Теоретическая механика. Часть 6. Кинетостатика и аналитическая механика (стр. 2 )

;

, (2)

где М — масса сечения П (см. рис. 20).

Найдем главный момент:

, так как проходит через ось O.

, (3)

где — момент инерции сечения относительно оси О.

Вывод. При вращении плоской фигуры вокруг неподвижной оси О силы инерции всех точек ее приводятся к главному вектору и к главному моменту сил инерции (рис. 21). Главный вектор сил инерции равен произведению массы фигуры на ускорение центра тяжести, направлен в сторону, противоположную ускорению центра тяжести, и приложен в центре приведения. Так как привели силы инерции к центру О, то приложим в центре О. Главный момент сил инерции равен произведению момента сил инерции фигуры относительно центра приведения на угловое ускорение фигуры. Знак минус говорит о том, что полученная пара с моментом имеет вращение, противоположное угловому ускорению фигуры.

Частные случаи

1. Приведение сил инерции к одной силе

а) Пусть , а , тогда , и , так как

. (4)

Силы инерции всех точек фигуры приводятся к одной равнодействующей , приложенной в точке О (рис. 22).

б) Пусть ; . Тогда силы инерции приводятся к силе и паре, лежащим в одной плоскости. Из курса статики известно, что такую систему можно еще упростить, заменив одной силой , которая явится в этом случае равнодействующей сил инерции. Она по величине и направлению равна главному вектору сил инерции , но приложена не в центре приведения, а в некоторой точке, отстоящей от центра приведения на расстоянии (рис. 23). Покажем, что линия действия проходит через центр качания К. Разложим на составляющие по осям и : , и воспользуемся теоремой Вариньона: ,

но ; .

Тогда , (5)

с другой стороны (из статики)

(6)

Приравнивая правые части равенств, получаем , откуда

. (7)

Формула (7) определяет приведенную длину физического маятника, а точка К — центр качания физического маятника. Следовательно, линия действия равнодействующей сил инерции проходит через центр качания.

Вывод. Силы инерции всех точек вращающейся фигуры можно заменить одной равнодействующей, приложенной в центре качания физического маятника, если ; .

2. Приведение сил инерции к паре

Силы инерции приведутся к паре с моментом , если ; . Но и для того, чтобы , нужно, чтобы , это возможно только в том случае, когда точка С лежит на оси вращения, , если .

Вывод. Если центр тяжести лежит на оси и вращение неравномерное, то силы инерции всех точек вращающейся фигуры приведется только к паре сил с моментом (рис. 24).

3.  Уравновешивание сил инерции

Если и , то система сил находится в равновесии. Но , чтобы он равнялся нулю, центр тяжести должен лежать на оси вращения, а чтобы , необходимо, чтобы , т. е. .

Вывод. Уравновешивание сил инерций точек плоской фигуры, вращающейся около неподвижной оси, наблюдается в том случае, когда центр тяжести фигуры лежит на оси вращения и вращение фигуры равномерное (рис. 25).

4.  Приведение сил инерции к центру тяжести

Из курса статики известно, что за центр приведения можно брать любую точку в плоскости действия сил. Возьмем за центр приведения не точку О, а точку С. От этого величина и направление главного вектора не изменится. Он по-прежнему равен , но приложен он уже в новом центре приведения — в точке С. Главный же момент меняется с изменением центра приведения: .

Вывод. Силы инерции точек вращающейся фигуры можно привести к центру тяжести С. При этом в общем случае получаем силу , приложенную в точке С и пару с моментом, равным произведению момента инерции фигуры относительно центра тяжести на угловое ускорение фигуры (рис. 26).

Плоскопараллельное движение твердого тела

Пусть твердое тело, имеющее плоскость материальной симметрии I, движется так, что все точки его перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости симметрии I.

Пусть в сечении этого тела плоскостью I получим некоторую плоскую фигуру S. Так как последняя находится в плоскости симметрии тела, то равнодействующая сил инерции всех точек данного тела, лежащих на перпендикуляре к плоскости I, проведенном через некоторую точку фигуры, приложена в этой же точке (рис. 27). Таким образом, силы инерции всех точек тела можно заменить силами инерций всех точек фигуры S, имеющей массу данного тела М и момент инерции , равный моменту инерции тела относительно оси .

Рассмотрим движение такой фигуры (рис. 28). Плоская фигура S в своей плоскости I совершает сложное движение, которое в любой момент времени можно разложить на два простейших: поступательное и вращательное. В каждый момент времени фигура движется поступательно вместе с некоторой точкой, называемой полюсом, и одновременно вращается вокруг этого полюса. Возьмем за полюс центр тяжести этой фигуры С. Тогда движение фигуры вместе с полюсом С поступательно, и силы инерции в этом движении приведутся к силе , где М — масса всего тела; — ускорение полюса С.

Кроме того, фигура вращается вокруг оси, проходящей через полюс, т. е. через центр тяжести С. А в этом случае силы инерции приводятся только к паре с моментом , где — момент инерции фигуры относительно оси , равный моменту инерции всего тела относительно той же оси .

Вывод. При движении плоской фигуры силы инерции точек ее приводятся к силе, равной главному вектору , приложенной в центре тяжести и паре, момент которой равен главному моменту

Примечание. Главный вектор и главный момент сил инерции при решении задач следует определять по приведенным формулам в соответствии с видом движения твердого тела. Если с их помощью нельзя вычислить главный вектор и главный момент сил инерции, то в случае непрерывного распределения масс нужно разбить тело на отдельные элементы, вычислить силы инерции отдельного элемента и затем распространить суммирование по всему телу.

Пример. Определить главный вектор и главный момент сил инерции колеса весом и радиусом , катящегося без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости и имеющего ускорение центра . Колесо считать однородным диском (рис. 29).

Колесо совершает плоскопараллельное движение, и силы инерции всех точек его приведутся к силе и паре с моментом .

По модулю , а . ; где .

— мгновенный центр скоростей колеса.

Таким образом

Контрольные вопросы и задания к теме 2

№13

Тело движется поступательно. Если к каждой точке его приложить ее силу инерции, то силы инерции всех точек тела представляют произвольную систему сил, которую можно упростить, заменив

1)  парой сил с моментом ;

2)  силой и парой с моментом ;

3)  силой .

№14

Диск неравномерно вращается вокруг оси О (рис. 30–33). К чему сводятся силы инерции его точек?

№15

Плоская фигура вращается вокруг точки О с угловой скоростью , ускорением . К чему приводятся силы инерции ее точек?

На каком из рис. 34–37 неверно изображено приведение сил инерции?

№16

Плоская фигура вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью , С — центр масс. К чему приводятся силы инерции точек этой фигуры?

На каком из рис. 38–41 верно изображен результат приведения сил инерции?

№17

Фигура вращается вокруг оси , перпендикулярной плоскости фигуры и проходящей через центр ее С с угловой скоростью , ускорением . Силы инерции всех точек этой фигуры можно заменить в данном случае

1)  одной парой с моментом ;

2)  одной силой ;

3)  силой и парой с моментом

№18

Плоская фигура S перемещается в своей плоскости. Силы инерции всех точек такой фигуры приводятся в общем случае

1)  к одной силе ;

2)  к одной паре с моментом ;

3)  к силе и к пере с моментом (С — центр тяжести фигуры S).

№19

Плоская фигура вращается вокруг точки О. Условия уравновешивания сил инерции точек фигуры на котором из рис. 42–44 можно наблюдать?

№20

Определить главный вектор и главный момент сил инерции колеса 2 весом и радиусом . Кривошип вращается с угловой скоростью , ускорением . Колесо 2 считать сплошным однородным диском (рис. 45).

1. .

2. .

3.

4. ; .

№21

Линейка эллипсографа приводится в движение кривошипом , вращающимся с угловой скоростью .

Определить главный вектор и главный момент сил инерции линейки веса и длины , считая ее однородным прямолинейным стержнем (рис. 46).

1. .

2. .

3. .

4. .

№22

Кривошип вращается равномерно вокруг оси О с угловой скоростью . Колесо 1 неподвижно . К чему приводятся силы инерции колеса 3 весом (рис. 47)?

1.

2. .

3.

4. .

Тема 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ В ТОЧКАХ

ЗАКРЕПЛЕНИЯ ОСИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА

Рассмотрим тело произвольной формы, совершающее вращательное движение около неподвижной оси под действием системы внешних сил (рис. 48). Пусть тело вращается с постоянной угловой скоростью . Кроме внешних сил , на него действуют реакции опор Д и В, в которых закреплена ось вращения — ; .

Реакции и , возникающие при вращении тела, называются динамическими. Найдем их, пусть , . Разобьем тело на отдельных материальных точек и найдем силу инерции некоторой точки . Так как вращение тела равномерное, то ; где .

Приложив к каждой точке тела ее силу инерции, получим систему произвольно расположенных сил. Приведем эту систему к одному центру О, взятому на оси вращения. В результате приведения получим главный вектор и главный момент сил инерции.

Обозначим проекции главного вектора на оси координат, связанные с телом, имеющие начало в точке О через , , , а проекции главного момента на эти же оси – через , , . Найдем эти проекции. Обозначим угол с осью через . Изобразим траекторию точки в плоскости, параллельной плоскости Oxy (рис. 49). Так как , то по теореме о проекции суммы векторов на ось имеем

; (1)

; (2)

, (3)

где ; (см. рис. 49).

, так как силы инерции всех точек тела расположены в плоскостях, перпендикулярных оси Oz. и — координаты центра тяжести данного тела.

Далее найдем , , , используя формулы аналитического выражения момента силы относительно осей координат:

; ; .

Напомним, что в этих формулах, известных из курса “Статика”, — координаты точки приложения силы, а — проекции силы на оси координат. Найдем эти величины для , координаты которой:

; ; ; .

Имеем проекции на оси: ;;.

Тогда, подставив все найденные величины, получим

, так как все силы пересекают ось Oz.

Теперь найдем проекции главного момента на оси координат:

(4)

(5)

; (6)

где — центробежные моменты инерции тела.

Согласно следствиям из принципа Даламбера внешние силы и реакции опор Д и В можно мысленно уравновесить силами инерции всех точек данного тела, которые привели к силе и паре с моментом . Данное тело можно считать (мысленно) находящимся в равновесии и, следовательно, систему внешних сил, реакций опор и сил инерции — уравновешенной пространственной системой сил, для которой имеем право составить 6 уравнений динамического или фиктивного равновесия.

Составим эти уравнения:

(7)

Подставим значения , , , . Уравнения динамического равновесия примут вид

(8)

5

Отсюда видно, что реакции опор Д и В зависят не только от внешних сил, но и от . При быстром вращении тела силы инерции, которые выражаются через , значительно увеличивают реакции опор, а следовательно, и давления на опоры. Поэтому очень важно установить условия, при которых реакции опор не будут зависеть от сил инерции.

Итак, реакции, возникающие при вращении тела, называют динамическими в отличие от статических, которые возникли бы, если бы тело оставалось под действием заданных внешних сил в покое.

Статические реакции , , , , , как известно из курса статики, определяются из уравнений