Утверждаю: Брянский государственный университет имени академика
зав. кафедрой РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
_________________ по учебной дисциплине Алгебра для студентов физ.-мат. факультета специальности «Математика и физика»
"1" сентября 2009 г. 2 курс 3 семестр учебный год
Общий объем учебного курса 40 часов, из них лекций 20 часов, практических 20 часов, КСР 4 часа.
Программу разработала доцент кафедры алгебры
Тема (раздел) курса | Кол-во часов | Деление темы (раздела) на | Вынесено на самост. работу | Формы контроля | |||
Лекции (тема, план) | Кол-во часов | Практические занятия (тема) | Кол-во часов | ||||
Кольцо многочленов от одной переменной | 9 | 1. Простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей. Существование простого трансцендентного расширения ассоциативно-коммутативного кольца с единицей. Кольцо многочленов от одной неизвестной. Степень многочлена. Свойства степени многочлена. 2. Кольцо многочленов над областью целостности. Делимость в кольце многочленов. Свойства отношения делимости. 3. Деление многочлена на линейный двучлен. Теорема Безу. Корни многочлена. 4. Теорема о наибольшем возможном числе корней многочлена над областью целостности. 5. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов. 6. Теорема о делении с остатком для многочленов. НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида. Линейное представление НОД многочленов. 7. Деление многочлена на (х-с). Схема Горнера. Разложение многочлена по степеням (х-с). Формальная производная многочлена. 8. Неприводимые над полем многочлены и их простейшие свойства. Основная теорема о многочленах. Отделение кратных неприводимых множителей многочлена. 9. Алгебраическое уравнение 3-й степени. Формулы Кардано. Алгебраическое уравнение 4-й степени. Метод Феррари. | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | Практическое занятие № 1. Тема: Отношение делимости в кольце многочленов от одной неизвестной над областью целостности. Теорема о делении с остатком. См. планы практических занятий Практическое занятие № 2. Тема: Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов над полем. Алгоритм Евклида. Линейное представление НОД. Практическое занятие № 3. Тема: Деление многочлена на линейный двучлен. Теорема Безу. Корни многочлена и их кратность. Схема Горнера. Разложение многочлена по степеням (х-с). Формальная производная многочлена. Практическое занятие № 4. Тема: Отделение кратных неприводимых множителей многочлена. Практическое занятие № 5. Контрольная работа № 1. Практическое занятие № 6. Тема: Уравнения 3-й и 4-й степеней. Формулы Кардано. Метод Феррари. Практическое занятие № 7. Тема: Многочлены над числовыми полями. Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Практическое занятие № 8. Тема: Кольцо многочленов от нескольких переменных. Однородные многочлены. Лексико-графическое упорядочение многочленов. Выражение симметрического многочлена через основные симметрические многочлены. Вычисление значения симметрического многочлена от корней уравнения с комплексными коэффициентами. Практическое занятие № 9. Тема: Результант многочленов. Критерий не взаимной простоты двух многочленов над полем. Решение системы алгебраических уравнений с помощью результанта. Практическое занятие № 10. Контрольная работа № 2. | 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | Существование простого трансцендентного расширения ассоциативно-коммутативного кольца с единицей. Приближенные вычисления действительных корней многочлена над ℝ. Алгебраическая система двух уравнений с двумя неизвестными (решение системы с помощью результанта). Эпиморфизм кольца P[х] на P[a]. Расширение P(a1,a2,…,as). Конечное расширение поля, его алгебраичность и алгебраическая порожденность. Двойное конечное расширение поля. Поле алгебраических чисел и его алгебраическая замкнутость. | Контр. работа, экзамен Контр. работа, экзамен Контр. работа, экзамен Контр. работа, экзамен |
Многочлены над числовыми полями | 3 | 1. Многочлены над полем ℂ. Алгебраически замкнутое поле. Основная теорема алгебры и ее следствия. Многочлены над полем действительных чисел. Разложение многочленов над ℝ в произведение неприводимых над ℝ множителей. 2. Многочлены над полем рациональных чисел. Общий необходимый признак существования рационального корня многочлена над Z. Кольцо многочленов над факториальным кольцом. Критерий Эйзенштейна. 3. Теорема Виета. Приближенные вычисления действительных корней многочлена над ℝ. | 1 1 1 | ||||
Многочлены от нескольких переменных | 4 | 1. Кратное расширение кольца. Построение кольца многочленов от нескольких переменных. Свойства кольца многочленов от n переменных. 2. Лексико-графическое упорядочение одночленов многочлена. Свойства отношения «выше». Высший член произведения многочленов над областью целостности. Однородные многочлены. 3. Симметрические многочлены. Лемма о высшем члене симметрического многочлена. Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Следствие из основной теоремы о симметрических многочленах. 4. Критерий не взаимной простоты двух многочленов над полем. Результант многочленов и его свойства. Алгебраическая система двух уравнений с двумя неизвестными (решение системы с помощью результанта). | 1 1 1 1 | ||||
Расширения полей | 4 | 1. Простое расширение поля. Подкольцо P[a] поля P(a). Эпиморфизм кольца P[х] на P[a]. Свойства минимального многочлена алгебраического элемента. 2. Строение простого алгебраического расширения поля. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби. 3. Разрешимость уравнения в квадратных радикалах. Условие разрешимости уравнения третьей степени в квадратных радикалах. Примеры задач, неразрешимых в квадратных радикалах (об удвоении объема куба, о трисекции угла, о построении правильного семиугольника). 4. Расширение P(a1,a2,…,as). Конечное расширение поля, его алгебраичность и алгебраическая порожденность. Двойное конечное расширение поля. Поле алгебраических чисел и его алгебраическая замкнутость. | 1 1 1 1 |
Примечание. Планы практических занятий имеются в соответствующем учебно-методическом комплексе.
Литература
Куликов и теория чисел. М., Высшая школа, 1979. Кострикин в алгебру (основы алгебры). М. Наука, 1994. Кострикин алгебра. М., физ.-мат. литература, 2000. , Соминский задач по высшей алгебре. С.-Петербург, Лань, 1998. Проскуряков задач по линейной алгебре. М.: Наука,1978. Фаддеев по алгебре. М., Наука, 1984. Сборник задач по алгебре. Под ред. . М., Наука, 1987. Проскуряков задач по линейной алгебре. М., Наука, 1984. Шнеперман задач по алгебре и т. ч., Мн., 1982. Курош высшей алгебры. М., Наука, 1979. , Сорокина . Методические рекомендации для студентов-заочников 1 курса физико-математического факультета. – Брянск, 2002. , Чиспияков . Методические рекомендации по выполнению аудиторной контрольной работы по алгебре для студентов-заочников 2 курса физико-математического факультета. – Брянск, 2004.