Математика и живопись

МКОУ Венгеровская средняя общеобразовательная школа № 1

Математика и живопись.

Автор: Иванилов Кирилл, ученик 10 «А» класса Руководитель: , учитель математики высшей квалификационной категории.

Венгерово, 2012

Оглавление

1.  Введение

2.  Пропорция

3.  Золотое сечение

4.  Фракталлы

5.  Перспектива

6.  Проецирование

7.  Золотая спираль.

8.  Симметрия.

9.  «Странные» свойства изображения.

10.  Геометрические формы.

11.  Исследовательскаяработа

12.  Заключение

13.  Литература

Введение

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.

Б. Рассел

Математика – это царица всех наук, её красоте, мудрости, стройности и гармонии можно только бесконечно удивляться и восхищаться. Искусство – это точное соблюдение законов математики, гармония, пропорциональность, творческое вдохновение, художественное мастерство. Законы математики действуют даже в тех областях, где их менее всего ожидалось встретить: в живописи, музыке, скульптуре. Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, подразумевающем реалистичное изображение трехмерной сцены на плоском холсте или листе бумаги. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Проект «Математика и живопись» позволяет проследить взаимосвязь живописи с законами математики, которые присутствуют в окружающем мире, управляют этим миром.

Я считаю, что изучение этого вопроса позволит шире взглянуть на окружающий мир, ещё и ещё раз поразиться неразрывному сочетанию науки и искусства, пополнить свой багаж знаний.

Главной целью данного проекта является попытка сформировать убеждение в том, что математика, искусство и красота – понятия неразделимые. Вообще-то не существует каких-либо правил или ограничений на использование различных в математическом искусстве. Однако, есть несколько тем, которые достаточно часто различным художниками. Среди них есть использование многогранников, тесселяций, невозможных фигур, лент Мебиуса, искаженных или необычных систем перспективы, а также фракталов.

Объект исследования: живопись и математика.

Предмет исследования: взаимосвязь живописи с законами математики, которые присутствуют в окружающем мире.

Цель моей работы:

·  изучение математических законов, влияющих на изобразительное искусство

В связи с этой целью, необходимо было решить следующие задачи:

·  Найти элементы математики, влияющие на живопись.

·  Изучить влияние выявленных элементов на живопись.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы:

·  сбор, исследование и анализ материала по данной теме.

·  описание, обобщение сведений об атмосфере в жилищах.

Пропорция

Пропорция - равенство отношений числовых величин, т. е. равенство вида a : b = c : d, или, в других обозначениях, равенство

Одной из задач при изображении объектов является изобразить их соразмерно, то есть пропорционально.

Пропорции в теле человека

В Древнем Египте были разработан первый в истории канон пропорции, где за единицу измерения была принята длина среднего пальца руки. Такая система позволяла делить изображение на части и по одной из них востанавить всю фигуру человека. Фигура имела высоту 21 часть, из которых 19 приходились на тело а остальные на головной убор

Художники пользовались специальной сеткой, деливещй плоскость на части, также были разработаны правила изображения сидячих фигур и богов, согласно их положению в древнеегипетском пантеоне. ()дполнить(

Дальнейшем в древней Греции была разработана другая система пропорций тела, золотое сечение. Во время эпохи возрождения художники снова стали изучать пропорции тела, Это вопрос изучал и Леонардо Да Винчи, по этому поводу он писал: «многие художники, которые изучают пропорции и размеры человеческого тела, не исследуют его разнообразия. Человек может быть пропорциональным будучи высокого роста, среднего, низкого; кто не считается с этим разнообразием - тот заслуживает самого большого осуждения»

Однако надо сказать, что не все люди имеют идеальные пропорции. Они появились в результате длительной работы многих гениальных художников древней Греции.

В среднем рост среднего человека равен 8 его головам, ширена плеч у мужчины 3 головы а у женщины в среднем 2.

Отношение ширены лица и 1 глаза 1/5.

Однако надо учитывать, что тело ребёнка имеет другие пропорции.

Золотое сечение

Золотое сечение было известно еще в древности. Так, в книге II «Начал» Евклида оно применяется при построении правильных пяти - и десятиугольников.

Термин «золотое сечение» ввел Леонардо да Винчи. «Если мы человеческую фигуру – самое совершенное творение Вселенной – перевяжем поясом и отметим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека относится к длине от пояса до ступней.… Если теперь измерим длину от макушки до среднего пальца, когда руки опущены по швам, то эта величина по отношению к расстоянию от среднего пальца до ступни составит то же число, что и отношение всего роста».

Действительно, в природе и человеческом теле много пропорциональных отношений, близких к тому, которое Леонардо назвал золотым сечением, хотя и не воплощающих его точно. Золотое сечение не единственное отношение, зрительно воспринимаемое как красивое. К их числу относятся такие отношения, как 1:Ö2, 1:Ö3. Они близки к золотому сечению. В любом произведении искусства несколько неравных, но близких к золотому сечению частей дают впечатление развития форм, их динамики, пропорционального дополнения друг друга.

В живописи и скульптуре храмов, на предметах домашнего обихода древние египтяне чаще всего изображали богов и фараонов. Были установлены каноны (законы) изображения стоящего человека, идущего, сидящего, коленопреклоненного и т. д. По особым правилам рисовали и священный цветок лотоса, и священных животных. Художники обязаны были заучивать отдельные формулы и схемы изображения по таблицам и образцам. Канон для изображения человеческой фигуры был разработан путем изучения и измерения как всей фигуры, так и каждой ее части (рис. 1).

 

Рис. 1.

При этом использовалась такая система пропорционального членения фигуры на части, которая позволяла по части определить целое и по одной части тела определить размер другой. Диодор Сицилийский указывал, что египтяне «разделяли человеческое тело на 21,25 части и на основании этого регулировали всю экономию произведения». Это число, полученное вроде бы неизвестно откуда, долгое время заставляло ученых сомневаться в правильности сообщения Диодора. И только благодаря изысканием египтолога Лепсиуса эти сведения стали понятными. Лепсиус нашел в Египте рисунок человеческой фигуры, которая была изображена стоящей прямо, лицом вперед, и тело этой фигуры было разделено параллельными горизонтальными линиями на 21, 25 части. Единицей измерения служила длина среднего пальца руки. Само тело человека разделено на 19 равных частей, 2,25 части приходятся на традиционный головной убор фараонов.

Учеными позже было установлено, что по египетскому канону фигура человека имела следующие размеры: высота стопы считалась равной длине среднего пальца руки, расстояние от верхней части коленной чашечки до лобка – длине четырех пальцев и т. д. Для всех частей тела была определена точная вершина: ширина носа, глаз, рта, груди, толщина руки в различных местах и т. д.

Этот канон давал возможность ваятелю при изображении фигуры очень больших размеров (колосса) по величине целого судить о размерах какой-либо части – о размере всей фигуры. Известно, что египетские скульпторы лепили колоссов по частям, т. е. каждую часть одной и той же фигуры выполняли несколько мастеров порознь, порой даже в разных местах. Но когда готовые части складывались вместе, то они точно сходились без нарушения пропорций.

В художественных произведениях Древнего Египта часто встречается золотое сечение – деление отрезка, при котором одна его часть во столько же раз больше другой, во сколько сама она меньше целого.

На основе этого соотношения созданы пропорции древнеегипетского канона – восемь пропорциональных величин. Они получены следующим образом. Каждую сторону квадрата делили в золотом отношении, считая сначала от точки А, а потом от точки А1. Таким образом, на каждой стороне АА1 квадрата отмечали точки В и В1, для которых выполняются пропорции

Затем каждую точку А (или А1) соединяли с противолежащими точками В (или В1). Получались четыре полосы, в пересечении которых образовались два квадрата. Отрезки между вершинами и точками пересечения сторон малых квадратов составляли пропорциональные величины (в порядке возрастания: r, e, n, s, а ).

Для канонических статуй и рельефов максимальный разрез фигуры соответствовал стороне m большого квадрата. Местоположение отдельных элементов фигуры – уровень носа, рта, шеи, плеч, пояса и т. д. – определялось последовательно возрастающими величинами, отмеряемыми от верхнего предела.

Достижения египтян удивляли и восхищали художников Древней Греции. Они специально совершали путешествия в Египет, чтобы поучиться умению пользоваться каноном.

Греки продолжили и развили традиции египтян в искусстве. Ставя во главу угла образ человека, они наблюдали и изучали человеческое тело во всех деталях. Греческие художники утверждали, что в мире царит всеобщая закономерность, а сущность прекрасного заключается в строгом порядке, в симметрии, в гармонии частей и целого, в правильных математических отношениях.

Одним из высших достижений греческого, да и всего мирового искусства явилось творчество афинского скульптора Фидия (V век до н. э.). Он был главным помощником Перикла при реконструкции Акрополя в Афинах. Творчество Фидия оказало влияние на ваятельное искусство всего эллинизма. Его образы, наделенные жизненной достоверностью, свидетельствуют о глубоком изучении реального мира.

Самым гармоничным отношением Фидий считал золотое сечение. Благодарная память о скульпторе до сих пор сохраняется в этом понятии, поскольку числовое значение золотого сечения обозначается через j по первой букве имени Фидия.

Золотое сечение – такое деление («сечение») данного отрезка длины a на две неравные части x и y, a = x+y, x>y, при котором меньшая часть относится к большей так же, как большая часть к целому, то есть x:y=x:a. Из этого определения следует:

или

Решая это квадратное уравнение и отбрасывая отрицательный корень, находим

» 0,62.

Полученное число и обозначается через j.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

-  на две равные части – АВ : АС= АВ : ВС;

-  на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют).

Таким образом, когда выполняется равенство АВ : АС= АС : ВС или a : b= b : c (рис. 2), это и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

 

Рис. 2.

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки (рис. 3).

Рис. 3.

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE=0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ=0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Рассмотренная задача очень древняя, она присутствует в «Началах» Евклида, который решил ее геометрически (рис. 4).

 

Рис. 4.

Рис. 4.

На отрезке АВ построен квадрат АВCD. Требуется найти точку Y, делящую АВ в среднем отношении. Соединим точку Е – середину АС – с точкой В. На продолжении стороны СА квадрата отложим отрезок ЕJ=ВЕ. На отрезке АJ построим квадрат FJHY. Продолжение стороны HY до пересечения с СD в точке К делит квадрат АВСD на два прямоугольника AYKC и YBDK. Существует чисто геометрическое доказательство, что прямоугольник YВDК равновелик квадрату AJHY.

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис. 5).

 

Рис. 5.

Из подобия треугольников АСD и АВЕ можем вывести уже известную пропорцию:

 

Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться. Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пяти лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая пропорция».

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекал внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника (рис. 6).

 

Рис. 6.

В работах скульптора Фидия (Афина Парфенос, Аполлон Бельведерский, Зевс Олимпийский – рис. 7) золотое сечение заложено в различных пропорциях человеческого тела. Не только вся статуя, но и отдельные ее части делятся в золотом отношении.

 

Рис. 7.

«Божественную пропорцию» также использовали зодчие при возведении величественных греческих храмов. Отношение высоты здания Парфенона в Афинах (рис. 8) к его длине равно j. Если выполнить деление высоты Парфенона по золотому сечению, получим те или иные выступы здания:

=j

 

Рис. 8.

В особый вид изобразительного искусства Древней Греции следует выделить изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной форме амфор и кратеров, а также в их росписи легко угадываются пропорции золотого сечения. Например, амфора на рис. 9, б выдержана в следующих пропорциях:

=j.

 

Рис. 9, б.

В эпоху средневековья достижения античного искусства были преданы забвению. Художники этого времени не знали принципов построения фигур, которыми пользовались великие мастера древности. Безвозвратно погибли драгоценные рукописи, в которых содержались теория и математические выкладки по композиции и рисунку великих мастеров. Многие прославленные произведения искусства, которые могли служить образцами, были уничтожены. Начиная со времен императоров Рима и до блистательной эпохи Возрождения, изобразительное искусство существовало отдельно от науки. За короткий срок были забыты традиции реализма, рисунок стал условным и схематическим. На миниатюрах XII века мы видим изображение человека с нарушением всех пропорций человеческой фигуры. Герои рисунков имеют большеголовые тела и огромные руки и ноги (рис. 10).

 

Рис. 10.

Потеряв знания о математических соразмерностях фигур, художники потеряли и изобразительную силу искусства. Чтобы возродить былые реалистические традиции, нужно было начинать все сначала. Это выпало на долю художников эпохи Возрождения.

Применение золотого сечения, для определения зрительного центра.

При изображении объектов на картине важно правильно их расположить. На первый взгляд было бы расположить объект по середине, но это не так. Наиболее гармоничными смотрятся объекты, расположенными согласно золотому сечению. Часто используются четыре точки, расположенные на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краёв плоскости.

Примером использования данного приёма является картина «Утро в сосновом лесу».

Золотое сечение в пропорциях человеческого тела.

Пропорции тела человека соответствуют золотому сечению. Художники, ученые, модельеры, дизайнеры  делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции.

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост  человека эквивалентен числу 1.618.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

·  - расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618- расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618

·  - расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618

·  - расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618

·  - расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618

·  - расстояние от кончика подбородка до  верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

·  - расстояние от кончика подбородка до  верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

Фракталы

Фрактал - термин, означающий сложную геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения.

Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике. Во первых это фрактальное сжатие изображений, и во вторых построение ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур. Современная физика и механика только-только начинают изучать поведение фрактальных объектов. И конечно же фракталы применяются непосредственно в самой математике.

 Фракталы применяются и в программировании. Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации. В основе алгоритма лежит поиск больших кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам. И в выходной файл записывается только какой кусочек какому подобен. При сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки - квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка.

Также фракталы применяются в моделирование, с помощью них можно создать компьютерные модели, имеющие шероховатые поверхности и которые при увеличении не будут иметь плоские поверхности

Но фракталы это ещё и очень красиво, с помощью них можно создавать фигуры, поразительной красоты.

Золотая спираль

При зрительном восприятии на картине предметов, изображенных на основе использования золотого сечения, ощущаются гармония, покой, соразмерность, стройность.

Напротив, ощущение динамики, волнения проявляется сильней всего в другой простейшей геометрической фигуре – спирали. Спираль – это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала. Если точка удаляется от начала равномерно (r=kj, где r – расстояние от начала, а j - угол поворота луча), то получается спираль Архимеда (рис. 11).

 

Рис. 11.

Ее главное свойство – всякий луч, проведенный через центр этой спирали, разделится ее витками на равные части. Длины их одинаковы при любом направлении луча. Эта длина называется шагом спирали Архимеда. Если же точка удаляется по экспоненциальному закону (r=kemj, рис. 12), то получается логарифмическая спираль. Частым случаем логарифмической спирали является интересующая нас золотая спираль: она получается в том случае, если начало луча и параметры k и m экспоненциального закона выбраны так, чтобы спираль проходила через три из четырех вершин каждого из последовательно построенных на рис. 12 «золотых прямоугольников».

 

Рис. 12.

Многофигурная композиция, выполненная в Рафаэлем, когда прославленный живописец создал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован известным итальянским графиком Маркантонио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру «Избиение младенцев» (рис. 13).

 

Рис. 13.

На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции – точки, где пальцы война сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, – вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мячом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается… золотая спираль! Это можно проверить, изменяя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.

Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции «Избиение младенцев» или только «чувствовал» ее. Однако с уверенностью можно сказать, что гравер Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствуют добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где у нас обозначено лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной гравюре Раймонде: арка моста, идущая от головы женщины, – в левой части композиции и лежащее тело ребенка – в ее центре.

В композиции прекрасно сочетаются динамизм и гармония. Этому сочетанию способствует выбор золотой спирали за композиционную основу рисунка Рафаэля: динамизм ему придает характер спирали, а гармоничность – выбор золотого сечения как пропорции, определяющей развертывание спирали.

Симметрия

Обратимся сначала к четким математическим формулировкам.

1.  Центральная симметрия – отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно данного центра.

2.  Осевая симметрия – отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно оси а.

3.  Зеркальная симметрия – отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно плоскости a.

Симметрия (соразмерность, одинаковость в расположении частей какого-либо рисунка относительно точки, прямой, плоскости) – это понятие не только чисто математическое. Она есть и в творениях природы (животные, листья растений, кристаллы), и в творениях конструкторов, архитекторов, скульпторов, художников (рис. 14) и т. д.

 

Рис. 14.

Для анализа симметрии изображения лучше взять картину с более простой композицией. Можно обратиться к хранящейся в Эрмитаже картине гениального итальянского художника и ученого Леонардо да Винчи «Мадонна Литта» (рис. 15). Обратите внимание: фигура мадонны и ребенка вписывается в правильный треугольник, который вследствие симметричности особенно ясно воспринимается глазом зрителя. Благодаря этому мать и ребенок сразу же оказываются в центре внимания, как бы выдвигаются на передний план. Голова Мадонны совершенно точно, но в то же время естественно помещается между двумя симметричными окнами на заднем плане картины. В окнах просматриваются спокойные горизонтальные линии пологих холмов и облаков. Все это создает ощущение покоя и умиротворенности, усиливаемое за счет гармоничного сочетания голубого цвета с желтоватыми и красноватыми тонами.

 

Рис. 15.

Внутренняя симметрия картины хорошо ощущается. А что можно сказать об асимметрии. Асимметрия хорошо проявляется, например, в тельце ребенка, которое неправильно разрезает упомянутый выше треугольник. И, кроме того, есть одна в высшей степени выразительная деталь. Благодаря взаимной замкнутости, завершенности линий фигуры Мадонны создается впечатление полного безразличия Мадонны к окружающему миру, и в частности к зрителю. Мадонна вся сосредоточена на младенце; она нежно держит его, нежно глядит на него. Все ее мысли сосредоточены только на нем. И вдруг вся эта замкнутость картины в себе исчезает, как только мы встречаемся с взглядом ребенка. Именно здесь внутренняя уравновешенность композиции нарушается: спокойный и внимательный взгляд обращен прямо на зрителя, через него картина раскрывается на внешний мир. Попробуйте мысленно убрать эту чудесную асимметрию, повернуть лицо младенца к матери, соединить их взгляды. Разве вы не чувствуете, что от этого картина сразу беднее, менее выразительна.

Получается, что всякий раз, когда мы восхищаемся тем или иным произведением искусства, говорим о гармонии, красоте, эмоциональности воздействия, мы тем самым касаемся одной и той же неисчерпанной проблемы – проблемы соотношения между симметрией и асимметрией. Пример с картиной Леонардо да Винчи убеждает о том, что анализ симметрии – асимметрии очень полезен: картина начинает восприниматься острее.

Вот перед нами знаменитая «Тайная вечеря» Леонардо да Винчи (рис. 16). Двенадцать апостолов расположены вокруг своего учителя четырьмя группами: по две группы с каждой стороны от него и по три человека в каждой группе. Вся композиция строго симметрична и строго уравновешена относительно вертикальной оси, проходящей через ее главную точку.

 

Рис. 16.

Симметрия тесным образом связана с золотым сечением. Великий русский кристаллограф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии. Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

«Странные» свойства изображений

При выполнении чертежей, рисунков, подписей полезно знать о некоторых «странных» свойствах изображений. Выделяют четыре вида изображений:

1.  неоднозначные, когда, рассматривая один и тот же рисунок, например, раскрытую книгу, можно видеть ее обращенную к нам то внутренней, то внешней стороной;

2.  парадоксальные, когда на картине предметы даны плоскими, но на самом деле они трехмерные;

3.  неопределенные, когда, глядя на дерево, мы не можем сказать, как распределены его ветки в пространстве: точная структура каждого дерева неповторима;

4.  кажущиеся искаженными, когда две одинаковые дуги кажутся неравными из-за того, что штриховка верхней дуги дана с внешней стороны, а штриховка нижней дуги – с внутренней (рис. 17).

Рис. 17.

Обман зрения представляет особый интерес для художников (например, изображение Э. Боринга – «Леди и старуха» – рис. 18). Они широко используют в своей работе оптические иллюзии и зависимость восприятия определенного сочетания линий от нашего психологического настроя.

 

Рис. 18.

Геометрические формы

С середины XIX века отход от господствующей в это время в изобразительном искусстве натуралистической традиции резко ускоряется. Живопись, графика, скульптура обращаются к тому, что не доступно прямому («буквальному») восприятию.

Последняя выставка импрессионистов в 1886г. знаменует конец классического периода европейского искусства. Начиная с этого времени, в европейской живописи одно за другим возникают многочисленные течения: югендстиль, экспрессионизм, неоимпрессионизм, пуантилизм, символизм, кубизм, фовизм.

Кубизм – авангардское течение в изобразительном искусстве I-й четверти XX в. Официальная родословная кубизма начинается с картины «Авиньонские девушки» П. Пикассо (1907г.). Геометрическая красота фигур – именно то, что прежде всего бросается в глаза в этой картине (рис. 19).

 

Рис. 19.

Кубизм не оказал бы такого влияния на развитие мирового искусства, если бы остался делом одного – двух живописцев. Подхваченное десятками и сотнями художников со всех стран мира, это дело оказалось столь значительным потому, что расширило художественный кругозор Франции, раздвинув границы европейской эстетики.

Основоположниками кубизма являются художники П. Пикассо, Ж. Брак, Х. Грис и др.

Кубизм выдвинул на первый план конструирование объемной формы на плоскости, выявление простых устойчивых геометрических форм (куб, конус, цилиндр, шар), разложение сложных форм на простые.

В ранних кубистических работах (г.) формы предметов реального мира трактуются подчеркнуто объемно и сводятся к простым геометрическим телам: дома – кубы, крыши – пирамиды, стволы деревьев – цилиндры и т. д. Стремясь постичь внутреннюю структуру, кубисты показывают предмет с разных точек зрения, в различные временные моменты, а иногда, как бы находясь внутри изображаемых объектов, которые теряют целостность и распадаются на фрагменты (например, картины П. Пикассо «Сидящая женщина», 1908г. – рис. 20, «Дружба», 1908г. – рис. 21; картина Ж. Брака «Скрипка и кувшин», 1910г. – рис. 22).

 

Рис. 20. Рис. 21. Рис. 22.

Среди живописцев, преобразивших искусство XX в., Казимир Малевич занимает одно из первых мест; среди художников русского авангарда ему нет равных. Во всем мире известны его работы «Шагающий», «Косарь», «Жница» (г.) и др. с фигурами крестьян. Абстрактные цилиндрические формы, из которых складывается фигура – руки, ноги, верхняя и нижняя части фигуры,– как бы взаимозаменяемы. Яйцевидная голова, глазные щели, брус носа так же геометризованы.

Вопреки не прекращавшемуся сопротивлению широкой публики новое течение 1914г. распространилось на все области художественного творчества: картины, скульптуры, театральные декорации, иллюстрация книг и журналов, рисунки для тканей, модели одежды, музыка.

Кубизм был родоначальником бесчисленных модернистских течений XX века: абстракционизма, экспрессионизма, футуризма, супрематизма, конструктивизма, поп-арта и т. д.

1914 год – это момент, когда в русском искусстве обозначился перелом, то есть переход к нефигуративной, беспредметной изобразительности. Появляется плоскостная геометрическая живопись Каземира Малевича, которой он дает название «супрематизм» (картины «Черный квадрат», «Черный крест»).

Одним из видов абстракционизма является геометрическая абстракция, в основе которой лежит композиция геометрических или стереометрических фигур.

Перспектива – геометрия живописи

“Все проблемы Перспективы можно пояснить при помощи пяти терминов Математики: точка, линия, угол, поверхность и тело”.

Леонардо да Винчи.

Слово перспектива означает насквозь видеть. Перспектива – наука, изучающая законы линейного построения изображения предметов при разном их удалении от наблюдателя. Поэтому обычно говорят о линейной перспективе. Перспективой также называют и само изображение, построенное по этим законам. Кроме линейной перспективы, существует еще так называемая воздушная перспектива.

Научные основы линейной перспективы заложил архитектор Раннего Ренессанса Брунеллески в сотрудничестве с математиком Тосканелли. Затем итальянские и немецкие художники Леон Баттиста Альберти, Пьеро делла Франческа, Паоло Учелло, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер и другие в своих научных трудах и произведениях искусства развили открытые ранее законы. Так, Леонардо да Винчи () первым говорил о сокращении масштаба разных отрезков, удаляющихся вглубь картины, сформулировал правило построения изображений на цилиндрических сводах и положил начало панорамной перспективе, объяснил причину стереоскопического видения, указал правила распределения теней, характер отражения и изменения окраски предметов. Ему принадлежат слова: «Перспектива есть руль живописи». Около семь тысяч его сохранившихся рукописей содержат мысли по различным вопросам искусства, науки и техники. Из его записей был составлен позже «Трактат о живописи». Леонардо пишет: «… возьми зеркало, отрази в нем живой предмет и сравни отраженный предмет со своей картиной …именно ты увидишь, что картина, исполненная на плоскости, показывает предметы так, что они кажутся выпуклыми, и зеркало на плоскости дает то же самое; картина – это всего лишь только поверхность, и зеркало – то же самое; картина – неосязаема, поскольку то, что кажется круглым и отделяющимся, нельзя обхватить руками, – то же и в зеркале; зеркало и картина показывают образы предметов, окруженные тенью и светом; и то и другое кажется очень далеко по ту сторону поверхности. Существует еще другая перспектива, которую я называю воздушной, ибо вследствие изменения воздуха можно распознать различные расстояния до различных зданий, ограниченных снизу одной единственной(прямой) линией… .Делай первое здание…своего цвета, более удаленное делай более … синим, то, которое ты хочешь, чтобы оно было настолько же более отодвинуто назад, делай его настолько же более синим…». Многие его наблюдения не нашли в то время надлежащего физико-математического объяснения, но однако им были сделаны первые экспериментальные попытки определения силы света в зависимости от расстояния, исследования законов бинокулярного зрения, видя в них условие восприятия рельефности.

Знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер () в книге «Наставления» дал подробную разработку основ рисования, указал на графические способы построения большого числа плоских и некоторых пространственных кривых линий, предложил метод построения перспективных линий и тени предмета при помощи ортогональных проекций.

Французский математик и инженер Дезарг () впервые применил метод координат для построения перспективы, положил начало аксонометрии, приведшей в дальнейшем к развитию «вольной» перспективы.

В последующее время было разработано немало методов и приемов перспективного построения, позволяющих точно воспроизвести на плоскости любой предмет в любом повороте, на любом удалении и с любой точки зрения.

Известно, что параллельные линии на ровной местности, например рельсы и т. п., удаляясь от нас, в конце концов, зрительно сойдутся в одной точке на горизонте, т. е. на той условной линии, где сходятся земля и небо. Без линии горизонта не может обойтись ни одно перспективной построение. Резкое понижение горизонта (картина В. Серова – «Петр I», 1907г. – рис. 23), скрадывание происходящего на дальних планах, снятие всего второстепенного позволило художнику возвеличить центральный персонаж, который таким образом возвышался над всем окружающим, выразительно вырастая на фоне неба.

Рис. 23.

Другое дело – повышение горизонта («Черешня» Е. Моисеенко – рис.24). Поднимая его, художник как бы поднимает и зрителя, дает ему возможность охватить взглядом как можно большее пространство, разглядеть участников массовой сцены или ощутить земной простор со множеством планов и деталей.

 

Рис. 24.

Иногда, разворачивая какую-нибудь сцену в помещении, художник изображает его строго фронтально, когда все уходящие вглубь, в перспективе линии боковых стен, проемов, плит пола и т. п. при их прохождении сошлись бы в одной центральной точке как в некоем фокусе. И часто в картине этот геометрический фокус как бы совпадает с композиционным центром произведения. Стремящиеся вглубь линии архитектуры направляют наш взгляд в это место, и здесь оказывается главный элемент изображения – либо голова центрального действующего лица, как во фреске Леонардо да Винчи «Тайная вечеря» или в картине П. Федотова «Сватовство Майора» (рис.25), либо главные персонажи, как фигуры Аристотеля и Платона в картине Рафаэля «Афинская школа», либо какой-то важный предмет, как пучок мечей в картине Ж.-Л. Давида «Клятва Горациев».

 

Рис. 25.

Все то, что наблюдатель может охватить одним взглядом, не двигаясь и не поворачивая головы, называется полем зрения. Наиболее ясное и отчетливое восприятие предмета заключается в пределах угла, равного примерно 30 градусов. Поэтому, чтобы его воспринять отчетливо, точка зрения наблюдателя должна находиться на удалении, превышающим в 2,5-3 раза самое большое измерение этого предмета. Если же к предмету подойти ближе этого расстояния, его можно увидеть (не поворачивая головы) только частично. Если же наблюдатель будет перемещаться около предмета направо, налево, вверх, вниз, он будет представляться ему с каждой новой точки зрения по-новому, в иных поворотах и ракурсах.

Помещая на рисунке или картине людей в различном перспективном удалении, художник должен быть уверенным, что величина намеченных фигур соответствует их положению в пространстве (рис. 26).

 

Рис. 26.

Картина венгерского художника В. Вазарели – «Изучение перспективы» (рис. 27) – прекрасный тому пример. На ней видно, как линии, уходящие вглубь, сходятся в одной точке, а фигура, находящаяся от нас дальше, изображается в виде фигуры меньших размеров.

 

Рис. 27.

Степень контрастности света и тени, объемность предмета, четкость его очертаний, цветовая окраска при его удалении от рисующего резко изменяются. Это связано с тем, сто окружающий нас воздух не абсолютно прозрачен: он всегда содержит в себе пыль, влагу и другие мельчайшие взвешенные частицы, которые делают его мутной средой. Эта мутная среда влияет на проходящие через нее лучи, определяя наше восприятие окутанных ею предметов. Удаляясь от нас, предметы не только зрительно уменьшаются в размерах. По мере удаления контрастность их темных и светлых мест постепенно все более смягчается, предметы становятся как бы более плоскими и, в конце концов, превращаются на горизонте в однородную дымку едва различимых силуэтов. Одновременно происходит и изменение их цветовой окраски. Это явление и называется воздушной перспективой.

Также существую и другие виды перспективы, основанные на исчезновением четкости и ясности очертаний предметов по мере их удаления от глаз наблюдателя. При этом дальний план характеризуется уменьшением насыщенности цвета, а также изменением цвета более далёких от зрителей предметов.

Невозможные фигуры - эти фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве. Эшер изобразил невозможные фигуры на своих известных картинах «Бельведер» (1958), «Восхождение и спуск» (1960) и «Водопад» (1961). Одним из примеров невозможной фигуры служит картина современного венгерского художника Иштвана Ороса

На картине изображены мосты, которые не могут существовать в трехмерном пространстве. Например, есть отражения в воде, которые не могут быть исходными мостами.

Проецирование

Проецирование - изображение трёхмерной фигуры на так называемой проекционной плоскости

Суть проецирования в следующем, надо выбрать плоскость, которую назовем  плоскостью проекций. Перед ней поместим любой объект. Перед объектом расположим центр проецирования, из которого направим к плоскости проекций проецирующие лучи через все точки объекта до пересечения их с плоскостью проекций. На плоскости проекций получим изображение совокупности точек, которое будет являться проекцией данного обьекта. Таким образом, проекция — это изображение объекта, полученное при проецировании его на плоскость проекций.

Проецирование делится на параллельное и центральное.

При центральном проецировании проецирующие лучи исходят из одной точки — центра проецирования. При параллельном проецировании все проецирующие лучи параллельны между собой, поскольку центр проецирования удален в бесконечность. При этом при центральном проецировании при изменении расстояния между источником света, объектом и проекционной плоскости меняются размеры полученного изображения, но не его форма, а при параллельном форма и размер полученного изображения соответствует исходному объекту, независимо от расстояния между объектом проецирования, источником лучей и проекционной плоскости.

Параллельное проецирование подразделяется на прямоугольное и косоугольное.
При прямоугольном (ортогональном) проецировании проецирующие лучи падают на плоскость под прямым углом. При косоугольном проецировании проецирующие лучи падают на плоскость под углом, отличным от прямого.

тень – пространственное оптическое явление, выражающееся зрительно силуэтом, возникающим на произвольной поверхности благодаря присутствию объекта между нею и источником света

различают падающие и собственные тени.

Собственные тени, тени на предмете позволяют судить о его форме и фактуре поверхности. Расположение теней зависит от нахождения источника света и от угла падения лучей

Падающая тень возникает результате падения лучей на поверхность и падения части лучей на предмет.

Падающие тени строятся с помощью прямых, проходящих от источника света и края предмета. Причём если источник света искусственный, то прямые проводятся от точки через край предмета, а если источник света естественный (солнце) , то прямые проводятся под одним углом, параллельно друг другу. В этом случае прямые выполняют роль световых лучей.

Иными словами, тени это есть не что иное, как проекции предметов. Причём если источник света искусственный, то это центральное проецирование, а сли источник света естественный, это параллельное проецирование

По данным правилам строятся все тени, конечно художники не используют линейки для нанесения теней. Также навсегда источник света является единственным, но от этого правила построения не меняются.

Бессмысленно пытаться перечислить все картины, где есть все т. к. тени присутствуют на всех картинах.

Исследовательская работа

На знаменитой картине «Корабельная роща» (рис. 28) с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения.

 

Рис. 28.

Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны – освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали (рис. 29).

 

Рис. 29.

Для наибольшей наглядности представим схематически картину следующим образом (рис. 30).

 

Рис.30.

Здесь линия ВК соответствует главной сосне, DТ – верхнему краю пригорка; пунктирная линия ОР – первой сосне в левой части картины…

= j » 0,62.

Слева от главной сосны находится множество сосен – при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придают ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника.

Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимися действиями, подобная геометрическая схема (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

IV. Заключение

В данной работе рассмотрено только несколько законов математики, применяемых живописцами. Но этого уже достаточно, чтобы убедиться во взаимосвязи двух на первый взгляд несовместимых понятий: математика и живопись.

Преподавание в школе предметов математики и изобразительного искусства будет считаться недостаточно глубоким, если не будет раскрыто практическое их применение в повседневной жизни. Глубокие изменения в экономике и технике в 20 веке привели к возникновению новой науки, получившей название технической эстетики или дизайна, а, следовательно, и новой профессии – художника-конструктора. Основываясь на расчетах, используя геометрические законы, применяя математические методы, компьютерную графику и художники, и дизайнеры создают для нас такие произведения искусств, которые улучшают эмоциональное и психологическое состояние человека, повышают его работоспособность.

Изложенный выше материал поможет учителям использовать его не только на уроках, но и на внеклассных мероприятиях в целях повышения интереса учащихся к изучению данных предметов, расширения кругозора детей.

Учащиеся смогут понять, что математика не только «ум в порядок приводит», но и несет в себе большой эстетический потенциал в развитии различных видов искусства, являясь «царицей всех наук».

Литература

1)  и др. Что такое. Кто такой. – М.: «Педагогика-Пресс», 1996. – Т. 2, – с. 416.

2)  и др. Что такое. Кто такой. – М.: «Педагогика-Пресс», 1996. – Т. 3, – с. 336.

3)  Геометрия. // Учебник для 10-11 классов средней школы. / Изд. 2-е.– М.: «Просвещение», 1993. – с. 206.

4)  Занимательное черчение. // Пособие для учащихся. / Изд. 3-е. – М.: «Просвещение», 1977. – с. 191.

5)  Эстетика урока математики // Пособие для учителей. – М.: «Просвещение», 1981. – с. 25.

6)  XX век. Сам о себе. Персоналии и течения. Малевич // Искусство. Приложение к газете «Первое сентября». – М., 2001. – № 1. – С. 1-3.

7)  XX век. Сам о себе. Персоналии и течения. У истоков кубизма. Искусство. Приложение к газете «Первое сентября». – М., 2001. – № 7. – С. 5-8.

8)  Толковый словарь русского языка. / Изд. 2-е. – М.: «АЗЪ», 1994. – с. 907.

9)  Золотая спираль. // Квант. Научно-популярный физико-математический журнал АН СССР и АПН СССР. – М.: «Наука», 1984. –  № 9. – С. 15-17.

10)  Леонардо да Винчи. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября». – М., 2003. – № 4. – С. 7-10.

11)  Присутствие красоты. // Математика в школе. Научно-теоретический и методический журнал МО РФ. – М.: «Школьная пресса», 2001. – № 3. – С. 73-75.

12)  Наглядная геометрия. 5-6 классы // Пособие для общеобразовательных учебных заведений. / Изд. 4-е. – М.: «Дрофа», 2001. – с. 192.

13)  О золотом сечении и не только о нем. // Математика в школе. Научно-теоретический и методический журнал МО РФ. – М.: «Школьная пресса», 2001. – № 3. – С. 75-76.