Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Филиал в г. Златоусте

Кафедра технической механики

531(07)

К142

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Часть 6

КИНЕТОСТАТИКА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Учебное пособие для самостоятельного изучения студентами

Челябинск

Издательство ЮУрГУ

2002

УДК 531(075)

Казанцева механика: В 6 частях. Часть 6. Кинетостатика и аналитическая механика: Учебное пособие для самостоятельного изучения студентами. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2002. — 83 с.

Учебное пособие предназачено для самостоятельного изучения разделов теоретической механики «Кинетостатика», «Аналитическая механика». Пособие состоит из теоретической и практической частей. В разделе «Ответы и решения» даны примеры решения задач и анализ типичных ошибок, допускаемых студентами при их решении.

Пособие предназначено для студентов всех технических специальностей.

Ил. 166, список лит. — 4 назв.

Одобрено учебно-методической комиссией филиала ЮУрГУ в г. Златоусте.

Рецензенты: ,

ВВЕДЕНИЕ

Программированное обучение базируется на достижениях кибернетики как науки об общих закономерностях процессов передачи информации и управления ею.

Программированное обучение представляет собой совокупность методов и средств оптимизации массового обучения на основе последовательного осуществления принципа программированного управления. Главная задача высшей школы — повышения качества обучения, поэтому кафедра технической механики ЗФ ЮУРГУ рассматривает программированное обучение, прежде всего как систему управляемой самостоятельной работы студентов.

Основные требования к такой системе

1. Увеличение числа часов на самостоятельную работу студентов во время, регламентированное расписанием.

2. Обеспечение всех студентов учебниками и учебно-методическими пособиями.

3. Самостоятельная работа в аудитории должна проходить под контролем преподавателя.

4. Самостоятельная работа как аудиторная, так и домашняя должна сопровождаться самоконтролем студентов в процессе обучения и достаточно частым и эффективным контролем преподавателя по отдельным этапам изучаемого курса.

5. Должна быть представлена возможность изучения курса в темпе, определяемом индивидуальными способностями каждого студента.

6. Система должна обеспечить логическую связь между всеми формами учебного процесса: лекции, практические занятия, самостоятельная работа дома и в аудитории.

КИНЕТОСТАТИКА

Раздел «Кинетостатика» рассчитан на 6 ч самостоятельной работы студентов. После его изучения студент должен

знать: а) понятие силы инерции точки;

б) формулировку принципа Даламбера для точки и системы точек;

в) сущность метода кинетостатики;

г) приведение сил инерции к простейшему виду;

д) определение динамических реакций;

е) уравновешивание сил инерции на практике,

уметь: а) определять величину и направление силы инерции точки;

б) составлять величину и направление главного вектора и главного момента сил инерции;

в) определять динамические реакции,

помнить: а) формулы для вычисления силы инерции точки;

б) формулы для вычисления главного вектора и главного момента сил инерции;

в) как пишется принцип Даламбера в векторной и скалярной формах (уравнение фиктивного равновесия);

г) к какому простейшему виду приводятся силы инерции точек тела при поступательном, вращательном и плоскопараллельном движениях тела;

д) порядок решения задач методом кинетостатики.

Тема 1. СИЛЫ ИНЕРЦИИ

Понятие силы инерции в прямолинейном и криволинейном движении

Пусть материальная точка М массой m движется с ускорением . Это значит, что не нее действуют другие какие-то тела с силой . По закону равенства действия и противодействия точка М действует на каждое тело с равными и противоположно направленными силами. Сумма этих сил называется силой инерции материальной точки . Реакция движущейся с ускорением материальной точки называется силой инерции этой точки. По определению

. (1)

Из формулы (1) следует, что сила инерции материальной точки:

1) равна произведению массы точки на ускорение;

2) направлена в сторону, противоположную ускорению;

3) приложена не к точке, а к тем телам, которые сообщили точке данное ускорение, поэтому ее называют фиктивной силой.

Пример. Представим себе рабочего, который катит перед собой вагонетку по горизонтальным рельсам, сообщая ей ускорение . Чтобы сообщить вагонетке это ускорение, рабочий должен толкать ее с силой . По 3-му закону динамики вагонетка действует на руки рабочего с силой , которая является силой инерции вагонетки. При равнопеременном движении вагонетки ( = 0; = 0) рабочий не испытывает противодействия вагонетки.

Если точка М движется по кривой, то ускорение ее раскладывается на два ускорения: (рис. 2). Сила инерции точки тоже раскладывается на и ; , где — касательная сила инерции; — нормальная сила инерции; так как ; ;

; ; ; (2)

. (3)

Формулы (2) определяют проекции силы инерции на естественные оси. Определим проекции силы инерции на неподвижные декартовы оси координат (рис. 3). Обозначим их через , , ; ; .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Пусть ; .

Тогда (4)

. (5)

Принцип Даламбера для точки

Сформулирован Даламбером в 1743 г. Принцип лежит в основе метода кинетостатики, позволяющего задачи динамики формально сводить к задачам статики.

Рассмотрим движение несвободной материальной точки М (рис. 4). Уравнение ее движения , где — активная сила; — реакция связи. Перенесем в одну часть с силами и , получим . Но , тогда

. (6)

Равенство (6) выражает принцип Даламбера в векторной форме: в любой момент времени действующие на точку активную силу и реакцию связи можно мысленно уравновесить силой инерции этой точки.

Итак, если приложить силу инерции к самой точке, то последнюю можно считать условно (мысленно, на самом деле она движется с ускорением ) находящейся в равновесии. Действительно, уравнение движения имеет вид уравнения равновесия (6), но равновесие это фиктивное, условное или динамическое. Если спроектировать равенство (6) на оси Oxyz, то получим принцип Даламбера в скалярной форме или уравнения динамического равновесия точки:

(7)

Примечание. Приложив мысленно силу инерции к точке, мы не свели задачу динамики к задаче статики. Точка по-прежнему движется с ускорением . Этот метод динамики позволил только записать уравнение движения точки в виде уравнения равновесия.

Пример. Тяжелая материальная точка М подвешена к неподвижной точке О с помощью невесомого прямолинейного стержня.

Определить реакцию стержня, если вся система вращается вокруг оси О с угловой скоростью . Длина ОМ равна l, вес точки P, . Точка в покое (рис. 5), в движении (рис. 6). ; .

Но или .

Так как ,

то .

Итак: 1) в покое ;

2) в движении ; ; .

За счет действия силы инерции реакция связи увеличилась. Силы инерции достигают большой величины (так как пропорциональна ) и могут принести значительный вред. Они увеличивают реакции связей, а значит давление на опоры. При больших скоростях силы инерции достигают громадной величины и не учитывать их нельзя. Таким образом, силы инерции (формальные для точки) реально существуют в природе, и приложены они в действительности к связям.

Принцип Даламбера для системы

В применении к отдельной материальной точке принцип Даламбера запишется: геометрически , аналитически

(8)

При рассмотрении движения отдельной материальной точки принцип Даламбера не имеет существенных преимуществ перед обычными дифференциальными уравнениями, которые обнаруживаются при изучении движения системы материальных точек.

Пусть имеем движущуюся систему материальных точек. На каждую точку системы действует внутренняя сила и внешняя . Запишем для точки принцип Даламбера (геометрически) , представив равнодействующую силу, приложенную к , разложенной не на активную и реакцию связи, а на внутреннюю и внешнюю силы. Но j = 1, 2, … n получим систему n уравнений фиктивного или динамического равновесия системы:

(9)

Эти уравнения и выражают принцип Даламбера для системы: в любой момент времени действующие на систему внешние и внутренние силы можно мысленно уравновесить силами инерций точек системы.

Но уравнения системы (9), хотя и выражают необходимые и достаточные условия равновесия системы, лишь в очень редких случаях приводят к окончательному решению задачи, так как в них входят внутренние силы, которые обычно неизвестны. Постараемся исключить внутренние силы. Сложим все внешние, внутренние силы и силы инерции всех точек системы: . Умножив на радиус-вектор , получим .

Но по свойству внутренних сил и ,

тогда ; (10)

. (11)

Равенства (10) и (11) являются следствиями принципа Даламбера для системы. Они уже не содержат внутренних сил. Спроектируем равенства (10) и (11) на неподвижные оси. Получим 6 уравнений:

(12)

Система (12) представляет уравнения фиктивного или динамического равновесия системы.

Если все силы лежат в одной плоскости, то имеем 3 уравнения динамического равновесия:

;

. (6)

Пример. Однородный стержень весом прикреплен шарниром А к вертикальному валу, вращающемуся с угловой скоростью . Найти натяжение Т нити ВД (рис. 7).

Решение. Рассмотрим движение стержня ОВ. На него действуют внешние силы: вес P, реакция шарнира , реакция нити ВД . Все эти силы можно мысленно уравновесить силами инерций всех точек стержня. Разобьем стержень на отдельные точки. Сила инерции точки

; ,

где lj = OAj.

Чтобы отыскать неизвестную реакцию , составим сумму моментов всех сил внешних и сил инерций относительно точки O:

тогда

Контрольные вопросы и задания к теме 1

№1

К чему приложена сила инерции материальной точки в общем случае, если точка находится под воздействием одного тела?

1. К самой точке.

2. К связи, наложенной на точку.

3. К тому телу, которое сообщило точке данное ускорение.

№2

Как направлена сила инерции материальной точки?

1. В сторону ускорения точки.

2. В сторону движения точки.

3. В сторону, противоположную движению точки.

4. В сторону, противоположную ускорению точки.

№3

Как направлена сила инерции материальной точки при равномерном движении точки по окружности (рис. 8–10)? На котором рисунке сила инерции направлена верно?

№4

Точка движется по криволинейной траектории с ускорением

(рис. 11–13). Как направлена ее сила инерции в общем случае?

№5

Чему равна сила инерции материальной точки?

1. .

2. .

3. ; где .

4. .

Выберете неверный ответ.

№6

При каком из указанных движений нормальная сила инерции равна нулю ?

1. Прямолинейном с .

2. Криволинейном с .

3. Криволинейном с .

№7

Вес лифта с пассажиром 8 000 Н. С каким ускорением движется лифт. Если при этом натяжение троса, поддерживающего лифт, равно 12 000 Н?

1. м/с2.

2. м/с2.

3. м/с2.

№8

Стальная проволока ОА равномерно вращается вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к плоскости чертежа в точке О, несет на конце А груз 20 Н (рис. 14).

При какой скорости вращения произойдет разрушение проволоки, если она может выдержать силу 2 200 Н? Длина проволоки см.

1. с–1.

2. с–1.

3. .

№9

Самолет с реактивным двигателем летит со скоростью 900 км/ч. Считая, что человек может переносить пятикратное увеличение веса, найти, какой наименьший радиус кривизны можно допустить при вираже в вертикальной плоскости, если вес летчика P ( м/с2).

1. r = 1 041,6 м.

2. r = 6,25 м.

3. r = 1 562,5м.

№10

Стальная проволока выдерживает натяжение до 450 Н. С каким наибольшим ускорением можно поднимать груз в 400 Н, подвешенный на этой проволоке, чтобы она не разорвалась?

1. м/с2.

2. м/с2.

3. м/с2.

4. Нет верного ответа.

№11

Материальная точка А весом удерживается в вертикальной плоскости двумя нитями ОА и АВ (рис. 15). Определить натяжение нити ОА до обрезания горизонтальной нити АВ, а также в момент, когда эта нить только что обрезана. Нить ОА считать нерастяжимой.

1. ;

2. ;

3. .

4. .

№12

Определить усилие в стержне ВС поршня, когда кривошип ОА находится в горизонтальном “правом” положении, вес поршня , сила давления газов на поршень , , , (рис. 16).

1. .

2. .

3. .

Тема 2. ПРИВЕДЕНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ

Силы инерции — силы, распределенные по всему телу, а не сосредоточенные в одной или нескольких точках. Выясним, к какому простейшему виду можно привести силы инерции при поступательном, вращательном и плоскопараллельном движении твердого тела.

Поступательное движение твердого тела

Пусть имеем твердое тело, совершающее поступательное движение (рис. 17). Все точки такого тела движутся по одинаковым траекториям и имеют одинаковые скорости и ускорения. Это общее ускорение точек обозначим — ускорение центра масс тела. Разобьем тело на отдельные материальные точки и к каждой из них приложим ее силу инерции. Силы обозначим через , массы точек через . Силы инерции соответственно равны: , , и представляют собой систему параллельных сил, которая приводится к одной равнодействующей:

. (1)

Приложена равнодействующая параллельных сил в центре параллельных сил, который совпадает с центром тяжести или центром масс С.

Вывод. При поступательном движении твердого тела силы инерции всех точек его приводятся к одной равнодействующей, равной произведению массы тела на ускорения центра масс, направленной в сторону, противоположную ускорению центра масс, и приложенной в центре масс.

Пример. Определить равнодействующую сил инерции стержня ВД четырехзвенного механизма (рис. 18). Кривошип вращается с постоянной угловой скоростью , длина . Звено совершает поступательное движение. Силы инерции всех точек приводятся к одной равнодействующей: ; , где M — масса звена .

Вращательное движение твердого тела

Пусть твердое тело, имеющее плоскость материальной симметрии П, вращается вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к этой плоскости. Каждой точке тела соответствует точка такой же массы, симметричная относительно плоскости П (рис. 19).

Из кинематики известно, что , потому и силы инерции . Равнодействующая этих сил приложена в точке плоскости П. Рассуждая аналогично, придем к выводу, что в точке приложена равнодействующая всех точек тела, лежащих на перпендикуляре к плоскости П, проведенном в теле через точку.

Таким образом, силы инерции всех точек данного тела можно заменить силами инерций точек материальной плоской фигуры П, имеющей массу данного тела и тот же момент инерции относительно оси вращения. Поэтому дальше рассмотрим приведение к простейшему виду только сил инерций точек сечения П или плоской фигуры П.

Рассмотрим вращение плоской фигуры П, являющейся сечением тела плоскостью симметрии, перпендикулярной оси вращения О, непроходящей через центр тяжести тела С (рис. 20). Пусть вращение происходит вокруг оси О с угловой скоростью и угловым ускорением . Разобьем фигуру на отдельные материальные точки . К каждой точке приложим ее силу инерции. Так как фигура вращается неравномерно, то ;

; .

Выберем систему координат с началом в точке О. Ось х проведем через центр тяжести С. Тогда ; . Координаты точки обозначим через ; , радиус вращения точки , угол, который составляет с осью , обозначим через . Тогда ; . Силы инерции:

; .

Приложив силы инерции к каждой из точек системы, получим плоскую систему сил. Чтобы упростить, приведем ее к одному центру. За центр приведения выберем точку О — центр вращения. После приведения всех сил инерции к центру О получим силу, называемую главным вектором сил инерции, равную геометрической сумме данных сил инерции, т. е.