Вопросы к экзамену по алгебре
учебный год
1. Дайте определение числового выражения и алгебраического выражения. Приведите примеры. Какие выражения называются тождественно равными? Приведите примеры тождественно равных выражений.
2. Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения. Приведите примеры.
3. Что называется уравнением? Дайте определение корня уравнения. Что значит решить уравнение? Сформулируйте свойства уравнений. Приведите примеры.
4. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной. Приведите примеры. В каком случае уравнение ах=в имеет единственный корень, не имеет корней, имеет бесконечно много корней (любое число является корнем).
5. Приведите пример функциональной зависимости одной переменной от другой. Укажите независимую и зависимую переменные. Объясните на примере линейной функции: а) как по значению аргумента найти соответствующее значение функции; б) как найти значения аргумента, которым соответствует указанное значение функции.
6. Дайте определение графика функции. Покажите, как с помощью графика функции можно найти: а) значение функции, соответствующее заданному значению аргумента; б) значения аргумента, которым соответствует данное значение функции.
7. Сформулируйте определение линейной функции. Что является графиком линейной функции? Как построить график линейной функции? Как расположен в координатной плоскости график функции у=кх при к>0 и при к<0. В каком случае графики двух линейных функций пересекаются? В каком случае графики двух линейных функций являются параллельными прямыми?
8. Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем. Приведите примеры и назовите в каждом из них основание и показатель степени. Каким числом (положительным или отрицательным) является: а) степень положительного числа; б) степень отрицательного числа с четным показателем; в) степень отрицательного числа с нечетным показателем? Приведите примеры.
9. Дайте определение степени с нулевым показателем. Сформулируйте определение степени с отрицательным показателем. Сравните с нулем квадрат произвольного числа. Ответ запишите в виде неравенства.
10. Сформулируйте свойства степени. Приведите примеры. Докажите одно из свойств.
11. Дайте определения абсолютной и относительной погрешности. Приведите примеры применения.
12. Что называется одночленом? Приведите примеры. Дайте определение стандартного вида одночлена. Приведите пример одночлена стандартного вида. Назовите его коэффициент и определите его степень.
13. Что называется многочленом? Приведите примеры. Что называют многочленом стандартного вида? Объясните, как привести многочлен к стандартному виду. Как определяется степень многочлена стандартного вида? Приведите примеры многочлена пятой степени.
14. Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен и правило умножения многочлена на многочлен. Приведите примеры.
15. Какое преобразование называют разложением многочлена на множители? Назовите способы разложения на множители. Приведите примеры.
16. Запишите формулы сокращенного умножения. Докажите одну из них.
17. Запишите формулу разложения на множители квадратного трехчлена. Приведите пример.
18. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример. Что называется решением уравнения с двумя переменными? Приведите пример.
19. Дайте определение системы уравнений с двумя переменными. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными? Что значит решить систему уравнений? Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными? Приведите примеры.
20. Назовите способы решения систем уравнений с двумя переменными. Приведите примеры.
21. Дайте определение тождества. Приведите примеры. Сформулируйте и докажите основное свойство дроби.
22. Сформулируйте правило сложения и правило вычитания дробей с равными знаменателями. Как выполняется сложение и вычитание дробей с разными знаменателями? Приведите примеры.
23. Сформулируйте правило умножения дробей, правило деления дробей и правило возведения дроби в степень. Приведите примеры.
24. Какие числа образуют множество рациональных чисел? Какие числа называются иррациональными? Какие числа образуют множество действительных чисел? Какие действительные числа можно и какие числа нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному? Приведите примеры.
25. Дайте определение арифметического квадратного корня. При каких значениях а выражение √а имеет смысл? Приведите примеры. Имеет ли уравнение х²=а корни при а>0, а=0, а<0 и если имеет, то сколько? Приведите примеры.
26. Сформулируйте и докажите теорему о корне квадратном из произведения. Приведите примеры.
27. Сформулируйте и докажите теорему о корне квадратном из дроби. Приведите примеры.
28. Как можно внести множитель под знак корня? Как можно вынести множитель из-под знака корня? Приведите примеры. На примере выражений 1/√а и 1/(√а+√в) покажите, как можно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.
29. Дайте определение квадратного уравнения. Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением? Приведите примеры неполных квадратных уравнений различных видов. Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида?
30. Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением? Покажите на примере способ решения приведенного квадратного уравнения выделением квадрата двучлена.
31. Дайте определение квадратного уравнения. Что называют дискриминантом квадратного уравнения? Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Напишите формулу корней квадратного уравнения.
32. Сформулируйте и докажите теорему Виета. Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения ах²+вх+с=0?
33. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Виета. Приведите пример ее применения.
34. Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств, и докажите одну из них.
35. Изобразите на координатной прямой числовые промежутки различного вида и запишите их обозначения.
36. Что называется решением неравенства? Что значит решить неравенство? Расскажите о решении неравенств методом интервалов. Приведите пример.
37. Дайте определение функции. Что называется областью определения и областью значений функции? Дайте определение функции возрастающей на промежутке; убывающей на промежутке. Какая функция называется четной; нечетной? Как найти нули функции? Приведите примеры.
38. Сформулируйте и докажите теорему о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни. Приведите пример.
39. Дайте определение арифметической прогрессии. Какое число называют разностью арифметической прогрессии. Запишите формулы п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии.
40. Дайте определение геометрической прогрессии. Какое число называют знаменателем геометрической прогрессии. Запишите формулы п-го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии.
41. Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Чему равна сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии? Приведите пример.
42. Дайте определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Запишите формулы, выражающие зависимости между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла. Приведите пример их применения.
