Задача 1. Вычислить пределы:

Задача 2. Продифференцировать функции:

Задача 3. Исследовать функцию, построить ее график:

Решение. Из вида функции понятно, что она определена на всей числовой оси, за исключением х=2. В точке х=2 функция терпит разрыв второго рода, х=2 является вертикальной асимптотой функции.

Сперва найдём производную этой функции. Для этого запишем её в более удобном для дифференцирования виде :

Приравняв её нулю, видим, что в нуль эта производная обращается при . Следовательно, две критические точки этой функции ― (-0,828, 1,657) и (4,828, 9,657). Найдём вторую производную такой функции:

.

В точке х=-0,828 значение этой функции отрицательно. Следовательно, это стационарная точка максимума. В точке х=4,828 значение этой функции положительно. Следовательно, это точка минимума.

Вторая производная никогда не принимает нулевое значение, значит, точек перегиба нет.

Отсюда можно без труда заключить, что на промежутке (-∞, -0,828) функция возрастает (выпуклая), на промежутке (-0,828, 2) ― монотонно убывает (выпуклая), на промежутке (2, 4,828) ― убывает, становится вогнутой. На промежутке (4,828, +∞) ― возрастает, вогнутая.

Кроме того, эти два примера с дифференцированием позволяют предположить, что функция непрерывная и гладкая на всей области определения.

Нулевое значение наша функция принять не может, т. к. квадратное уравнение 2х2+4=0 не имеет действительных корней.

Попробуем функцию на чётность:

, т. е., ― это ни чётная, ни нечётная функция, её график не имеет элементов симметрии.

Ось игреков функция пересекает в точке

Устремим х®-∞ , т. е., у функции нет горизонтальных асимптот.

, следовательно, у функции есть наклонная асимптота вида y=x+b. Найдём

Таким образом, искомая асимптота есть у=х+2.

Построим график нашей функции на небольшом участке, содержащем все особые точки, найденные нами.

Задача 4. Пусть зависимость издержек производства в зависимости от объема выпускаемой продукции выражается формулой . Найти средние и предельные издержки при объеме продукции

а) ед.; б) ед.

Решение. Средние издержки в таком контексте могут быть найдены по формуле

Предельные издержки определяются как , но так как у нас имеется аналитически заданная функция, то более корректно будет определить предельные издержки через производную, как это принято в математике:

Рассчитаем: , ,

,