Теоретическая механика. Часть 6. Кинетостатика и аналитическая механика (стр. 3 )

(9)

Получили уравнения статического равновесия (9).

Сравнивая их и уравнения динамического равновесия (8), замечаем, что динамические реакции включают в себя статические, но, кроме того, содержат еще дополнительные слагаемые, называемые дополнительными динамическими реакциями: , , , , , которые возникают только вследствие вращения тела.

Поэтому, представив динамические реакции в виде

; ; ;

; ,

получим из уравнений (8) следующие уравнения для определения дополнительных динамических реакций:

(10)

Из уравнений (10) видно, что не зависит от сил инерции, т. е. .

Выясним условия, при которых вращение не вызывает дополнительных динамических реакций, т. е. условия, при которых динамические реакции делаются равными статическим при действии тех же внешних сил. Из уравнений (10) видно, что при

, если ; ;

, если ; .

При этом условии динамические реакции равны статическим. Таким образом, чтобы силы инерции не вызывали дополнительных давлений на опоры, необходимо и достаточно, чтобы , т. е. ось вращения ДВ должна совпадать с одной из главных центральных осей инерции тела.

Вывод. Если ось вращения является одной из главных центральных осей инерции тела, то реакции в закрепленных точках оси при вращении тела равны реакциям, возникающим в этих точках при равновесии тела под действием тех же сил. В этом случае говорят, что силы инерции точек тела уравновешены или вращающееся тело динамически уравновешено. Вывод справедлив и для неравномерного вращения.

Задача динамического уравновешивания вращающихся тел играет очень большую роль в машиностроении, так как угловые скорости современных машин достигают очень больших значений. Небольшие отклонения в установке оси вращения вызывают при больших угловых скоростях резкое увеличение динамических реакций, что может привести к разрушению опор. Эти вредные явления исчезают в том случае, когда вращающееся тело динамически уравновешено.

Выполнение уравновешивания на практике

Приблизительное уравновешивание (точного добиться сложно на практике) вращающихся частей машин на практике достигается тем, что им придают форму тел вращения, т. е. стремятся к тому, чтобы они вращались вогруг оси симметрии, являющейся главной центральной осью инерции тела. Однако на практике ось вращения не точно совпадает с главной центральной осью инерции, остаются неуравновешенные силы инерции.

Динамическое уравновешивание тела (сил инерции) сводится к определению главных осей инерции тела, относительно которых . Эти величины — центробежные моменты инерции характеризуют степень динамической неуравновешенности масс тела при его вращении около неподвижной оси Oz.

Докажем, что любую ось, проведенную в теле, можно сделать главной центральной осью инерции, прибавив к нему две точечных массы и .

Пусть для тела массы М не равны нулю. Прибавим к телу две массы и в таких точках с координатами () и (), чтобы выполнялись условия:

(11)

где .

Для получения тела массой будет , т. е. данная ось — главная центральная ось инерции. Массы и следует подбирать так, чтобы они удовлетворяли уравнениям (11). При этом необходимо задать, а найти из уравнений (11).

Порядок решения задач принципом Даламбера

1.  Выбрать объект, движение которого рассматриваем.

2.  Выбрать систему координат.

3.  Изобразить силы, приложенные к объекту.

4.  Добавить к активным силам и реакциям связей фиктивные силы инерции точек объекта.

5.  Составить уравнения динамического равновесия системы.

6.  Решить уравнения равновесия относительно неизвестных.

Пример. Ось вращения диска, перпендикулярная его плоскости, смещена от центра масс на расстояние (рис. 50). Определить динамические реакции опор А и В. Вес диска ; ; . Расставим силы, действующие на диск и ось. Это вес диска и реакции опор . . Силы инерции всех точек диска приводятся к одной равнодействующей:

.

Изобразим оси , неизменно связанные с диском.

Составим уравнения динамического равновесия и найдем из них неизвестные динамические реакции:

Откуда .

;

Контрольные вопросы и задания к теме 3

№23

Что такое дополнительные динамические реакции?

1.  Реакции, возникающие при движении системы.

2.  Реакции, возникающие при равновесии системы.

3.  Реакции, возникающие при движении системы только от действия сил инерции.

№24

Какое условие должно выполняться, чтобы не появилось дополнительных динамических реакций?

1.  Вращение должно быть равномерным.

2.  Центр тяжести должен лежать на оси вращения.

3.  Центр тяжести должен лежать на оси вращения, и вращение должно быть равномерным.

4.  Ось вращения должна быть главной центральной осью инерции.

№25

Ведущее звено шарнирного четырехзвенника вращается вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью , ускорением (рис. 51). Определить добавочные давления на шарниры А и В от сил инерции звена АВ веса , если , . Звено АВ считать тонким однородным стержнем.

1. .

2. .

№26

Однородный стержень массы М и длины вращается в горизонтальной плоскости вокруг своего конца с угловой скоростью и угловым ускорением под действием момента М. Определить дополнительные динамические реакции в оси О (рис. 52).

1. ; .

2. ; .

3. ; .

4. ; .

№27

К горизонтальному стержню, вращающемуся с угловой скоростью20 c–1, прикреплены два стержня, несущие на концах грузы P = 100 H и расположенные в одной плоскости на равных расстояниях от опор. Определить давление на опоры А и В, когда грузы будут расположены в вертикальной плоскости, если l = 3 м, см, м, м/с2 (рис. 53).

1. Н; Н.

2. Н; Н.

3. Н; Н.

№28

Стержни АВ и СД вращаются в подшипниках А и В с угловой скоростью с–1. Определить давления на подшипники А и В, если СД = 60 см, вес стержня СД 15 Н (рис. 54).

1. Н; Н.

2. Н; Н.

3. Н; Н.

4 Н; Н.

№29

Тонкий однородный стержень длиной l и весом удерживается в горизонтальном положении (рис. 55). Определить мгновенную реакцию в точке А, как только нить ВС будет обрезана.

1. .

2. .

3. .

№30

К вертикальному валу прикреплен тонкий стержень AB = l весом кН под углом к валу (рис. 56). Система находится в покое. Определить мгновенные значения составляющих реакций в шарнире А непосредственно после обрезания нити ВД.

1. кН; .

2. ; кН.

3. кН; кН.

4. кН; кН.

№31

Тонкий однородный стержень AB = l удерживается в вертикальной плоскости (рис. 57). Определить полную реакцию в шарнире А до обрыва нити, а также в момент непосредственно после обрыва нити, если вес АВ равен и .

1. Р; Р.

2. Р; .

3. ; Р.

4. Р; Р.

ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Раздел «Основы аналитической механики» рассчитан на 6 ч самостоятельной работы студентов. После его изучения студент должен

знать: а) метод аналитической статики;

б) степени свободы системы;

в) определение возможных перемещений, возможной работы и принципа возможных перемещений;

г) определение идеальных связей;

д) как получается общее уравнение динамики;

е) определение обобщенных координат, обобщенных сил;

ж) уравнения движения и уравнения равновесия в обобщенных координатах.

уметь: а) определять число степеней свободы системы;

б) определять возможные перемещения системы и находить зависимости между ними;

в) выбирать обобщенные координаты;

г) составлять уравнения работ, общее уравнение динамики, уравнения Лагранжа второго рода;

д) определять обобщенные силы.

помнить: а) вид уравнений равновесия и уравнений движения в обобщенных координатах;

б) вид общего уравнения динамики и уравнения работ;

в) порядок решения задач методом аналитической механики.

Тема 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА

Основы аналитической механики были заложены Ж. Лагранжем в 1788 г. Аналитическая механика — раздел теоретической механики, позволявший установить единые методы изучения движения и равновесия всех материальных систем. Методы аналитической механики позволяют средствами математического анализа полностью решить задачу о равновесии или о движении любой механической системы. В основе аналитической механики лежат принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики.

Рассмотрим некоторые основные понятия и положения аналитической механики.

Связи

Связями для данной материальной точки или системы точек называются ограничения геометрического или кинематического характера, не зависящие от приложенных активных сил и от начальных условий. Как известно из раздела "Статика", всякая связь — это тело, с которым соприкасается данная механическая система. Представим связи схематически в виде геометрических линий, точек, поверхностей, которые можно выразить математическими уравнениями, называемыми уравнениями связей. Последние могут содержать координаты точек системы, скорости этих точек и время, т. е. это уравнения типа

.

Аксиома связей

В аналитической механике, как и в геометрической статике, считают, что действие связей на механическую систему можно заменить силами реакции связей. Приложив к точкам системы реакции связей, можно (мысленно) считать систему свободной.

Классификация связей

1. Стационарные и нестационарные связи

Связи, не изменяющиеся с течением времени, называются стационарными. В уравнения стационарных связей время t явно не входит. Связи, которые меняются с течением времени, называются нестационарными, уравнения таких связей зависят от времени t. Например, пусть точка находится на поверхности эллипсоида, заданного уравнением

(1)

Уравнение связи (1) показывает, что вид связи со временем не изменяется. Следовательно, эллипсоид не деформируется и не перемещается, т. е. связь стационарна. Если же точка находится на поверхности эллипсоида, заданного уравнением

(2)

то выражение (2) — уравнение нестационарной связи. Теперь точка находится на эллипсоиде, изменяющем свою форму, так как одна полуось его изменяет свою длину.

2. Удерживающие и неудерживающие связи

Удерживающими (или двусторонними) называются связи, которые сохраняют свое действие во все время движения точек системы.

Неудерживающими (или односторонними) называются связи, которые могут в некоторые промежутки времени прекращать или возобновлять свое действие. Уравнения удерживающих связей задаются равенствами, а неудерживающих — неравенствами. Примером односторонней связи может служить горизонтальная плоскость (рис. 58), которая препятствует перемещению шарика вертикально вниз, но не мешает его движению вертикально вверх. Примером двусторонней связи может служить совокупность двух горизонтальных плоскостей (рис. 59), которые препятствуют перемещению шарика как вниз, так и вверх по вертикали.

3. Голономные и неголономные связи

Голономными (геометрическими) называются связи, которые накладывают ограничения только на положение точек механической системы. В уравнения голономных связей входят координаты точек системы и не входят производные от этих координат по времени (проекции скоростей точек).

Неголономными (кинематическими) называются связи, которые накладывают ограничения на скорости точек механической системы. В уравнения неголономных связей входят координаты точек системы и производные от этих координат по времени. Уравнения представляют собой неинтегрируемые дифференциальные уравнения.

Примером голономной, удерживающей стационарной связи может служить жесткий стержень ОМ = l, соединяющий материальную точку М с неподвижной точкой О. Стержень ОМ допускает движение точки М только по сферической поверхности, уравнение которой имеет вид х2 + y2 + z2 – l2 = 0 и содержит только координаты точки, нет времени и производных от координат точки. Следовательно, такая связь является голономной, стационарной, так как она сохраняет свое действие во все время движения точки, то является и удерживающей связью.

В дальнейшем будем рассматривать только голономные удерживающие связи.

Степени свободы системы

Пусть на механическую систему, состоящую из n материальных точек с 3n координатами, наложено k голономных (стационарных, удерживающих) связей:

, (3)

где j = 1, 2, …, k.

Для того, чтобы система двигалась, k должно быть меньше 3n. При k = 3n, координаты всех точек системы определяют из уравнений связи (3), они имеют постоянные значения, т. е. система не движется.

Среди 3n координат системы не все будут независимыми. Из k уравнений (3) можно определить k неизвестных, а остальные 3n – k координат можно задавать произвольно, т. е. это независимые координаты системы. Число независимых координат системы обозначим через S, тогда S = 3n – k.

Число независимых координат, однозначно определяющих положение точки (или системы), называется числом степеней свободы точки (или системы) и находится по формуле

. (4)

Здесь k — число геометрических связей, наложенных на систему; n — число точек системы.

Примеры. 1. Свободная материальная точка имеет 3 степени свободы, так как n = 1; k = 0; S = 3.

2. Свободное твердое тело (рис. 60) n = 3; k = 3; S = 9 – 3 = 6. Где связи Положение 3 точек определит положение тела.

3. Вращающееся твердое тело (рис. 61) n = 1; k = 2; S = 3 – 2 = 1. Положение одной точки С определит положение тела. Связи

4. Плоская фигура S (рис. 62) n = 2; k = 3; S = 3 . 2 – 3 = 3. Положение отрезка АВ определит положение фигуры. Связи

Примечание. Большинство механизмов имеет одну степень свободы.

Возможные перемещения системы

Совокупность воображаемых бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный момент наложенными на систему связями, называется возможным перемещением системы. Обозначают его элементарным вектором . Например, возможным является для ползуна В перемещение по горизонтали, а точки А по дуге окружности (рис. 63). Дуга — бесконечно малая, ее можно считать отрезком, перпендикулярным ОА. Возможное перемещение точки В обозначим через , точки А — через .

Из определения возможного перемещения следует, что оно должно удовлетворять 2 условиям:

1) оно должно быть бесконечно малым;

2) оно должно быть таким, чтобы при этом не нарушались связи, наложенные на систему.

Например, перемещение кривошипа ОА в положение OA1 (см. рис. 63) нельзя считать возможным, так как в этом положении условия равновесия механизма под действием сил Р и Q уже другие. Точно также перемещение точки В вдоль шатуна не является возможным. Оно было бы возможным, если в точке В была качающаяся муфта, т. е. когда механизм был бы другим.

Примечание. Заметим, что возможное перемещение точки не есть непременно то действительное перемещение, которое точка (или система) фактически получает под действием приложенных к ней сил.

Возможное перемещение в отличие от действительного обознача­ется и произносится "вариация эр" или "дельта эр". Значок указывает, что перемещение происходит как бы мгновенно, без затра­ты времени. Обозначение , как и , представляет собой дифференциал перемещения, но время в первом случае фиксируется, считается неизменным. Если связь стационарная, то действительное перемещение совпадает с одним из возможных перемещений. Если же связь нестационарная, то действительное перемещение может не совпадать ни с одним из возможных перемещений.

Если действительное перемещение точки есть дифференциал некоторой функции , определяющей закон движения этой точки, то возможное перемещение той же точки будет вариацией функции , так как последней называется элементарное изменение ее значения при неизменном значении аргумента t.

Таким образом, если , то , где — проекции на координатные оси и называются вариациями координат. Варьирование функции выполняется формально по тем же правилам, что и дифференцирование, если счи­тать аргумент t за постоянную.

Независимые возможные перемещения

В общем случае для точек и тел системы существует множество различных возможных перемещений. Для каждой точки (или системы) в зависимости от характера наложенных на нее связей можно указать определенное число таких независимых между собой перемещений, что всякое другое возможное перемещение будет выражаться через эти независимые перемещения. Например, шарик (точка), лежащий на плоскости (рис. 64), можно переместить вдоль плоскости по множеству направлений. Однако, любое из этих перемещений можно получить как сумму двух перемещений и , лежащих в этой плоскости, направленных вдоль взаимно перпендикулярных осей: . У точки (шарика) два независимых возможных перемещения вдоль осей и и число степеней свободы точки на плоскости S = 2 (n = 1; k = 1; S = 3 – 1 = 2).

Вывод. Число независимых возможных перемещений системы равно ее числу степеней свободы.

Еще несколько примеров. Число степеней свободы свободной точки S = 3 и независимых возможных перемещений (вдоль взаимно перпендикулярных осей) три. Число степеней свободы свободного твердого тела S = 6 и независимых возможных перемещений 6 (три поступательных вдоль осей x, y, z и три вращательных вокруг этих осей).

Возможной называется элементарная работа силы на любом возможном перемещении ее точки приложения.

Обозначается возможная работа через (как и элементарная работа)

. (5)

Идеальные связи

Понятие ввел Ампер. Идеальными называются такие связи, сумма возможных работ сил реакций которых на любом возможном перемещении равна нулю:

. (6)

К таким связям относятся связи без трения. Например, идеально гладкая поверхность является идеальной связью. Пусть на такой поверхности находится некоторая материальная точка М (рис. 65). Реакция идеально гладкой поверхности направлена по нормали к поверхности, а все возможные перемещения точки лежат в касательной плоскости. Следовательно, реакция перпендикулярна всякому возможному перемещению точки и работа силы на любом возможном перемещении равна нулю, так как

.

Принцип возможных перемещений

Для равновесия системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма возможных работ всех активных сил на любом возможном перемещении системы равнялась нулю. Покажем, что это условие необходимо и достаточно.

Необходимость. Пусть система находится в равновесии. Докажем, что в этом случае сумма возможных работ активных сил равна нулю: