Теоретическая механика. Часть 6. Кинетостатика и аналитическая механика (стр. 4 )

Система находится в равновесии, поэтому любая точка системы тоже находится в равновесии, следовательно, действующие на нее силы — активная и реактивная уравновешены (рис. 66).

Тогда . Сообщим точке возможное перемещение . Умножим скалярно обе части последнего равенства на — возможное перемещение точки . Получаем . Запишем подобные равенства для каждой из точек системы и просуммируем:

.

Но система с идеальными связями и

Тогда , что и требовалось доказать.

. (7)

Полученное равенство называется уравнением работ, его можно записать в аналитической форме:

. (8)

Достаточность. Для доказательства достаточности условия проведем рассуждение от противного.

Пусть . Предположим, что силы, приложенные к системе, не уравновешиваются. Если в начальный момент система находилась в покое, то под действием неуравновешенной системы активных сил и реакций связей система придет в движение и за малый промежуток времени совершит некоторое действительное перемещение, которое при стационарных связях будет возможным перемещением, так как перемещение системы произойдет из состояния покоя в направлении равнодействующей сил и , совершена положительная работа

.

Но система имеет идеальные связи, а потому , тогда , что противоречит условию. Следовательно, при система находится в равновесии.

Возможные скорости точек системы

Возможные перемещения часто выражают через возможные скорости точек системы, т. е. скорости, которые имели бы точки, если бы это возможное перемещение оказалось действительным. Но так как скорость эта мыслимая, возможная, то дифференциал времени обозначим . Таким образом, для вычисления возможных перемещений ис­пользуется формула кинематики . Тогда уравнение работ примет вид

. (9)

Выражено оно здесь через возможные скорости.

Порядок решения задач с помощью принципа возможных перемещений

1. Выбираем объект (систему), равновесие которого рассматриваем.

2. Изображаем активные силы для системы с идеальными связями.

3. Сообщаем системе возможное перемещение.

4. Составляем уравнение работ на этом перемещении. Если система не с идеальными связями, то работу реакция связей следует включить в уравнение работ наряду с работой активных сил.

5. Исключаем возможные перемещения из уравнения работ, найдя зависимость между ними.

6. Определяем неизвестное.

Примечание. Если система имеет несколько степеней свободы, то подобный расчет повторяется на каждом из независимых возможных перемещений системы.

Пример. Определить условия равновесия кривошипно-шатунного механизма под действием горизонтальной силы , приложенной к ползуну В и силы , перпендикулярной кривошипу ОА и приложенной к точке А (рис. 67).

Решение. Сообщаем системе возможное перемещение. Точка А получает возможное перемещение , а точка В перемещение . Составляем уравнение работ:

Отсюда .

Зависимость между и найдем кинематически, предположив ; , тогда .

Получим .

Здесь и — возможные скорости. Условия равновесия механизма запишутся так:

.

Задачу можно было решить методом расчленения, составив 6 уравнений равновесия (три для кривошипа и три для шатуна с ползуном). Следовало бы ввести внутренние силы — реакцию в шарнире А. Принцип возможных перемещений позволяет не рассматривать реакцию шарнира А и реакцию направляющих ползуна В.

Контрольные вопросы и задания к теме 4

№ 32

Чему равно число независимых возможных перемещений?

1. Числу степеней свободы системы.

2. Количеству связей, наложенных на систему.

№ 33

Что выражает принцип возможных перемещений?

1. Необходимые условия равновесия системы.

2. Достаточные условия равновесия системы.

3. Условия движения системы.

4. Необходимые и достаточные условия равновесия системы.

№ 34

Сколько степеней свободы имеет тело, вращающееся вокруг неподвижной точки (рис. 68)?

1. S = 1.

2. S = 3.

3. S = 2.

№ 35

Сколько уравнений работ можно составить для системы?

1. Сколько степеней свободы имеет система.

2. Сколько независимых возможных перемещений имеет система.

3. Сколько связей наложено на систему.

Выберите неверный ответ.

№ 36

Свойства возможных перемещений?

1. Должны быть бесконечно малыми.

2. Не должны допускать нарушения связей.

3. Должны быть бесконечно малыми и не допускать нарушения связей.

№ 37

Сколько степеней свободы имеют упругие тела, жидкости, газы?

1. Бесконечное число степеней свободы.

2. Конечное число степеней свободы.

№ 38

Которое из указанных перемещений шарика М является возможным (рис. 69–72)?

№ 39

Которая из изображенных механических систем имеет два независимых возможных перемещения (рис. 73–75)?

№ 40

На котором рисунке перемещения ползуна В вдоль АВ является возможным (рис. 76–78)?

№ 41

Какую пару с моментом нужно приложить к кривошипу, чтобы механизм оставался в равновесии. Механизм находится в горизонтальной плоскости (рис. 79).

Дано: АО = 2 м; кг. Весом кривошипа ОА и ползуна В пренебречь.

1. .

2. .

3. .

№ 42

На котором рисунке перемещение ползуна В вдоль АВ не является возможным (рис. 80–82)?

№ 43

Определить при заданных силах и значения угла , при котором будет равновесие рычага АВ (рис. 83).

1.

2.

3.

4.

№ 44

В вертикальной плоскости расположен тонкий стержень AB длиной весом . Стержень опирается на две гладкие плоскости в точках А и В (рис. 84). Применив принцип возможных перемещений, определить величину горизонтальной силы Р, приложенной в точке A, если стержень находится в равновесии.

1. .

2. .

3. .

4. .

№ 45

Механизм (рис. 85) находится в равновесии. Определить зависимость между возможными перемещениями точек А и B и возможными перемещениями стержней ОА и ВD (ОА = b); (BD = a).

1.

2.

3.

4.

№ 46

Механизм находится в равновесии (рис. 86). Возможно ли перемещение ползуна А?

1. Вдоль кулисы О1С.

2. Перпендикулярно кривошипу ОА.

3. Перпендикулярно кулисе О1С.

4. Вдоль кривошипа ОА.

№ 47

На кривошип O1А кулисного механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, действует вращающий момент М1 (рис. 87).

Определить момент М2, приложенный к кулисе, при равновесии механизма.

1.

2.

№ 48

Кулисный механизм (рис. 88) находится в равновесии. Возможно ли перемещение ползуна А?

1. По горизонтали.

2. По вертикали.

3. Перпендикулярно кривошипу.

4. Вдоль кривошипа.

№ 49

Определить силу , которую нужно приложить к кривошипу в точке , чтобы механизм оставался в равновесии (рис.89) Дано:

1. .

2. .

3. .

№ 50

Определить соотношение между и , при равновесии системы блоков (рис. 90). Указать зависимость между перемещениями грузов и .

1.

2.

3.

Тема 5. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

Уравнение объединяет два принципа механики: Даламбера и возможных перемещений. Возьмем систему материальных точек. К каждой точке применим принцип Даламбера

(1)

Сообщим системе возможное перемещение . Умножим равенство (1) скалярно на :

(2)

Аналогичные равенства получим для каждой точки системы.

Просуммируем по всем точкам системы:

(3)

Для системы с идеальными связями , тогда общее уравнение динамики примет вид:

(4)

Таким образом, при движении системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Аналитическая форма общего уравнения динамики:

так как

Тогда общее уравнение динамики примет вид

(5)

Итак, чтобы составить общее уравнение динамики, необходимо:

1) к каждой точке системы приложить ее силу инерции;

2) сообщить системе возможное перемещение и составить уравнение работ для всех активных и даламберовых сил на этом перемещении. Порядок решения задач такой же, как и при применении принципа возможных перемещений.

Пример. Определить ускорение грузов А и В, если груз А (рис. 91) скользит по гладкой плоскости, а груз В опускается по вертикали. Вес груза А равен Р, груза В — Q. Весом блока и нити пренебречь.

Решение. 1. Прикладываем к точкам системы, состоящей из 2 грузов, блока и нити, силы инерции. Нить и блок невесомы, поэтому силы инер­ции прикладываем только к грузам:

.

Но и .

2. Сообщаем системе возможное перемещение и составляем общее уравнение динамики:

Разделив на последнее равенство, получим или

Отсюда .

Контрольные вопросы и задания к теме 5

№ 51

Можно ли принцип возможных перемещений применить к движущейся системе?

1. Нет.

2. Да, если мысленно уравновесить заданные силы силами инер­ции всех точек.

3. Нет верного ответа.

№ 52

Сколько общих уравнений динамики можно составить для системы, состоящей из тел, движущихся определенным образом?

1. уравнений, сколько тел.

2. уравнений, сколько степеней свободы у системы.

3. Только одно уравнение.

№ 53

Общее уравнение динамики можно получить

1) путем применения к системе, находящейся в равновесии прин­ципа возможных перемещений;

2) путем применения к движущейся системе принципа Даламбера;

3) путем применения к движущейся системе одновременно двух принципов: Даламбера и возможных перемещений.

№ 54

Какой вид имеет общее уравнение динамики?

1.

2.

3.

4.

Связи идеальные. Выберите неверный ответ.

№ 55

Определить ускорение поднимающегося груза (рис. 92). Вес двухступенчатого блока , его радиусы , а радиус инерции .

1. Укажите, к чему сводятся силы инерции всех точек тел, составляющих данную систему.

2. Укажите, как выразить ускорение центра блока В через ускорение груза А.

3. Укажите ускорение груза А.

№ п п	Силы инерции	Ускорение
груза	блока	точки В	точки А
1
2
3

№ 56

Однородное бревно весом лежит на двух катках (рис. 93), каждый весом и радиусом . Определить ускорение бревна вниз по плоскости, если скольжение отсутствует. Катки считать сплошными круглыми цилиндрами.

1. Чему равен момент инерции катка относительно центра О?

2. Укажите, как выразится ускорение центра О катка через ускорение бревна.

3. Укажите ускорение бревна.

№ п п	Момент инерции	Ускорение
точки О	бревна
1
2
3

№ 57

Определить ускорение груза при движении системы (рис. 94), если . Коэффициент трения между плоскостью и весом — . Массой блоков пренебречь.

1. .

2. .

Укажите также ускорение груза 2 и силы инерции грузов.

№ 58

Пренебрегая трением и массой блока, определить ускорение падающего груза Р (рис. 95). Принять , , .

1.

2.

Укажите зависимость между ускорениями грузов.

№ 59

Определить ускорение груза , считая . Трением и массами блоков пренебречь (рис. 96).

1. Как связаны ускорения грузов и ?

2. Чему равно ускорение груза ?

Ускорение
груз P	груз Q

№ 60

Определить угловое ускорение колеса 1, если к нему приложена пара сил с вращающим моментом (рис. 97). Моменты инерции колес относительно их осей вращения соответственно и .

1.

2.

3. Нет верного ответа.

Укажите, как связаны возможные перемещения колес и .