Исчисление процентов

ИСЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ

Задача 1. Магазин продал товар со скидкой в 10% по сравнению с первоначально назначенной ценой и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин?

Решение. Главное понять, что первоначально назначенная цена – совсем не первоначальная в смысле получения прибыли На самом деле есть еще более ранняя цена – цена закупки! И 8% прибыли получены по сравнению с закупочной ценой!

Теперь – все просто. Составляем схему:

цена закупки (Х руб.) ® первоначально назначенная цена (Х×(1+p/100) руб.) ®цена продажи Х×(1+p/100)(0,9)

По условию задачи цена продажи
т. е. Х×(1+p/100)(0,9)= Х×1,08 откуда находим р=0,08 т. е. р=8%

Ответ: 8%.

Задача 2. Рабочий день сократился с 8 часов до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата возросла бы на n%?

Решение. Пусть при 8-часовом рабочем дне зарплата составляет А руб. Если ее повысить на n%, то она будет составлять руб. Оценивая производительность труда в количестве денег, зарабатываемых за один час работы, находим, что раньше производительность была равна A/8. Теперь же она должна составлять .

Тогда процентный прирост производительности труда будет равен

.

Ответ: производительность труда нужно повысить на .

Рассмотрим последовательность, которая получается при решении задачи о банковском счете под 100% годовых с начислением процентов один раз в n периодов:

.

Значение полученной суммы в конце года при различных значениях n были получены во время занятий:

n

1

2

4

6

12

S

2

2,25

2,44

2,52

2,61

Докажем, что последовательность стремиться к некоторому числу, меньшему 3.

Для этого надо доказать два факта:

1) последовательность возрастает (т. е. при увеличении n растет и S);

2) последовательность ограничена сверху (т. е. при любом n верно, что S < 3).

Сначала используем формулу бинома Ньютона:

где числа ; … ; называются биномиальными коэффициентами.

Для нашей последовательности имеем: .

Тo, что эта последовательность возрастает – очевидно. Ведь при увеличении n растет число членов и каждый из них – положительный!

А оценить эту сумму сверху сложно. Для этого достаточно в биномиальных коэффициентах увеличить числители и уменьшить знаменатели. Для этого в числителях все множители заменяем на максимальный – на n, а все множители в знаменателях заменяем на минимальный – на 2:

А последнюю сумму легко вычислить ведь это – сумма геометрической прогрессии с первым членом 1/2 и знаменателем, равным 1/2:

.

Итак, последовательность возрастает (точнее, монотонно возрастает) и ограничена сверху. Значит, она имеет некий предел при неограниченном возрастании n (математики говорят: при n, стремящемся к бесконечности, и записывают ). Этот предел называют числом . Как легко запомнить такое большое количество цифр после запятой было рассказано на лекции ;-)

Итак, либо, в другой нотации .

ЗАДАЧИ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ СМЕСЕЙ И СПЛАВОВ

В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Что же скрывается под этим словом?

Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде. Пусть в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты и 7 литров воды. Тогда относительное (по отношению ко всему объему) содержание кислоты в растворе равно . Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В этом же примере процентное содержание будет таково: , т. е. с×100%. Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.

В дальнейшем будем использовать это понятие не только в отношении растворов, но и в отношении любых смесей или сплавов. Так, например, если в слитке олова и меди весом 10 кг олова имеется 4 кг, то это означает, что процентное содержание олова равно , то есть его концентрация в сплаве равна с=0,4.

В задачах на эту тематику делают следующие допущения:

1. Все рассматриваемые смеси (растворы, сплавы) однородны.

2. Не делается различия между литром как единицей емкости и литром как единицей массы.

Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m. Тогда концентрацией данного вещества в смеси назовем величину , а процентным содержанием данного вещества – величину с×100%.

Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси масса данного вещества определяется по формуле m=C×M.

Задачи на смеси условно можно разделить на два вида.

В первом случае задаются, например, две смеси с массами и и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно и . Смеси сливают. Требуется определить массу этого вещества в новой смеси и его новую концентрацию. Легко получаем, что в новой смеси масса данного вещества определяется выражением , то есть равна сумме масс данного вещества в отдельных смесях, а концентрация данного вещества равна

.

Во втором случае задается некоторый объем смеси и от этого объема начинают отливать определенное количество смеси, а затем доливать такое же или другое количество такой же смеси, или смеси с другой концентрацией данного вещества. Эта операция проводится несколько раз. При решении таких задач необходимо установить жесткий контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом доливании смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение.

Задача 3. Из сосуда, содержащего 54 л чистой кислоты, вылили несколько литров и после этого долили сосуд водой до прежнего объема. Затем из сосуда вылили смеси столько же литров, как и в первый раз. В результате в смеси, оставшейся в сосуде, стало чистой кислоты 34 л. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение. Этот пример относится ко второму виду задач на смеси, о которых говорилось во вступлении к данному параграфу. При отливании-доливании, как уже отмечалось, необходимо контролировать концентрацию некоторого вещества в смеси (в этом примере – кислоты).

Пусть в первый раз вылили х л кислоты. В сосуде осталось 54–х л кислоты. Долив воду в сосуд, в нем окажется 54 л смеси с концентрацией кислоты . Во второй раз из сосуда вылили х л смеси. Очевидно, что х л смеси содержится с×х л кислоты, т. е. л. Поэтому в сосуде остается  л кислоты. Учитывая, что в сосуде осталось чистой кислоты 24 л, получаем уравнение или .

Отсюда находим 54-x=36 Þ x=18.

Ответ: в первый раз вылили 18 литров кислоты.

Задача 4. Из сосуда, наполненного глицерином, отлили 2 л глицерина, а к оставшемуся глицерину долили 2 л воды. После перемешивания отлили 2 л смеси и долили 2 л воды. В результате этих операций объем воды в сосуде стал на 3 л больше оставшегося в нем глицерина. Сколько литров глицерина и воды оказалось в сосуде в результате всех переливаний?

Решение. Пусть объем сосуда будет x литров. Из него отливают 2 л глицерина. Следовательно, в сосуде осталось (х – 2) л глицерина. После того как в сосуд добавили 2 л воды, объем смеси стал x л, а концентрация глицерина стала . Отливают 2 л смеси. Сначала необходимо узнать, сколько литров глицерина содержится в 2 л смеси. Так как концентрация смеси известна, то получаем . Поэтому в сосуде осталось теперь  л глицерина. Доливается 2 л воды. Новая концентрация смеси становится равной . Снова отливаем 2 л новой смеси, в которой содержится  л глицерина. Сейчас в сосуде остается  л глицерина. В сосуд вливают 2 л воды, и в нем теперь будет  л воды. Так как по условию примера воды на 3 л больше глицерина, то составляем уравнение

.

Избавляясь от знаменателя, уравнение приводим к виду или . Уравнение имеет 2 корня: 1 и 4. По смыслу примера (отливают 2 литра!) подходит только x=4. Следовательно, в сосуде осталось 3,5 л воды и 0,5 л глицерина.

Ответ: в сосуде в результате всех переливаний оказалось 0,5 л глицерина
и 3,5 литров воды.

Задача 5. Из полного бака, содержащего 729 л кислоты, отлили a л раствора и долили бак водой. После перемешивания опять отлили a л раствора и долили бак водой. После того, как такая процедура была повторена 6 раз, раствор в баке содержал 64 л кислоты. Найдите величину а.

Решение. Если отлить из бака a л кислоты и добавить a л воды, то в баке останется (729 – а) л кислоты, а концентрация кислоты в баке станет равной . Отливаем теперь a л раствора. В a литрах содержится литров кислоты. Следовательно, в баке останется = литров кислоты, а ее концентрация станет . Отливаем еще а литров раствора, где содержится литров кислоты, то есть в баке останется литров кислоты с концентрацией . Проделывая такую процедуру 6 раз, получим, что в баке останется  л кислоты. По условию это число равно 64 л. Поэтому имеем или . Отсюда получаем а = 234 л.

Ответ: отливали каждый раз по 234 литра.



Подпишитесь на рассылку:

Исчисление

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.