Министерство экономического развития и торговли Российской
Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Государственный университет – Высшая школа экономики
Факультет математики
Программа дисциплины
«Алгебраическая теория чисел»
Направление: | 010100.68 «Математика» |
Подготовка: | Магистр |
Форма обучения: | Очная |
Автор программы доц.
Рекомендовано |
| |
секцией УМС по математике |
| |
Председатель |
| |
_____________________________________ |
| |
«___» ________________________2009 г. |
| |
|
| |
|
| |
Утверждена УС | Одобрена на заседании | |
кафедры алгебры | ||
Ученый секретарь доцент | Зав. кафедрой, д. ф.-м. н., профессор | |
_________________________ | ___________________ | |
«___» ________________________2008 г. | «___» ______________________2008 г. |
Москва
2008
Рабочая программа дисциплины «Алгебраическая теория чисел» [Текст]/Сост. .; ГУ-ВШЭ.–Москва.–2008.–5 с.
Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100 «Математика».
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100 «Математика».
Составитель: доц. . (*****@***ru)
© | , 2008. |
© | Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008. |
Тематический план
№ | Название темы | Всего часов по дисциплине | В том числе аудиторных | Самостоятельная работа | ||
Всего | Лекции | Семинары | ||||
1. | Конечные поля | 21 | 6 | 3 | 3 | 15 |
2. | Дзета-функция Римана | 21 | 6 | 3 | 3 | 15 |
3. | p-адические числа. | 21 | 6 | 3 | 3 | 15 |
4. | Поля алгебраических чисел | 21 | 6 | 3 | 3 | 15 |
5. | Адели и идели. | 24 | 6 | 3 | 3 | 18 |
Итого: | 108 | 30 | 15 | 15 | 78 |
Базовые учебники
1. Виноградов теории чисел.– Изд.11–е, стер.–Спб.:Лань, 2006
2. Карацуба аналитической теории чисел.–М.:Едиториал УРСС, 2004.
3. Основы теории чисел.–М.: Едиториал УРСС, 2004.
4. Классическое введение в современную теорию чисел.–М.: Мир, 1987.
5. –П. Курс арифметики. Перев. с франц.–М.: Мир, 1972.
6. p–адические числа, p–адический анализ и дзета–функции. Перев. с англ.–М.: Мир, 1982.
7. Постников в теорию алгебраических чисел.–М.: Наука, 1982.
Формы контроля:
Текущий контроль – решение задач на семинарских занятиях.
Промежуточный контроль: 1 контрольная работа.
Итоговый контроль: экзамен, 3 часа.
Формула для вычисления итоговой оценки
20% оценки за домашние задания + 30% оценки за контрольную работу +50% оценки за экзамен.
Содержание программы
Тема 1: Конечные поля.
Конечные поля и их основные свойства. Теорема Веддербарна о конечных телах. Суммы степеней и теорема Шевалле--Варнинга. Квадратичные вычеты и невычеты, квадратичный закон взаимности. Квадратичные формы над конечным полем.
Основная литература
1. –П. Курс арифметики. Перев. с франц.–М.: Мир, 1972
Дополнительная литература
1. Классическое введение в современную теорию чисел.–М.: Мир, 1987.
Тема 2: Дзета-функция Римана
Дзета-функция Римана, ее аналитическое продолжение и функциональное уравнение. Теорема о простых числах. L-функции Дирихле. Теорема Дирихле об арифметической прогрессии.
Основная литература
1. Карацуба аналитической теории чисел.–М.:Едиториал УРСС, 2004.
Дополнительная литература
1. –П. Курс арифметики. Перев. с франц.–М.: Мир, 1972
Тема 3: p-адические числа.
p-адические числа. Лемма Гензеля. Квадратичные формы над полем p-адических чисел. Квадратичные формы над полем рациональных чисел. Теорема Минковского--Хассе.
Основная литература
1. –П. Курс арифметики. Перев. с франц.–М.: Мир, 1972
Дополнительная литература
1. p–адические числа, p–адический анализ и дзета–функции. Перев. с англ.–М.: Мир, 1982.
Тема 4: Поля алгебраических чисел
Поля алгебраических чисел и кольца целых. Теорема о разложении для идеалов в кольцах целых. Теорема о единицах и о конечной порожденности группы классов. Дифферента и дискриминант. Ветвление.
Основная литература
1. Постников в теорию алгебраических чисел.–М.: Наука, 1982.
Тема 5: Адели и идели.
Основные определения. Аналитическое продолжение и функциональное уравнение для дзета-функции Дедекинда. Закон взаимности Артина (формулировка, переформулмировки, примеры использования). L-функции Артина. Теорема плотности Чеботарева (формулировка).
Основная литература
1. Основы теории чисел.–М.: Едиториал УРСС, 2004.
Тематика заданий по различным формам контроля
Вариант контрольной работы
(темы 1-3).
1. Представляет ли нуль над полем Q квадратичная форма x^2+y^2-7z^2?
2. Какова плотность множества простых чисел, для которых 14 является квадратичным невычетом?
3. В каких полях p-адических чисел содержится корень девятой степени из единицы?
Вариант экзамена
1. Найдите дискриминант поля, порожденного вещественным корнем многочлена x^3+x-7.
2. Опишите разложение простых чисел в поле, порожденном sin(2\pi/11).
3. Приведите пример кватернионной алгебры над Q(i), разветвленной в двух точках, лежащих над (5), и более нигде.
Автор программы
доцент
