расчета макроскопических свойств методами атомистического моделирования на основе связи молекулярной динамики и термодинамики. Описание методов решения уравнения Шредингера в простейших случаях, иерархии приближений, используемых в молекулярной биологии, квантовой химии и физике твердого тела. Знакомство с примерами решения задач. Овладение общими навыками проведения суперкомпьютерных расчетов для решения прикладных задач. Знакомство с конкретными пакетами программ для квантового моделирования и проведение суперкомпьютерных расчетов с их использованием.

Программа курса

Часть 1. Компьютерная молекулярная динамика и термодинамика

Введение. Системы координат. Уравнения движения. Периодические граничные условия. Поверхности потенциальной энергии. Единицы измерения. Математический аппарат. Методы классической молекулярной динамики (МД) и Монте-Карло (МК). Параллельные алгоритмы для расчета взаимодействий между частицами: декомпозиция по частицам и по пространству. Роль статистического усреднения. Эффективность распараллеливания. Средства визуализации данных и молекулярная графика. Компьютерное оборудование и программное обеспечение. Операционная система Linux. Ресурсы Интернета.

Потенциалы межатомного взаимодействия. Парные потенциалы: твердые и мягкие сферы, потенциалы Леннарда-Джонса и Букингема. Многочастичные потенциалы для металлов и полупроводников. Модели межатомного взаимодействия в (био)молекулярных системах. Ван-дер-ваальсовское взаимодействие. Водородная связь. Электростатическое взаимодействие. Потенциалы взаимодействия в неидеальной плазме.

Интегрирование уравнений движения. Методы интегрирования уравнений движения в молекулярной динамике. Сохранение интегралов движения и инвариантов. Симплектические схемы интегрирования. Алгоритмы сортировки при расчете сил, действующих на атомы: списки Верле, связные списки. Методы оптимизации.

Равновесные системы. Методы вывода молекулярно-динамической системы в равновесное состояние. Моделирование различных статистических ансамблей: микроканонический, канонический, изобарический. Флуктуации. Методы диагностики: температура, давление, тензор напряжений, теплоемкость, упругие свойства среды, коэффициент диффузии. Основные уравнения механики сплошных сред. Методы анализа структуры. Корреляционные функции и их спектры. Решение уравнения Пуассона на сетке. Декомпозиция по пространству, оптимизация передачи данных между узлами.

Неравновесные системы, релаксация. Примеры моделей неравновесных процессов на атомистическом уровне. Основные требования к моделированию релаксации: начальные состояния, ансамбль начальных состояний, характеристики, зависящие и не зависящие от начального ансамбля, диагностика, требующая усреднения по времени. Методы расчета транспортных свойств: вязкость, теплопроводность, диффузия. Модели ударных волн. Гюгониостат. Моделирование взаимодействия излучения с веществом. Распараллеливание задач газо - и гидродинамики.

Часть 2. Компьютерная квантовая механика

Уравнение Шредингера в стационарном и нестационарном случае. Решение задач о движении частицы, прохождении через щель. Использование пакета Mathematica для построения соответствующих моделей и визуализации результатов.

Одноэлектронный атом. Многоэлектронный атом и молекулы. Детерминант Слэтера. Молекулярные орбитали. Уравнения Хартри-Фока. Методы учета электронных корреляций. Теория возмущений. Многоконфигурационные подходы.

Использование функционала плотности. Электрон-электронное взаимодействие: обменно-корреляционное взаимодействие, функционал Кона-Шэма, приближение локальной плотности. Электрон-ионное взаимодействие: приближение псевдопотенциала. Особенности моделирования изолированных молекул и кластеров и периодических систем.

Технология вычислений. Базис плоских волн. Локализованные базисы. Смешанные базисы. Вейвлетные базисы. Принципы распараллеливания алгоритмов. Использование быстрого преобразования Фурье. Обзор существующих программных средств.

Список литературы

1. A. Rahman, Correlations in the Motion of Atoms in Liquid Argon // Phys. Rev., v.136, p. A405, 1964.

2. M. P. Allen and D. J. Tildesley, Computer Simulation of Liquids, Oxford: Clarendon Press, 1989.

3. D. Frenkel, B. Smit, Understanding Molecular Simulation: From Algorithms to Applications, San Diego: Academic Press, 2002.

4. , , Метод молекулярной динамики: теория и приложения // В сб. «Математическое моделирование. Физико-химические свойства вещества». М.: Наука, 1989. С. 5-40.

5. Х. Гулд, Я. Тобочник, Компьютерное моделирование в физике, М.: Наука, 1990.

6. Р. Хокни, Дж. Иствуд, Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987.

7. P. Gibbon, G. Sutmann, Long-range interactions in many-particle simulation // in Quantum Simulations of Complex Many-Body Systems: From Theory to Algorithms, Lecture Notes, J. Grotendorst, D. Marx, A. Muramatsu (Eds.), 2002.

8. A. R. Leach, Molecular modelling: principles and applications. Prentice Hall, 2001.

9. Теория неоднородного электронного газа. Под. ред. С. Лундквиста и Н. Марча, М.: Мир, 1987.

10. M. D. Segall, Applications of ab initio atomistic simulations to biology // J. Phys.: Condens. Matter, v.14, p.2957, 2002.

11. R. M.Martin, Electronic structure. Basic theory and practical methods. Cambridge University Press. 2008.

12. J. Hutter, D. Marx, Ab Initio Molecular Dynamics: Basic Theory and Advanced Methods. Cambridge University Press. 2009.

Математическое моделирование молекулярных машин

Цель курса: познакомить студентов с методами использования р-адических уравнений в задачах математического моделирования динамки и функции биологических макромолекул - молекулярных машин.

Задачи курса:

Ознакомление с ультраметрическими пространствами, р-адическими числами, элементами анализа на поле р-адических чисел и р-адическими псевдо-дифференциальными уравнениями. Освоение аналитического аппарата теории ультраметрических случайных процессов. Развитие навыков решения р-адических уравнений ультраметрической диффузии как основы ультраметрических моделей динамики молекулярных машин. Ознакомление с особенностями архитектуры и динамики функциональных биополимеров. Развитие навыков конструирования ультраметрических моделей структуры и динамики функциональных биополимеров и молекулярных машин.

Программа курса

1. Обзор представлений о функциональных биополимерах и молекулярных машинах. Характерные особенности динамики и функции биополимеров. Молекулярные машины. Проблемы математического моделирования биополимеров и молекулярных машин. Основные идеи иерархического (ультраметрического) моделирования.

2. Введение в р-адический анализ в объеме, необходимом для освоения данного курса. р-Адические числа и ультраметрические пространства, локально-постоянные функции на Qp, интегрирование на Qp. (8 часов)

3. р-Адическое преобразование Фурье и р-адические всплески.

4. Псевдо-дифференциальный оператор Владимирова, р-адические псевдодифференциальные уравнения. Уравнение ультраметрической диффузии, методы решения, свойства решений. Численные методы решения р-адических псевдо-дифференциальных уравнений. Компьютерное моделирование ультраметрической диффузии.

5. Ультраметрическое описание флуктуационно-динамической подвижности белковой структуры. Свойства флуктуационно-динамической подвижности белковых молекул. Спектральная диффузия в белках. Задача о распределении времени первых возвращений и числа возвращений для ультраметрической диффузии. Ультраметрическая модель спектральной диффузии в белках.

6. Ультраметрическое описание элементарного цикла ферментативной реакции. Особенности кинетики связывания СО миоглобином в высокотемпературной и низкотемпературной областях. Моделирование кинетики ферментативного связывания уравнением ультраметрической диффузии с реакционным стоком. Методы решения и свойства решений такого уравнения. Особенности ультраметрической модели кинетики связывания СО миоглобином в низкотемпературной и высокотемпературной области.

7. Ультраметрические модели рабочего цикла молекулярной машины. Биологические молекулярные машины, их структурные и функциональные особенности. Архитектура модели рабочего цикла молекулярной машины. Система уравнений вида "реакция - ультраметрическая диффузия" как основа многомасштабного математического моделирования рабочего цикла молекулярных машин. Методы решения. Примеры математических моделей молекулярных машин.

Список литературы

1. , , р-Адичесикий анализ и математическая физика. Наука. М. 1994.

2. Н. Коблиц, р-Адические числа, р-адический анализ и дзета функции. Мир. М. 1982

3. , р-Адические псевдодифференциальные операторы и р-адические всплески.

4. , , Многомасштабное математическое моделирование молекулярных машин: проблемы и современные подходы. //Наноструктуры. Математическая физика и моделирование. (2012, в печати)

5. , Проблемы биологической физики, Наука. М. 1977

Некоммутативный анализ и алгебраические преобразования

Цель курса: представить общий обзор методов и конструкций алгебраического анализа линейных уравнений математической физики, а также формул исчисления некоммутирующих операторов.

Задачи курса: обучить применению некоммутирующих операторов и алгебраических подходов в исследовании линейных моделей математической физики, продемонстрировать фундаментальные связи между алгеброй и механикой, алгеброй и геометрией, дать примеры анализа ряда базовых квантовомеханических систем с помощью алгебраических методов и квантовой геометрии.

Программа курса

1. Функции от некоммутирующих операторов

- Функции от нескольких некоммутирующих операторов. Достаточные условия реализации. Базовые формулы исчисления (Ньютона, дифференцирования, квазикоммутации, для сложной функции, диаграммная техника и «интеграл» по путям). Контрпримеры.

- Квантовое произведение функций. Операторы регулярного представления и свертка. Примеры построения квантовых произведений по перестановочным соотношениям.

- Алгебра Гейзенберга. Теорема Стоуна-фон Неймана и неравенство Вейля. Задача Дирака. Исчисление Вейля-Вигнера-Грюнвольда-Мойала-Берри-Маринова. Квантовые дельта-функция и тэта-функция. Формула Аргиреса для дискретного спектра квантовых систем с одной степенью свободы. Квантовое «действие» для случая одной степени свободы. Обобщенное упорядочение образующих алгебры Гейзенбкрга, устранение фокальных точек на примере осциллятора.

- Функции от образующих алгебр Ли. Унитарные представления групп Ли, теорема Нельсона. Формула Кэмпбелла-Хаусдорфа. Инвариантные поля, формы, мера, уравнения Маурера-Картана. Нильпотентные, разрешимые, полупростые, компактные группы. Форма Киллинга и лапласиан. Разложение на неприводимые представления, мера Планшереля. Метод орбит Кириллова-Костанта-Сурьо и геометрическое квантование. Формула Кириллова для характеров.

- Общие перестановочные соотношения, свойство Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Алгебры Фаддеева-Решетихина-Склянина. Полулинейные соотношения. Сильно нелинейные и разрешимые соотношения. «Цветные» алгебры. Антикоммутационные соотношения. Операторы обобщенного сдвига.

- Подход Фейнмана к функциям от семейств некоммутирующих операторов. Формула выпутывания. Некоммутативная теорема Стокса. Континуальный аналог формулы Кэмпбелла-Хаусдорфа. Формула Цассенхауза.

- Уравнение квантового эфира, квантовые пути и кривизна. Асимптотическое квантовое произведение на общих симплектических многообразиях. Квантовое фазовое пространство для римановой метрики и магнитного поля, магнито-метрическая симплектическая связность. Фронт-эффект над плоскостью Лобачевского.

2. Алгебраические источники механики

- Хроно-алгебры Фейнмана и алгебраическая динамика.

- Тензоры тока и напряжения, выведенные из алгебры Гейзенберга.

- Локализация на траекториях и транслокация гамильтониана.

- Фронт осцилляций и инфинитезимальные интегралы движения.

- Геометрия смешанных самосогласованных состояний и гистерезис.

- Влияние алгебры быстрых движений на геометрию медленных. Квантовая связность и кривизна Берри-Саймона.

- Некоммутативные координаты ведущего центра Ландау-Пайерлса для ларморова вихря в магнитном поле. Квантовые магнитные ловушки и квантовые адиабатические поверхности. 2D-уравнение Максвелла-Лоренца как гамильтонова система. Ток и локализация состояний ларморовых квазичастиц за счет геометрии поверхности. Квантовая поправка к геометрическому гамильтониану квазичастицы на поверхности.

- Спинорная структура и уравнение Дирака на многообразии. Деформация метрики в спинтронике. Кривизна как напряженность псевдомагнитного поля в графене. Ток Холла в графене.

- Деформация классической геометрии в квантовых интегрируемых системах. Динамика на больших временах и квантовая диффузия. Формулы для асимптотики следа оператора эволюции и спектральной плотности.

3. Алгебраическое усреднение и нелиевские квантовые алгебры в физических моделях

- Алгебраическое усреднение для матриц. Как сделать матрицы коммутирующими.

- Алгебраическое усреднение для нелинейных динамических (гамильтоновых) систем.

- Алгебраическое усреднение для квантовых систем.

- Резонансные алгебры: алгебры Ли, нелиевские алгебры и тройные алгебры. Алгебры ангармонических резонансных осцилляторов. Гироны в резонансных волноводных каналах и квантовых проволоках. Алгебры резонансных наноловушек Пеннинга.

- Регуляризация Кустанхеймо. Квадратичная алгебра эффекта Зеемана для атома водорода. Алгебра резонансного эффекта Зеемана-Штарка. Водородоподобный центр на поверхности в магнитном поле. Атом-монополь в магнитном поле (модель МиК-Кеплера).