Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Бизнес-информатики

отд. Прикладной математики и информатики

Программа дисциплины

Алгебра и анализ

для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика»
подготовки магистра

для магистерской программы «Математическое моделирование»

Специализация «Анализ и принятие решений»

Автор программы:

Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики 29.08.2011 г.

Зав. кафедрой

Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г

Председатель [ Ф.]

Утверждена Ученым Советом факультета экономики «___»_____________20 г.

Ученый секретарь [ Ф.]

Москва, 2011

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

2  Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 010400.68 «Прикладная математика», обучающихся по магистерской программе «Математическое моделирование» по специализации «Анализ и принятие решений» изучающих дисциплину «Алгебра и анализ».

Программа разработана в соответствии с:

·  Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория «Национальный исследовательский университет»;

·  Рабочим учебным планом университета подготовки магистра по направлению 010400.68 «Прикладная математика», магистерская программа «Математическое моделирование», специализация «Анализ и принятие решений», утвержденным в 2011 г.

3  Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Алгебра и анализ» являются:

·  ознакомление студентов с дополнительными главами линейной алгебры и математического анализа;

·  формирование навыков работы с абстрактными понятиями математики;

·  знакомство с прикладными задачами дисциплины, в том числе экономическими и геометрическими.

4  Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

·  Знать основы линейной алгебры и математического анализа, необходимые для дальнейшего изучения последующих дисциплин, предусмотренных базовым и рабочим учебными планами;

·  Уметь применять методы дисциплины для решения задач, возникающих в дисциплинах, использующих соответствующие методы;

·  Владеть навыками применения современного инструментария дисциплины.

В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

Компетенция

Код по ФГОС / НИУ

Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)

Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции

Общенаучная

ОНК-1

Способность к анализу и синтезу на основе системного подхода

Стандартные (лекционно-семинарские)

Общенаучная

ОНК-2

Способность перейти от проблемной ситуации к проблемам, задачам и лежащим в их основе противоречиям

Стандартные (лекционно-семинарские)

Общенаучная

ОНК-3

Способность использовать методы критического анализа, развития научных теорий, опровержения и фальсификации, оценить качество исследований в некоторой предметной области

Стандартные (лекционно-семинарские)

Общенаучная

ОНК-4

Готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при работе в какой-либо предметной области

Стандартные (лекционно-семинарские)

Общенаучная

ОНК-5

Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь их для решения соответствующий аппарат дисциплины

Стандартные (лекционно-семинарские)

Общенаучная

ОНК-6

Способность приобретать новые знания с использованием научной методологии и современных образовательных и информационных технологий

Стандартные (лекционно-семинарские)

Общенаучная

ОНК-7

Способность порождать новые идеи (креативность)

Стандартные (лекционно-семинарские)

Инструментальные

ИК-2

Умение работать на компьютере, навыки использования основных классов прикладного программного обеспечения, работы в компьютерных сетях, составления баз данных

Стандартные (лекционно-семинарские)

Профессиональные

ПК-1

Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой

Стандартные (лекционно-семинарские)

Профессиональные

ПК-2

Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат

Стандартные (лекционно-семинарские)

Профессиональные

ПК-4

способность критически оценивать собственную квалификацию и её востребованность, переосмысливать накопленный практический опыт, изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной деятельности

Стандартные (лекционно-семинарские)

Профессиональные

ПК-8

Способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей, алгоритмических и программных решений

Стандартные (лекционно-семинарские)

5  Место дисциплины в структуре образовательной программы

Для специализаций «Анализ интернет-данных», «Анализ и принятие решений», «Интеллектуальные системы» и «Технологии моделирования в сложных системах» настоящая дисциплина является адаптационной дисциплиной, которая согласно пункту 5.5 «Регламента планирования и организации дисциплин по выбору и факультативов», утвержденным ученым советом НИУ ВШЭ 24 июня 2011 года (http://www. *****/docs/.html), является дисциплиной по выбору для выпускников НИУ ВШЭ по данному направлению обучения и обязательной дисциплиной для прочих студентов.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

·  Линейная алгебра;

·  Аналитическая геометрия;

·  Математический анализ.

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

·  Знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин;

·  Навыками решения типовых задач этих дисциплин.

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

·  Дополнительные главы дифференциальных уравнений;

·  Функциональный анализ;

·  Анализ данных.

6  Тематический план учебной дисциплины

№

Название темы

Всего аудиторных часов

Аудиторные занятия

Самост. работа

Лекции

Семинары

1

Введение, основные понятия. Линейные пространства.

2

1

1

4

2

Линейные операторы. Инвариантные подпространства.

2

1

1

4

3

Жорданова нормальная форма. Жорданов базис.

4

2

2

4

4

Евклидовы пространства. Квадратичные формы.

2

1

1

2

5

Функции многих переменных. Экстремум. Метод Лагранжа.

6

3

3

6

Итого

16

8

8

20

7  Формы контроля знаний студентов

Тип контроля

Форма контроля

1 год

Параметры

1

2

Итоговый

Зачет

1

Письменный зачет

7.1  Критерии оценки знаний, навыков

Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные на семинарских занятиях.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

8  Содержание дисциплины

Тема I. Линейные пространства.

Определение и примеры линейных пространств. Линейная независимость, базис, размерность. Подпространства линейных пространств и их базисы. Свойства линейно независи­мых систем векторов в подпространстве.

Литература: базовый учебник [2], основная и дополнительная литература [4] - [6].

Тема II. Линейные операторы.

Линейные операторы и их матрицы. Вид матрицы линейного оператора при переходе к другому базису. Образ и ядро линейного отображения. Операции над линейными операторами.

Инвариантные подпространства линейных пространств. Собственные значения, собственные векторы линейных операторов. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.

Литература: базовый учебник [2], основная и дополнительная литература [4] - [6].

Тема III. Жорданова нормальная форма.

Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Корневые подпространства. Жорданова форма и жорданов базис. Алгоритм построения жорданова базиса. Матричные многочлены, теорема Гамильтона-Кели, минимальный многочлен и его связь с характеристическим многочленом. Аналог жордановой формы в действительном пространстве.

Литература: базовый учебник [2], основная и дополнительная литература [4] - [6].

Тема IV. Квадратичные формы.

Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Линейные формы. Билинейные и квадратичные формы. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра. Квадратичные формы в евклидовом пространстве. Отыскание ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид.

Литература: базовый учебник [1], [2], основная литература [3], [5].

Тема V. Функции многих переменных. Экстремум.

Дифференцирование функций многих переменных. Дифференциал. Экстремум. Необходимые и достаточные условия экстремума. Нахождение экстремума функции, заданной неявно. Условный экстремум. Метод Лагранжа. Окаймленный гессиан. Основные типы задач на условный экстремум.

Литература: базовый учебник [1], основная литература [3].

9  Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1  Примеры заданий итогового контроля

1.  (а) Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей . Указать базис, в котором матрица оператора является диагональной, и записать эту диагональную матрицу.

(b) Вычислить матрицу ℤ.

2.  Пусть V=ℝ3 − евклидово пространство со стандартным скалярным произведением. Самосопряженный оператор А задан в стандартном ортонормированном базисе симметрической матрицей

.

Найти канонический вид оператора (диагональный вид матрицы) и ортонормированный базис пространства V, состоящий из собственных векторов оператора А.

3.  Привести квадратичную форму

а) к главным осям (при помощи ортогональной замены переменных),

б) к каноническому виду (при помощи метода Лагранжа выделения полных квадратов),

в) проверить закон инерции, определив индексы инерции.

4.  Используя критерий Сильвестра, исследовать квадратичную форму

5. 

на положительную или отрицательную определенность в зависимости от параметра λ.

6.  Найти производную функции в точке А(1,1,0) по направлению вектора , где М(2,4,5), N(1,2,3).

7.  Исследовать на экстремум функцию .

8.  Найти экстремумы функции при условии .

9.2  Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи из “Сборника задач по линейной алгебре” и учебника Бурмистровой и Лобанова.

10  Порядок формирования оценок по дисциплине

Контроль знаний студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий контроль осуществляется в виде домашнего задания. Домашняя работа делается студентом в течение двух недель. Итоговый контроль осуществляется в виде письменного зачета. Итоговая оценка Оитог. по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма

Оитог.=0,3*Од. з.+0,7*Озач.,

округленная до целого числа баллов. Од. з., Озач. и обозначают оценки по 10-балльной шкале за домашнее задание и зачет соответственно.

11  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1  Базовый учебник

[1] Зорич В. А. Математический анализ. – М. МЦНМО. 2007.

[2] , Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

11.2  Основная литература

[3] , Математический анализ и дифференциальные уравнения. - М.-Изд. центр «Академия», 2010.

[4] Сборник задач по линейной алгебре. (Любое издание, напр., М., БИНОМ, 2005)

11.3  Дополнительная литература

[5] , Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи, М., «Планета знаний», 2007.

[6] , Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии, М., ГУ ВШЭ, 1998.

11.4  Дистанционная поддержка дисциплины

Предусмотрена электронная переписка со студентами.