Урок по предмету «Алгебра и начала анализа»

Учитель: ,

МОУСОШ № 57 Привокзального района г. Тулы

Урок по предмету

«АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА»

10 класс

Профиль: физико-математический класс

(2-х часовой урок)

Тема: «Наибольшее и наименьшее значение функции».

ХОД УРОКА:

I. Повторение области определения функции и нахождение производных функций:

1.1. Устно:

1) 2)

3) 4)

5)

Найти

Ответы: 1)

2)

3)

4)

5)

1.2. У каждого ученика есть оценочный лист работы на уроке. Задания индивидуальны.

I задание

а) найти

б)

в)

II. Изучение темы урока (запись темы в тетрадях).

Наибольшее и наименьшее значения функции.

2.1. Решение экстремальных задач в разделе «Натуральные числа».

Задача 1.

Периметр прямоугольника, длина которого выражается натуральным числом, равняется 36 см. Сколько существует прямоугольников с таким периметром? Какой из них имеет наибольшую площадь и какой наименьшую?

1. «Метод перебора»

а + в = 18 см, р = 18 см.

а – длина прямоугольника,

в – ширина прямоугольника.

Периметр прямоугольника (см)	36	36	36	36	36	36	36	36	36
Полупериметр (см)	18	18	18	18	18	18	18	18	18
Длина (см)	17	16	15	14	13	12	11	10	9
Ширина (см)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Площадь (см2)	17	32	45	56	65	72	77	80	81

По таблице все ученики видят, как изменяются площадь прямоугольника, с постоянным периметром и легко сделают соответствующие выводы.

В оценочном листе они ещё раз по своей задаче сделают выводы.

Задача 2.

В кабинет математике к началу консультации пришли три ученика. Предварительный разговор позволил учителю выяснить, что для рассмотрения вопроса ученика А требуется -5мин, ученика В-3мин, ученика С-7мин.

После получения ответа на свой вопрос ученик уходит. Как организовать консультацию, чтобы каждый из учеников находился в кабинете как можно меньше времени.

Очередность получения консультации	Время на выяснение вопроса (мин.)	Время, затраченное каждым учеником (мин.)	Суммарное время (мин.)
А, В, С	5, 3, 7	5, (5+3), (5+3+7)	28
А, С, В	5, 7, 3	5, (5+7), (5+7+3)	32
В, А, С	3, 5, 7	3, (3+5), (3+5+7)	26
В, С, А	3, 7, 5	3, (3+7), (3+7+5)	28
С, А, В	7, 5, 3	7, (7+5), (7+5+3)	34
С, В, А	7, 3, 5	7, (7+3), (7+3+5)	32

Сдать оценочный лист.

В оценочном листе свои задачи. Этот метод решений задач позволяет поговорить о затрате времени на обработку деталей на производстве, использование технике с различной мощностью, о движении с различной скоростью и других задач.

Этим методом можно решать задачи, связанные с НОК и НОД натуральных чисел, что полезно для учащихся на этом этапе обучения.

Задача 3.

Сколько букетов можно сделать из 18 желтых и 24 красных роз, если в каждом букете должно быть наибольшее число роз, но во всех букетах одинаковое количество желтых и красных роз?

18 = 2*3*3,

24 = 2*2*2*3

НОД (18, 24) = 2*3 = 6, значит можно сделать 6 одинаковых букетов, в которые входят по 3 желтых розы и по 4 красных розы.

18 : 6 = 3; 24 : 6 = 4.

Задача 4.

Книга стоит 150 рублей. У покупабанкнот по 200 рублей, а у продавца нет сдачи. Какое наибольшее количество книг может купить покупатель?

150 = 2*3*5*5

200 = 2*2*2*5*5

Наименьшее число денег, чтобы не было сдачи:

НОК (150; 200) = 2*2*2*3*5*5 = 600.

Сколько раз содержится это число в 2000 рублях покупателя?

2000 = 600 * 3 + 200.

Сколько книг может купить покупатель?

(600 : 150) * 3 = 4 * 3 = 12.

Следовательно, покупатель купит 12 книг и ему не надо давать сдачи.

2. «Метод оценки».

Этим методом часто решаются экстремальные задачи в раздел е «Геометрия».

Задача 5.

Точка М движется по контуру квадрата АВСД. Под каким наименьшим углом может быть видна диагональ квадрата из этой точки? В С

Легко замечаем по свойству углов треугольника М9

. Отсюда ясно, что наименьший угол, под

каким видна диагональ квадрата из точки М, равен . М8

Нет смысла ставить вопрос о наибольшем значении.

М7

М6

Задача 6. М6

Прямоугольник АВСД пересекает прямая EF, которая

проходит через точку пересечения диагоналей 0. Выполняем М5

поворот прямой EF вокруг точки 0, перемещая точку К А М1 М2 М3 М4 Д

от А до Д. Определите как изменяется площадь заштрихованной фигуры?

0 К3

0 К2

0 к1

В Е С В Е С В Е С

 

А F Д А F Д А F Д

По рисункам видно, что фигуры являются трапециями с постоянными высотой и длиной средней линии, поэтому их площади равны, и нет смысла ставить вопрос о наибольшем и наименьшем значениях площади в этом случае.

Задача 7.

Из всех равнобедренных треугольников с данной боковой стороной наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник. Доказать.

В В В

 

А С А С А С

S

Наибольшее значение площадь принимает при а это возможно при , что и требовалось доказать.

Задача 8.

Из всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник. Доказать.

- прямоугольный. АВ = С. . Наибольшая площадь треугольника при условии h = R, т. е. - прямоугольный равнобедренный, что и требовалось доказать. При решении этой задачи нет смысла ставить вопрос о наименьшей площади треугольника.

С3

С2 С4

С1

 

В 0 А

Задача 9.

Какое наименьшее значение может принимать выражение: ?

Решение:

значит, наименьшее значение исходного выражения равно 1.

3. «Метод опорной функции».

Существует определенная схема для решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, основанная на теореме Вейерштрасса, утверждающая, что непрерывная на отрезке [а; b] функция F принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значение.

Не будем брать постоянную функцию.

I.  Предположим, что функция F не имеет на отрезке [а; b] критические точки и она непрерывна на нем. Тогда на этом отрезке функция или возрастает или убывает.

y y

у = f(x)

у = f(x)

 

а 0 b х а 0 b х

 

Min f(x) = f(a), Min f(x) = f(b),

[a; b] [a; b]

Max f(x) = f(b), Max f(x) = f(a),

[a; b] [a; b]

II.  На отрезке (а; b) функция F имеет конечное число критических точек и функция непрерывна на этом отрезке. Критические точки функции разбивают отрезок на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет, поэтому наибольшее и наименьшее значения функции F на таких отрезках принимаются в их концах, т. е в критических точках функции или в точках а и b.

y y y

 

а 0 x1 x2 b x a x1 0 x2 b x a x1 x2 0 x3 b x

 

y = f(x) y = f(x) y = f(x)

Min f(x) = f(x2), Min f(x) = f(a), Min f(x) = f(b),

[a; b] [a; b] [a; b]

Max f(x) = f(b), Max f(x) = f(x1), Max f(x) = f(x1),

[a; b] [a; b] [a; b]

y y

 

a x1 0 x2 b x a 0 b x

 

y = f(x) y = f(x)

Min f(x) = f(x1), Min f(x) = f(b),

[a; b] [a; b]

Max f(x) = f(x2), Max f(x) = f(a),

[a; b] [a; b]

Таким образом, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, необходимо вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Не следует путать!

1. Максимальное значение функции на отрезке [a; b] - значение функции в точке максимума.

Минимальное значение функции на отрезке [a; b] - значение функции в точке минимума.

2. Наибольшее значение функции на отрезке [a; b], в котором функция непрерывна - самое большое значение функции на этом отрезке.

где - точка, в которой функция принимает самое большое значение на этом отрезке.

Наименьшее значение функции на отрезке [a; b], в котором функция непрерывна – самое маленькое значение функции на этом отрезке , где - точка в которой функция принимает самое маленькое значение.

4. Свойства наибольшего и наименьшего значений функции.

1. Точка, в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение на отрезке [a, b], не изменяется при следующих преобразованиях выражения, задающего функцию:

Прибавления постоянного слагаемого Умножения на положительное число Возведения в степень с натуральным показателем, если функция неотрицательна.

2. Если положительная функция f (x) принимает в точке х0 наибольшее (наименьшее) значение, то функции (-f) и принимают наименьшее (наибольшее) значение в той же точке.

III. Решение задач повышенной сложности.

На стене висит картина. Нижний конец ее на b см, а верхний на а см выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы рассмотреть картину под наибольшим углом?

А

 

а В

b

 

С хm

 

Электрическая лампочка подвешена под точкой М горизонтальной плоскости. Какой должна быть высота лампочки под плоскостью, чтобы в точке К этой плоскости, отстоящей от точки М на расстоянии S, освещенность была наибольшей?

 

М К

а

f(x) = на отрезке [0, 6] имеют одинаковую точку, в которой функции принимают наибольшее значение.

IV. Индивидуальное домашнее задание.