Математика. Часть 2. Лекция 5. Интегральное исчисление функции одной переменной (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9

МАТЕМАТИКА. ЧАСТЬ 2.

ЛЕКЦИЯ 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

ТЕМА 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы основных элементарных функций (табличные интегралы). Интегрирование заменой переменных (подстановкой). Интегрирование по частям.

Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу — нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.

Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .

Например, является первообразной для функции , так как .

Следует отметить, что для заданной функции ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что все функции , где — некоторое число, являются первообразными для функции . Аналогично в общем случае, если — некоторая первообразная для , то, поскольку , функции вида , где - произвольное число, также являются первообразными для . Остается вопрос, описывает ли выражение вида все первообразные для функции . Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Если и — первообразные для функции на некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство .

Из данной теоремы следует, что, если — первообразная для функции , то выражение вида , где — произвольное число, задает все возможные первообразные для .

Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где — знак интеграла, подынтегральная функция, подынтегральное выражение. Таким образом,

где — некоторая первообразная для , — произвольная постоянная.

Например, поскольку — — первообразная для функции ,то .

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Непрерывность функции на промежутке является достаточным условием интегрируемости этой функции является на данном промежутке. Заметим, что для дифференцируемости функции ее непрерывность является лишь необходимым, но недостаточным условием.

Свойства неопределенного интеграла. Интегралы основных элементарных функций (табличные интегралы).

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е,

.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.

.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т. е.

где — произвольное число.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.

где — произвольное число.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т. е.

Перечислим интегралы от элементарных функций, которые в дальнейшем мы будем называть табличными:

.

Интегрирование заменой переменных (подстановкой).

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой:

где — функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала). Например,

Тогда

В общем случае справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть некоторая первообразная для функции .

Тогда

где и — некоторые числа,

Интегрирование по частям.

Пусть и — дифференцируемые функции. По свойству дифференциала

или

.

Интегрируя левую и правую части последнего равенства, получаем формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла

.

Пример. Найти .

Положим Тогда и Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

Повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к табличному интегралу. Действительно, положим теперь Тогда Следовательно,

ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Сумма Римана. Интегрируемость функции по Риману и понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Основная теорема интегрального исчисления – формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла заменой переменных и по частям.

Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур и объемов тел вращения.

Понятие несобственного интеграла. Признак сходимости несобственного интеграла.

Сумма Римана. Интегрируемость функции по Риману и понятие определенного интеграла.

Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке задан неотрицательная функция . Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми , и осью абсцисс .

(Говорят также о площади под кривой на .)

Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой на . Фигура под ломаной состоит из трапеций (прямоугольников), и ее площадь (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой , то справедливо приближенное равенство . Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь взять предел площади под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Понятие интегральной суммы. Пусть на задана функция . Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками : .

На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида

будем называть интегральной суммой для функции на .

Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка точками , так и от выбора точек на каждом из отрезков разбиения , .

Геометрический смысл интегральной суммы состоит в том, что она равна площади под ломаной, образованной на каждом из отрезков прямой , параллель -

ной оси абсцисс.

Для избранного разбиения отрезка на части обозначим через максимальную из длин отрезков , где.

Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек ,... и точек . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на , обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , т. е.

.

При этом число называется нижним пределом, число — его верхним пределом; функция подынтегральной функцией, выражение - подынтегральным выражением, а задача о нахождении интегрированием функции на отрезке .

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как представляет семейство функций, есть определенное число.

Во введенном определении определенного интеграла предполагается, что . По определению положим

.

Геометрический смысл определенного интеграла. Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция неотрицательна на отрезке , где , численно равен площади под кривой на .

Экономический смысл интеграла. Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции , произведенной за промежуток времени .

Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени (— постоянная функция), то объем продукции , произведенной за некоторый промежуток времени , задается формулой . В общем случае объем выпускаемой продукции за промежуток выражается определенным интегралом от функции производительности: .

Сравнение данной задачи с задачей о площади криволинейной трапеции показывает, что величина и объема продукции, произведенной за промежуток времени , численно

равна площади под графиком функции , описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке .

Достаточное условие существования определенного интеграла (интегрируемости функции).

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

1.  Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.

2.  Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т. е.

3.  Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т. е.

4.  Если на отрезке , то и

,

т. е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

5.  Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , то найдется такое значение , что

Геометрический смысл теоремы о среднем. Площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника длиной и шириной .

Основная теорема интегрального исчисления – формула Ньютона-Лейбница.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и — любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке, т. е.

Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона—Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором применяется собственно формула Ньютона—Лейбница — находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим

Вычисление определенного интеграла заменой переменных и по частям.

Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , , и функция непрерывна в каждой точке вида , где .

Тогда справедливо следующее равенство

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда

где .

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур и объемов тел вращения.

Вычисление площадей плоских фигур.

Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь под кривой на численно равна определенному интегралу , т. е. .

Теорема. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что . Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле

Вычисление объемов тел вращения.

Пусть на отрезке задана непрерывная знакопостоянная функция . Необходимо найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , , .

Будем решать задачу аналогично нахождению площали криволинейной трапеции. Только теперь на каждом отрезке разбиения используем не площадь прямоугольника, а объем цилиндра с высотой и радиусом основания , который равен . В результате объем находим как предел суммы объемов на каждом отрезке:

Понятие несобственного интеграла. Признак сходимости несобственного интеграла.

На практике возникает необходимость обобщения понятия определенного интеграла на случаи, когда либо один из концов (или оба) отрезка интегрирования удален в бесконечность, либо функция не ограничена на отрезке интегрирования.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Пусть функция определена и интегрируема на произвольном отрезке , т. е. функция определена для произвольного .

Несобственным интегралом от функции на полуинтервале называется предел функции при , стремящемся к , т. е.

Если предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае - расходящимся.

При работе с несобственными интегралами обычно выделяют следующие две задачи:

а) исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;

б) вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.

В некоторых случаях решения этих двух задач удается объединить.

Аналогично определяется несобственный интеграл на полуинтервале :

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9



Подпишитесь на рассылку:


Вычисление
это получение из входных данных нового знания

Исчисление

Проекты по теме:

Математика
Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.