Учебно-методический комплекс дисциплины Математика (стр. 3 )

Ответ:

4)

Ответ:

5)

Ответ:

2. а) Ответ: 2

б)

Ответ: .

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение

Фигура, площадь которой нужно найти располагается по оси Ох в пределах от х=0 до х=2. Воспользуемся формулой:

Ответ: .

4. Найдите длину линии от до

Решение

Воспользуемся формулой:

Ответ:

5. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной окружностью

Решение

Воспользуемся формулой:

В данной задаче

Тогда,

Ответ: 48

2 курс, 4 семестр

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

«Числовые ряды, кратные интегралы»

ВАРИАНТ 1

1. Исследовать на сходимость ряды

a) 

b) 

2. Найти область сходимости ряда

3. Разложить в ряд Маклорена функцию

4. Вычислим с точностью до 0,0001.

5. Вычислите , где (Д): Измените порядок интегрирования.

6. Вычислите, переходя к полярным координатам, где (Д) – половина круга радиуса R с центром в начале координат, лежащая в области

7. Вычислить криволинейный интеграл:

, где (К) – окружность ;

8. Вычислите

ВАРИАНТ 2

1. Исследовать на сходимость ряды

a) 

b) 

2. Найти область сходимости ряда

3. Разложить в ряд Маклорена функцию

4. Вычислим с точностью до 0,0001.

5. Вычислите , если (Д) – ограничена прямыми х = 2, у = х, х = 2у. Измените порядок интегрирования.

6. Сделав замену вычислите где (Д)- область, ограниченная окружностями

7. Вычислите криволинейный интеграл:

где (К) – отрезок прямой от А(0, 0) до В(4, 3);

8. Вычислите

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ (ВАРИАНТ 1)

Типовое решение задания a (вариант 1)

Вычислим предел общего члена ряда, взятого по абсолютной величине . Следовательно, по следствию из необходимого признака ряд расходится.

Типовое решение задания b)

Найдем . Следовательно, по признаку Коши ряд расходится.

2. Типовое решение задания 2 (вариант 1)

Применим к ряду искомому признак Даламбера. Имеем

. Если , то . Следовательно, , а потому ряд абсолютно сходится. Если , то и ряд снова абсолютно сходится. В точках ряд имеет вид и расходится, так как его общий член не стремится к нулю. Поэтому область сходимости ряда: .

3. Типовое решение задания

Дана . Имеем . Используя известное разложение в ряд по степеням x элементарной функции имеем:

. Отсюда находим . Раскрывая скобки и переставляя члены ряда, делая приведение подобных членов, получим: . Полученный ряд сходится при .

4. Типовое решение задания 4

Вычислим с точностью до 0,0001. Представим данный корень в виде: . Для функции получим следующее разложение:

Подставляя вместо x число , получим числовой ряд: . Мы имеем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница. Поэтому, так как мы должны вычислить значение корня с точностью до 0,0001, то для подсчета нужно взять первые три члена ряда. Уже четвертый член, умноженный на 5 будет . Производим вычисления: 5,00000+0,06667-0,00089=5,06578. Таким образом, 5,06578 (с точностью до 0,0001).

5. Вычислите , где (Д): Измените порядок интегрирования.

Решение

Ответ: ;

6. Вычислите, переходя к полярным координатам, где (Д) – половина круга радиуса R с центром в начале координат, лежащая в области

Решение

Формулы перехода имеют вид: ,

Ответ:

7. Вычислить криволинейный интеграл:

, где (К) – окружность ;

Решение

Запишем уравнение окружности в параметрической форме: т. е. Следовательно,

Воспользуемся формулой

Ответ:

8. Вычислите

Решение

Следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования в R.

(ОАВ):

(ОА): (АВ):

Ответ:

Министерство культуры Российской Федерации

Алтайский филиал федерального государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КУЛЬТУРЫ И ИСКУССТВ»

Кафедра прикладной информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины

Математика

Специальность:080801.65 – «Прикладная информатика (в менеджменте)»

ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ И ЭКЗАМЕНУ

Барнаул 2010

I курс, 1 семестр (Зачет)

1)  Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства.

2)  Определители 2-го и 3-го порядков, их вычисление и их свойства.

3)  Алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

4)  Системы линейных уравнений, их виды.

5)  Решение систем уравнений методом Гаусса и методом Крамера.

6)  Декартова система координат на плоскости, координаты точки.

7)  Уравнение линии на плоскости

8)  Уравнения прямых на плоскости (с угловым коэффициентом, через две точки, общее уравнение).

9)  Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

10)  Уравнения кривых 2-го порядка (окружности, эллипса, гиперболы, параболы).

11)  Комплексные числа, их формы и операции над ними.

I курс, 2 семестр (Экзамен)

Множество действительных чисел. Расширенная числовая прямая. Промежутки. Модуль действительного числа, его свойства. Ограниченные множества. Определения. Примеры. Функции (отображения). Виды отображений. Операции над функциями. Композиция функций. Обратимая функция. Обратная функция. Действительная функция действительного переменного. Способы задания. График функции. Числовые последовательности. Подпоследовательности. Монотонные и ограниченные функции. Четные, нечетные, периодические функции. Предел функции в точке. Предел последовательности. Свойства предела. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентные бесконечно малые функции. Принцип вложенных отрезков. Предел монотонной последовательности. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность композиции функций. Точки разрыва функции, их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Равномерная непрерывность непрерывной функции на отрезке. Задачи, приводящие к понятию производной. Производная от функции и в точке. Геометрический и механический смысл производной. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Дифференцируемость и существование производной. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производная и дифференциал композиции функций. Производная обратной функции. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Правило Лопиталя. Признаки постоянства функции. Признаки возрастания и убывания функции в точке и на промежутке. Понятие максимума и минимума. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Выпуклые функции вверх (вниз). Условия выпуклости. Понятие точки перегиба. Условие существования точки перегиба. Асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных и невертикальных асимптот графика функции. Схема полного исследования функции.

2 курс, 3 семестр (зачет)

1)  Понятие определенного интеграла.

2)  Необходимое условие существования определенного интеграла.

3)  Достаточное условие существования определенного интеграла.

4)  Интегрируемость непрерывной функции.

5)  Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами.

6)  Свойства определенного интеграла, выражаемые неравенствами.

7)  Формула Ньютона-Лейбница.

8)  Интегрирование по частям в определенном интеграле.

9)  Интегрирование подстановкой в определенном интеграле.

10)  Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах.

11)  Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах.

12)  Вычисление объема тела вращения.

13)  Понятие длины гладкой дуги.

14)  Вычисление длины гладкой дуги.

15)  Дифференциал длины дуги.

16)  Понятие несобственного интеграла.

17)  Несобственный интеграл от положительных функций.

18)  Понятие числового ряда.

19)  Сходящиеся числовые ряды.

20)  Сложение рядов.

21)  Умножение ряда на число.

22)  Остаток сходящегося ряда.

23)  Необходимое условие сходимости числового ряда.

24)  Достаточные признаки сходимости числовых знакоположительных рядов.

25)  Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

26)  Абсолютно сходящиеся ряды.

27)  Условно сходящиеся ряды.

2 курс, 4 семестр (экзамен)

1)  Функциональная последовательность и функциональный ряд.

2)  Равномерная сходимость функциональной последовательности и рядов.

3)  Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

4)  Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.

5)  Интегрирование функциональных последовательностей.

6)  Интегрирование функциональных рядов.

7)  Дифференцирование функциональных последовательностей.

8)  Дифференцирование функциональных рядов.

9)  Понятие степенного ряда.

10)  Теорема Абеля.

11)  Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

12)  Равномерная сходимости степенного ряда.

13)  Интегрирование степенных рядов.

14)  Дифференцирование степенных рядов.

15)  Задачи разложения функции в степенной ряд.

16)  Формулы и ряд Тейлора.

17)  Разложение в степенной ряд функции y = sin x.

18)  Разложение в степенной ряд функции y = cos x.

19)  Разложение в степенной ряд функции y = ex.

20)  Разложение в степенной ряд функции y = ln (1+x).

21)  Разложение в степенной ряд функции y = (1+x)a.

22)  Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов.

23)  Приближенные вычисления интегралов с помощью степенных рядов.

24)  Тригонометрический ряд Фурье.

25)  Разложение кусочно-гладкой функции в тригонометрический ряд Фурье.

26)  Понятие площади. Задачи, приводящие к двойному интегралу.

27)  Понятие двойного интеграла.

28)  Свойства двойного интеграла.

29)  Приведение двойного интеграла к повторному.

30)  Площадь в криволинейных координатах.

31)  Замена переменных в двойном интеграле.

32)  Двойной интеграл в полярных координатах.

33)  Понятие тройного интеграла.

34)  Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

35)  Замена переменных в тройном интеграле.

36)  Вычисление объемов тел с помощью двойных и тройных интегралов.

37)  Понятие криволинейного интеграла по координатам.

38)  Существование и вычисление криволинейного интеграла.

39)  Основные свойства криволинейного интеграла.

40)  Формула Грина.

41)  Криволинейные интегралы, зависящие от начала и пути интегрирования.

42)  Признак полного дифференциала.

43)  Восстановление функции по её полному дифференциалу.

Министерство культуры Российской Федерации

Алтайский филиал федерального государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КУЛЬТУРЫ И ИСКУССТВ»

Кафедра прикладной информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины:

Математика

Специальность:080801.65 – «Прикладная информатика (в менеджменте)»

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ К ЭКЗАМЕНУ

Барнаул 2010

1 курс, 2 семестр

1.  Вычислить предел

2.  Вычислить предел

3.  Вычислить предел

4.  Вычислить предел

5.  Вычислить предел

6.  Вычислить предел

7.  Вычислить предел

8.  Вычислить предел

9. 

10.  Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер точек разрыва и постройте схематический график функции f(x) =

11.  Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер точек разрыва и постройте схематический график функции f(x) =

12.  Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер точек разрыва и постройте схематический график функции f(x)=

13.  Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер точек разрыва и постройте схематический график функции f(x)=arctg

14.  Если возможно, доопределите функцию f(x) = в точке так, чтобы функция стала непрерывной в этой точке.

15.  Определите промежутки монотонности функции .

16.  Найдите экстремумы функции .

17.  Найдите асимптоты кривой .

18.  Найдите производную следующей функции

19.  Найдите производную следующей функции .

20.  Найдите производную следующей функции

21.  Найдите асимптоты кривой .

2 курс, 4 семестр

1.  Вычислить неопределенный интеграл

2.  Вычислить неопределенный интеграл

3.  Вычислить неопределенный интеграл

4.  Вычислить неопределенный интеграл

5.  Вычислить неопределенный интеграл

6.  Вычислить неопределенный интеграл

7.  Вычислите, исходя из определения, интеграл

8.  Вычислите , где а>0.

9.  Вычислите

10.  Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями

11.  Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями

12.  Вычислите

13.  Найдите площадь фигуры, ограниченной полукубической параболой и прямыми .

14.  Исследовать на сходимость

15.  Исследовать на сходимость

16.  Исследовать на сходимость .

17.  Оценить интеграл , где (Д)- круг

18.  Изменить порядок интегрирования

19.  Изменить порядок интегрирования

20.  Вычислите где (Д) ограничена прямыми у=0, у=х, х+у=

21.  Вычислите где (Д) ограничена прямой у=х-4 и параболой

22.  Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования где область (Р) – круг

23.  Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования где область (S) – прямоугольник, ограниченный прямыми

24.  Вычислите где (ОА)- дуга параболы между точками О(0, 0) и А(1, 2).

25.  Проверить, что есть дифференциал функции F(х, у) и найти ее.

26.  Проверить, что есть дифференциал функции F(х, у) и найти ее.

Министерство культуры Российской Федерации

Алтайский филиал федерального государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

«Московский государственный университет культуры и искусств»

Кафедра прикладной информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины:

Математика

Специальность:080801.65 – «Прикладная информатика (в менеджменте)»

Тематическая структура аттестационных педагогических измерительных материалов (АПИМ)

N ДЕ	Наименование дидактической единицы ГОС	N за- да- ния	Тема задания
1	Линейная алгебра	1	Вычисление определителей
2	Линейные операции над матрицами
3	Обратная матрица
4	Системы линейных уравнений: методы решения
2	Абстрактная алгебра	5	Основные алгебраические структуры
6	Бинарные алгебраические операции
7	Векторные пространства
8	Алгебра многочленов
3	Аналитическая геометрия	9	Основные задачи аналитической геометрии на плоскости
10	Кривые второго порядка
11	Полярная система координат
12	Прямая и плоскость в пространстве
4	Математический анализ	13	Предел функции
14	Производные первого порядка
15	Приложения дифференциального исчисления ФОП
16	Дифференциальное исчисление ФНП
17	Основные методы интегрирования
18	Приложения определенного интеграла
5	Векторный анализ	19	Линейные операции над векторами
20	Скалярное произведение векторов
21	Коллинеарность и перпендикулярность векторов
22	Элементы векторного поля
6	Ряды	23	Числовые последовательности
24	Сходимость числовых рядов
25	Область сходимости степенного ряда
26	Ряды Тейлора (Маклорена)
7	Дифференциальные уравнения	27	Типы дифференциальных уравнений
28	Дифференциальные уравнения первого порядка
29	Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка
30	Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка
8	Дискретная математика	31	Элементы алгебры логики высказываний
32	Элементы теории множеств
33	Элементы комбинаторики
34	Основные понятия теории графов
9	Численные методы	35	Численные методы решения алгебраических уравнений
36	Численные методы анализа
37	Численные методы решения дифференциальных уравнений
38	Интерполирование функций: интерполяционный многочлен Лагранжа

Министерство культуры Российской Федерации