Часть 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Часть 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Глава 1. Функции нескольких переменных

При изучении различных явлений окружающего мира часто приходится сталкиваться с одновременным изменением более чем двух переменных величин. Например, при изучении процесса распрост­ранения тепла в каком-либо неоднородном теле требуется иссле­довать величину температуры в разных точках тела в разные моменты времени. Положение точки в трехмерном пространстве в декартовой системе координат определяется тремя числами . Поэтому фактически в указанном процессе надо изучать совместное изменение пяти переменных величин: трех координат точки, времени и температуры. Объем цилиндра фактически зависит от двух переменных: радиуса основания и высоты цилиндра, давление массы газа можно считать функцией объема и температуры .

Можно проследить аналогии между функциями одной и нескольких переменных, что позволяет считать функции многих переменных обобщением случая одной переменной.

Последовательности точек - мерного пространства

Определение 1. Всякое множество , состоящее из некоторых упорядоченных систем действительных чисел называется -мерным точечным множеством, а его элементы – точками этого множества (-мерными точками).

При получаем пары и тройки чисел , которые можно рассматривать как точку координатной плоскости или координатного пространства. Известно, что некоторое множество точек можно задать с помощью уравнений или неравенств, выполняющихся для координат точек этого множества и только для них.

Для -мерное пространство представляет собой удобную аб­стракцию. По аналогии с тем, как это делается для пространства трех, двух или одного измерения, в случае произвольного вводят понятие расстояния между двумя точками.

Определение 2. Расстоянием между точками и -мерного пространства называется число

.

Замечание. Определенное таким образом расстояние называют евклидовой метрикой.

По аналогии с плоскостью и пространством в -мерном пространстве вводятся понятия параллелепипеда и шара.

Определение 3. -мерным открытым (замкнутым) параллелепи­педом в пространстве называется множество всех точек этого пространства, координаты которых удовлетворяют неравен­ствам ().

Определение 4. -мерным замкнутым шаром радиуса () с центром в данной точке называется множество всех точек , коорди­наты которых удовлетворяют неравенству .

Определение 5. -мерной параллелепипедальной окрестностью данной точки называется множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам , где – некоторые действительные числа.

Определение 6. -мерной сферической окрестностью данной точки (или открытым шаром радиуса с цент­ром в этой точке) называется множество всех точек с координатами, удовлетворяющими неравенству

.

Теорема 1. Для каждой кубической (сферической) окрестности данной точки А найдется сферическая (кубическая) окрестность этой точки, содержащаяся в данной кубической (сферической) окрестности.

Определение 7. Предельной точкой данного множества точек пространства называется такая точка , в любой окре­стности которой имеется хотя бы одна отличная от нее точка М этого множества.

Предельная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству.

Определение 8. -мерное (непустое) точечное множество назы­вается замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, и незамкнутым, если оно не содержит хотя бы одной своей предельной точки.

Определение 9. Точка данного -мерного множества назы­вается внутренней его точкой, если существует такая окрестность этой точки, которая целиком состоит из точек данного множества.

Определение 10. -мерное точечное множество называется открытым, если все его точки являются внутренними.

Замечание 1. Точечное множество может совсем не иметь вну­тренних точек.

Замечание 2. Существует множество, одновременно и замкнутое и открытое.

Определение 11. Точка пространства называется гранич­ной для данного непустого множества точек этого пространства, если в любой окрестности точки имеются точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие множеству .

Совокупность всех граничных точек данного множества называется его границей.

Относительно границы точечного множества нетрудно доказать следующие утверждения:

1) при присоединении к данному множе­ству его границы образуется замкнутое множество;

2) если мно­жество замкнуто, то оно содержит всю границу . Отсюда в свою очередь вытекает, что множество тогда и только тогда замкнуто, когда оно содержит свою границу.

Определение 11. Множество точек пространства называется связным, если для любых двух его точек можно найти такую простую кривую, соединяющую точки и , что все ее точки принадлежат этому множеству .

Можно обобщить понятие последовательности на случай -мерного пространства.

Определение 12. Последовательность , где , точек -мерного пространства называется сходящейся в этом пространстве к некоторой точке , если для любого положительного числа можно указать такое натураль­ное число , что при выполняется неравенство: .

При этом пишут .

Можно показать, что последовательность называется сходящейся к точке , если каждая из последователь­ностей координат сходится соответственно к .

Теорема 2. Всякое бесконечное огра­ниченное множество пространства имеет хотя бы одну пре­дельную точку.

Теорема 3. (принцип стягивающихся кубов). Какова бы ни была последовательность замкнутых кубов, из которых каждый, начиная со второго, «вложен» в предыдущий, и таких, что последовательность длин их ребер стремится к нулю существует одна и только одна точка пространства, принадлежащая всем кубам.

Теорема 4. (Больцано—Вейерштрасса) Из всякой бесконечной ограниченной последователь­ности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Понятие функции нескольких переменных

Пусть дано некоторое непустое множество то­чек пространства .

Определение 13. Если каждой точке множества поставлено в соответствие по какому-либо закону некоторое действительное число , то говорят, что на множе­стве задана функция от переменных .

Обозначают .

Множество в таком случае называют областью определения функ­ции. Функцию при называют функцией нескольких переменных, а координаты произвольной точки М, принадлежащей D, называют аргументами функции или независимыми переменными.

Помимо области определения для функции нескольких переменных определяют множество значений, т. е. множество всех чисел (или других объектов) которые может принять функция на области определения.

Таким образом, для задания функции нескольких переменных следует определить:

1)  область определения ;

2)  закон соответствия, заданный на ;

3)  множество, откуда будут браться значения функции.

Здесь также различают аналитическое, табличное и словесное задание функции.

Если функция задана аналитически, то в таком случае будем считать, что она имеет так называемую естественную область определения, если не оговорено противное.

Одним из наиболее важных частных случаев является случай функции двух переменных. Одним из основных его преимуществ является наличие наглядного геометрического представления. В качестве области определения будем рассматривать часть плоскости, тогда с геометрической точки зрения функцию можно рассматривать как множество всех точек трехмерного пространства, аппликата которой есть значение функции, а абсцисса и ордината – аргументы. (Рис. 44)

Чаще всего при этом геометрическим образом функции будет некоторая поверхность (с уравнением ). Нередко для получения представления о геометрическом изображении функции прибегают к построению на плоскости линий уровня, каждая из которых есть множество всех точек плоскости , в которых рассматриваемая функция принимает заданное постоянное значение . (Рис. 45)

Для функций с большим числом переменных наглядного геометрического представления не существует.

Предел функции нескольких переменных

Пусть – некоторая предельная точка области определения данной функции переменных.

Определение 14. Число называют пределом функции в точке , если каково бы ни было число , можно указать такую окрестность точки , что для всех точек этой окрестности (), принадлежащих области определения функции выполняется условие ().

Определение предела функции нескольких переменных можно дать и по Гейне.

Определение 15. Число называют пределом этой функции в точке , если для любой последовательности точек , взятых из области определения функции, отличных от точки и сходящихся к , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .

Также можно показать эквивалентность указанных определений.

Непрерывность функции нескольких переменных

Введем понятие непрерывности функций нескольких переменных.

Определение 16. Функция с областью определения D называется непрерывной в данной предельной точке , принадлежащей множеству (), если имеет место соот­ношение .

Очевидно, что если функция не является непрерывной в точке, то она терпит разрыв в указанной точке.

Определение 17. Если функция непрерывна в каждой точке множества E, то говорят, что она непрерывна на этом множе­стве Е.

Для непрерывных функций нескольких переменных справедливы теоремы о непрерывности суммы, произведения, отношения функций, непрерывности сложной функции.

Определение 18. Говорят, что функция относительно множества непрерывна в предельной точке по аргументу , если

.

Справедливо утверждение.

Теорема 5. Функция, непрерывная в точке, непрерывна в этой точке по каждому из аргументов.

Обратное утверждение в общем случае не верно.

Будем рассматривать функцию с областью определения в точках линий , где принадлежит некоторому отрезку . В результате получим сложную функцию. Если функции непрерывны на , а функция непрерывна на , то по теореме о непрерывности сложной функции получившаяся функция будет также не­прерывной на .

Рассмотрим ряд теорем о свойствах непрерывных функций.

Теорема 6. Функция непрерывная на замкну­том и ограниченном множестве ограничена на этом множестве.

Теорема 7. (Вейерштрасса). Функция переменных, непрерывная на замкнутом и ограниченном множестве , принимает на как наибольшее, так и наименьшее значения.

Теорема 8. Если функция , непрерывная на данной связной области , принимает в этой области два каких-либо различных значения и (), то она принимает в этой области, хотя бы один раз, и всякое промежуточное значение .

Глава 2. Дифференцирование функций нескольких переменных

Частные производные

Пусть дана функция , определенная в некоторой области . Возьмем какую-либо точку этой области и дадим приращение , оставляя значения остальных аргументов неизменными, т. е. перейдем от точки к точке . Тогда и сама функция получит некоторое частное приращение . Составим отношение . Это отношение для данной точки можно рассматривать как некоторую функцию аргумента . Может случиться, что эта функция имеет предел при , т. е. что существует.

Определение 1. Частной производной функции по переменной в точке называется конечный предел .

Частную производную обозначают следующим образом: .

Так как при определении какой-либо частной производной все аргументы, кроме выбранного, считаются постоянными, то соответствующая частная производная может быть найдена как обычная производная функции одной переменной, которая получится из данной, если в ней все аргументы, кроме выбранного, считать постоянными.

Рассмотрим геометрический смысл частой производной функции двух переменных.

Рассмотрим поверхность, которая является графиком функции двух переменных (Рис. 46). Проведем плоскость с уравнением . Эта плоскость пересечет данную поверхность по некоторой кривой. В результате уравнение этой кривой будет иметь вид . Обычная производная от такой функции совпадает с частной производной исходной функции, вычисленной при . Таким образом, зная геометрический смысл обыкновенной производной, получаем, что частная производная функции по переменной , вычисленная в точке , равна угловому коэффициенту касательной в точке к плоской кривой пересечения данной поверхности и плоскости .

Частные производные высших порядков

Пусть функция имеет в некоторой области опреде­ления частную производную по одной из переменных. Тогда эту производную можно рассматривать как функцию тех же переменных, определенную в области . Может случиться, что полученная функция имеет в некоторой области определения частную производную по той же переменной или по другой переменной. Полученные таким образом частные производные называются частными производными второго порядка или просто вторыми частными производными функции. В общем случае дифференцирование можно повторять несколько раз, в результате получаем частные производные высших порядков.

Следует отметить, что особый интерес представляют частные производные, которые были найдены по различным переменным, такие производные называют смешанными.

Обозначение частных производных высших порядков рассмотрим на примере функции двух переменных. Пусть дана функция , тогда частные производные первого порядка имеют вид: . Продифференцируем каждую из частных производных по каждой из переменных. В результате получим четыре частные производные второго порядка: . Обратим внимание на получившиеся смешанные частные производные, можно показать справедливость следующей теоремы.

Теорема 1. Если в некоторой окрестности точки и в самой точке функ­ция имеет производные первого порядка, смешанные частные производные второго порядка и смешанные производные непрерывны в самой точке, то они в этой точке равны.

Данную теорему можно обобщить на случай любого числа переменных и смешанных производных любого порядка.

Теорема 2. Смешанные частные производные любого порядка при условии их непрерывности не зависят от порядка дифференцирования.

Полное приращение функции нескольких переменных

Полный дифференциал функции нескольких переменных

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой области . Пусть – внутренняя точка данной области. Придадим каждой из переменных и некоторое приращение и соответственно, причем так, что точка также принадлежит области определения.

Определение 3. Полным приращением функции в точке называется приращение функции, которое она получает при произвольных приращениях обеих переменных .

Определение 4. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение можно представить в виде , где не зависят от и , при , .

Определение 5. Сумму называют главной частью приращения .

Определение 6. Главная часть приращения дифференцируемой в точке функции называется ее полным дифференциалом (или просто дифференциалом) в этой точке.

Обозначается дифференциал .

Установим, как связано понятие дифференцируемой функции и частные производные.

Теорема 3. Если функция имеет в точке и в ее окрестности частные производные и они непрерывны как функции двух переменных в этой точке, то полное приращение функции может быть записано в следующем виде: .

Замечание. Условие непрерывности частных производных в точке является существенным.

Следствие. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то функция непрерывна в этой точке.

Из указанной теоремы следует, что полный дифференциал функции можно найти по формуле: .

Можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности, т. е. не меняет своей формы, если переменные являются функциями двух переменных.

Дифференциалы высших порядков

Как и в случае функций одной переменной можно ввести понятие дифференциала порядка выше первого. Пусть и являются независимыми переменными.

Определение 2. Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от полного дифференциала .

Его вычисление производится в предположении, что остаются постоянными. Можно показать, что для дифференциала второго порядка справедлива формула .

Аналогичным образом определяется дифференциал порядка . Можно показать, что формула для дифференциала порядка напоминает формулу для разложения двучлена в степень по правилу бинома Ньютона.

Справедливо утверждение: для сложных функций дифференциалы порядка выше первого не обладают неизменной формой и выражения для них более сложные, чем полученные ранее формулы.

Формула Тейлора

Формулу Тейлора для функции одного переменного можно обобщить на случай функций двух переменных.

Для функции формула Тейлора имеет вид

,

где – промежуточная точка между и .

Формулу Тейлора можно записать несколько в ином виде

,

где и .

Тогда для функции двух переменных формулу Тейлора можно записать в виде

,

где .

Неявные функции

Пусть дано уравнение вида .

Определение 7. Пусть функция определена на некотором множестве изменения переменных и пусть на каком-либо множестве значений существует такая функция , которая, будучи поставлена вместо в уравнение обращает его на этом множестве в тождество относительно . Тогда говорят, что на данном множестве функ­ция задана неявно уравнением .

Не всякое уравнение такого вида может являться неявной функцией. Возникает вопрос, в каких случаях такого рода выражение задает неявную функцию. Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема 4. (существования дифференцируемой неявной функции). Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1)  определена и имеет непрерывные частные производные в некотором прямоугольнике;

2)  в точке обращается в нуль, причем частная производная не обращается в нуль в данной точке.

Тогда уравнение в некоторой окрестности точки определяет неявную функцию , такую что . Эта функция в названной окрестности точки имеет непрерывную производную, причем .

Будем рассматривать выражение вида . Если для каждой пары значений независимых переменных из какой-либо области на плоскости существует только одно значение , которое удовлетворяет указанному уравнению, то говорят, что такое уравнение определяет неявную функцию. Можно сформулировать аналогичную теорему для определения условий существования неявной функции, частные производные которой находятся по формуле

.

Аналогичным образом можно определить неявные функции большего числа переменных.

Касательная и нормаль к плоской кривой, заданной неявно

Рассмотрим уравнение , где функция имеет непрерывные частные производные. В общем случае такое уравнение определяет на плоскости множество точек. Пусть в некоторой точке хотя бы одна из частных производных не равна нулю. Если множество точек, удовлетворяющих уравнению не пусто и не содержит ни одной точки, в которой обе производные были бы равны нулю одновременно, то в таком случае говорят, что уравнение определяет на плоскости кривую, заданную неявно. Уравнения касательной и нормали к ней в некоторой точке имеют вид. ,.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть поверхность задана уравнением .

Определение 8. Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскость, в которой находятся касательные, проведенные в этой точке ко всем возможным кривым, лежащим на поверхности и проходящим через точку .

Можно показать, что уравнение касательной находится следующим образом

,

если функция задана неявно. Для случая явного задания уравнение касательной имеет вид

.

Направление, перпендикулярное к касательной плоскости, есть нормаль к поверхности. Уравнение нормали соответственно задается следующим образом

(для неявного функции),

(для явной функции).

Экстремум функций нескольких переменных

Пусть функция нескольких переменных определена в некоторой замкнутой области и есть некоторая внутренняя точка этой области.

Определение 9. Говорят, что функция имеет максимум (минимум) в точке , если существует такая окрестность этой точки, что значение данной функции в данной точке будет не меньше (не больше) значения этой функции в любой другой точке из окрестности.

Максимумы и минимумы объединяют в понятие экстремумы. Как и для случая функции одной переменно не следует смешивать понятия максимума (минимума) и наибольшего (наименьшего) значения функции.

Возникает вопрос в каких случаях можно говорить о существовании в точке максимума (минимума). Необходимое условие выражается теоремой

Теорема 5. Если функция , заданная в некоторой области , имеет экстремум в какой-либо ее точке , то все частные производные первого порядка данной функции в этой точке (если они существуют) равны нулю.

Замечание. Необходимые условия экстремума могут быть сформулированы в следующем виде: если в некоторой точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то полный дифференциал этой функции, вычисленный в указанной точке, равен нулю.

Замечание. Функция может иметь экстремум и в тех точках, в которых по крайней мере одна из частных производных не существует.

Достаточные условия существования экстремума

Исследование функции нескольких переменных на экстремум в общем случае является довольно сложной задачей по сравнению с аналогичным исследованием для функции от одной переменной. Поэтому рассмотрим достаточные условия максимума и минимума функции двух независимых переменных.

Теорема 6. Если функция в некоторой окрестности точки имеет частные производные до второго порядка включитель­но, причем первые производные равны нулю, а вторые частные произ­водные непрерывны в точке, то функция в этой точке:

1) при имеет экстремум, именно максимум, если , и ми­нимум, если ;

2) при А < 0 не имеет экстремума.

Замечание. Если , то нужно проводить дополнительное исследование.

Чтобы найти точки экстремума данной функции двух независимых переменных и , следует:

1.  найти первые частные производные функции и определить действительные решения системы ;

2.  из всех решений взять только те, которые определяют внутренние точки области, в которой задана функция;

3.  найти все вторые частные производные от данной функции и вычислить их значения для каждого решения систе­мы;

4.  составить ;

5.  при функция имеет экстремум, а именно: максимум, если , или ми­нимум, если ;

6.  при А < 0 не имеет экстремума.



Подпишитесь на рассылку:

Исчисление

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.