Избранные задачи для второй части экзаменационной работы по алгебре в 9 классе.

I. Выражения и их преобразования.

1. Представьте выражение х(х+1)(х+2)(х+3) – 15 в виде произведения двух многочленов.

Решение.

I. х(х+1)(х+2)(х+3) – 15=(х2+3х)(х2+3х+2) – 15=(х2+3х)²+2(х2+3х) – 15.

Пусть х2+3х=t, тогда получим квадратный трехчлен f(t)=t2+2t – 15.

t = - 5, t=3 – корни квадратного трехчлена f(t), и, следовательно, f(t)=(t+5)(t – 3).

Тогда (х²+3х)²+2(х2+3х) – 15=(х²+3х+5)(х2+3х – 3).

II. x(x+1)(x+2)(x+3) –15=(x2+3x)(x2+3x+2)–15=(x2+3x)2+2(x+3x)–15=(x2+3x)2+2(x2+3x)+1–16=

=(x2+3x+1)2-16=(x2+3x+1-4)(x2+3x+1+4)=(x2+3x-3)(x2+3x+5).

Ответ. х(х+1)(х+2)(х+3) – 15=(х2+3х+5)(х²+3х – 3).

2. При каких значениях х и у выражение 6у – 4х – х² - у² принимает наибольшее значение?

Решение.

6у – 4х – х² - у² = - (х²+4х+4) – (у²– 6у+9)+13 = 13 – [(х+2)² +(y – 3)²].

Заметим, что при любых действительных значениях х и у выполняются неравенства (х+2)²≥0 и (у – 3)²≥0 , и, следовательно, имеет место неравенство (х+2)²+(у – 3)²≥0, причем равенство возможно тогда и только тогда, когда х = - 2 и у = 3.

Отсюда заключаем, что при любых действительных значениях х и у справедливо неравенство 13 – [(х+2)²+(у – 3)²]≤13, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда х = - 2 и у = 3.

Таким образом, данное выражение принимает наибольшее значение при х = -2 и у=3.

Ответ. Выражение 6у – 4х – х² - у² принимает наибольшее значение при х = - 2 и у=3.

3. При каких значениях переменных х и у, связанных соотношением х+у=1, выражение 4х² +2ху - у² принимает наименьшее значение?

Решение.

Выразим у через х из равенства х+у=1. у=1 – х, тогда 4х²+2ху - у² = 4х²+2х(1 – х) – (1 – х)²= = 4х²+2х -2 х² - 1+2х - х² = х² +4х – 1 = (х+2)² - 5.

Заметим, что при любых действительных значениях х выполняются неравенства (х+2)²≥0, (х+2)² - 5≥ - 5, причем равенство возможно тогда и только тогда, когда х = - 2.

При х = - 2 у= 3.

Ответ. Выражение 4х²+2ху - у² принимает наименьшее значение при х = -2 и у=3.

4. Найдите наибольшее значение произведения ab, если 1≤а≤3 и b= 5 - а.

Решение.

Поскольку b=5 – а, то ab = а(5 – а) = 5а - а². Заметим, что наибольшее значение произведения ab, где 1≤ а ≤ 3 и b = 5 – а, равно наибольшему значению функции f(a)= - а² + 5а на отрезке [1; 3].

Функция f(а) возрастает на отрезке [1; 2,5] , убывает на отрезке [2,5; 3], и, следовательно, наибольшее значение принимает при а = 2,5.

f(2,5)= 5∙2,5 – 2,5²= 12,5 – 6,25 = 6,25.

Ответ. Наибольшее значение произведения ab, где 1≤а≤3 и b=5 – а, равно 6,25.

5. Найдите наименьшее значение выражения и укажите пары значений х и у, при которых оно достигается.

Решение.

Заметим, что при допустимых значения х и у выполняются неравенства ≥0 и ≥0, и, следовательно, имеет место неравенство , причем равенство имеет место при тех и только тех значениях х и у, которые удовлетворяют системе уравнений:

(-3; 2).

Итак, наименьшее значение данного выражения равно 0, оно достигается при х= - 3 и у=2.

Ответ. Наименьшее значение выражения равно 0, оно достигается при х = -3 и у = 2.

6.Отрицательные числа a и b связаны соотношением 5a² - 2b² = 3ab. Найдите значение выражения .

Решение.

Рассмотрим данное равенство 5a² - 2b²= 3ab как квадратное уравнение 5a² - 3ab - 2b² =0 относительно переменной а. Отсюда заключаем, что a = b или a = - b.

Поскольку a<0 и b<0, то a и b связаны соотношением а = b и = = 6.

Ответ. Значение выражения , где отрицательные числа а и b связаны соотношением 5a²- 2y² = 3ab, равно 6.

7. Является ли число а = корнем уравнения 3х² - х - 8 = 0?

Решение.

а² = 4 - – 2 + 4 + = 8 - 2 = 8 - 2∙ 3 = 2.

Поскольку , то а < 0. Итак, а² = 2 и а < 0, следовательно, а = - .

При х = - 3х² - х – 8 = 3 ∙ ( - )² - ( - ) – 8 = 6 + 2 – 8 = 0. Отсюда заключаем, что число - является корнем данного уравнения.

Ответ. Число а = является корнем уравнения 3х² - х – 8 = 0 .

8. Между какими соседними целыми числами заключено значение выражения

?

Решение.

= = .

Поскольку < 23 < 25, то < . Так как 1 < 2 < , то 1 < < ,

- <- <-1. < < 5-1, 3 < < 4, 1< < .

1< < 2.

Ответ. Значение данного выражения заключено между 1 и 2.

9. Сократите дробь .

Решение.

= = - = - = - ( = - + 1.

Ответ. - .

II. Уравнения и системы уравнений.

1. Решите уравнение 7(х + ) – 2 ( х² + ) = 9 .

Решение.

7 ( х + = 9.

1) Пусть х + = t, тогда х² + = t² - 2. Решим уравнение 2t – 2( t² - 2) = 9.

2t – 2t² + 4 = 9,

2t² - 2t + 5 = 0,

t = 1, t = 2,5.

2) Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Уравнение х + = 1 не имеет корней, так как при х≠0 выполняется неравенство

≥ 2 .

Решения уравнения х + = 2,5 : х = 0,5, х = 2.

Ответ. х = 0,5, х = 2.

2. Докажите, что уравнение ( х² - 6х + 10)( 2х² + 4х + 7) = 5 не имеет корней.

Доказательство.

Представим данное уравнение в виде: ((х – 3)² + 1)( 2(х + 1)² + 5) = 5 .

Заметим, что при любых действительных значениях х выполняются неравенства

(х – 3)²≥0, (х – 3)² + 1 ≥ 1, причем равенство возможно тогда и только тогда, когда х =3.

Аналогично заключаем, что при любых действительных значениях х выполняется неравенство 2(х + 1)² + 5 ≥ 5, причем равенство имеет место лишь при х = - 1.

Таким образом, при любых действительных значениях х выполняется неравенство

((х – 3)² + 1)(2(х + 1)² + 5)> 5, и, следовательно, данное уравнение не имеет корней.

Ответ. Уравнение (х² - 6х + 10)(2х² + 4х + 7) = 5 не имеет корней.

3. Докажите, что уравнение (х² + 4х + 5)(3х² + 12х + 13) = 1 имеет корень, равный - 2, и других корней у него нет.

Решение.

Запишем данное уравнение в виде ((х + 2)² + 1)( 3(х + 2)² + 1) = 1.

Заметим, что х = – 2 – корень исходного уравнения, и при х ≠ - 2 выполняются неравенства (х + 2)² + 1 > 1 и 3(х + 2)² + 1 > 1 , и, следовательно, имеет место неравенство (( х + 2)² + 1)(3( х + 2)² + 1) > 1. Отсюда заключаем, что других корней, кроме х = – 2, уравнение не имеет.

Ответ. х = - 2 – корень уравнения (х² + 4х + 5)(3х² + 12х + 13) = 0, и других корней это уравнение не имеет.

4. При каких значениях а корни уравнения х² - 2ах + (а + 1) (а – 1) = 0 принадлежат промежутку [ - 5; 5]?

Решение.

Заметим, что при любых действительных значениях а уравнение х² - 2ах + (а+1)(а-1)=0 имеет два различных действительных корня: х =а + 1, х = а – 1.

Решим систему неравенств

-4 ≤ а ≤ 4 .

Ответ. При - 4 ≤ а ≤ 4 .

5. При каких значениях параметра a число 1 расположено между корнями уравнения x² + (a + 1)x - a² = 0?

Решение.

Число р расположено между корнями квадратного трехчлена f(x) = ах² + bx + c тогда и только тогда, когда af(p) < 0.

Рассмотрим квадратный трехчлен f(x) = x² +(a + 1)x - a². Число 1 расположено между корнями квадратного трехчлена f(x) тогда и только тогда, когда f(1) < 0.

f(1)= 1 +a + 1 - a² = - a² + a + 2.

- a² + a + 2 < 0;

a² - a – 2 > 0;

a < - 1, a > 2

Ответ. При а < - 1, а > 2.

6. При каких значениях m сумма квадратов корней уравнения x² + (2 – m)x – m – 3 = 0 минимальна?

Решение.

x² + (2 – m)x – m – 3 = 0 (1).

D = (2 – m)² + 4(m + 3) = m² - 4m + 4 + 4m + 12 = m² + 16.

При любых действительных значениях m выполняется неравенство m² + 16 > 0, следовательно, уравнение (1) имеет два различных действительных корня.

Пусть х₁ и х₂ - корни данного уравнения. Тогда по теореме Виета имеем равенства

+ = m – 2 и = - m – 3. + = ( + )² - 2 .

+ = (m – 2)² + 2(m+3) = m² - 2m + 10 = (m – 1)²+ 9.

Заметим, что при любых действительных значениях m выполняется неравенство (m – 1)² + 9 ≥ 9, причем равенство имеет место тогда и только тогда , когда m = 1.

Итак, при m = 1 сумма квадратов корней данного уравнения минимальна.

Ответ. При m = 1.

7. При каких значениях m уравнение х3 + 6х2 + mx = 0 имеет два корня? Найдите эти корни.

Решение.

Представим исходное уравнение в виде х(х² + 6х + m) = 0 (1).

Заметим, что при любых действительных значениях m х = 0 является корнем данного уравнения, следовательно, уравнение (1) имеет два корня тогда и только тогда, когда уравнение х² + 6х + m = 0 (2) либо имеет один корень, и этот корень отличен от 0, либо два корня, один из которых равен 0.

а) Уравнение х² + 6х + m = 0 имеет один корень тогда и только тогда, когда = 0.

= 9 – m. = 0 при m = 9. Уравнение х² + 6х + 9 = 0 имеет один корень х = - 3.

б) Уравнение (2) имеет два корня, один из которых равен 0 тогда и только тогда, когда m = 0. Уравнение х² + 6х = 0 имеет два корня : х = - 6, х = 0.

Таким образом, при m = 0 данное уравнение имеет два корня: х = - 6, х = 0;

при m= 9 – х = - 3, х = 0.

Ответ. При m = 0 х = - 6, х = 0; при m = 9 х = - 3, х = 0.

8. При каких значениях а уравнение х3 – 2(а + 2)х² + (4 - а²)х = 0 имеет два корня?

Решение.

х(х² - 2(а+2)х + 4 - а²) = 0 (1) . Заметим, что при любых действительных значениях а х = 0 является корнем уравнения (1), и, следовательно, исходное уравнение имеет два корня тогда и только тогда когда уравнение х² - 2(а + 2)х + 4 - а² = 0 (2) либо имеет один, отличный от 0, корень, либо два корня, один из которых равен 0.

1) Уравнение (2) имеет один не равный нулю корень тогда и только тогда, когда = 0 и f(0)≠0, где f(х) = х² - 2(а + 2)х + 4 - а².

= (a+2)² - 4 + a² = 2a² + 4a, f(0) = 4 - a².

Решим систему а = 0.

2) Уравнение (2) имеет два корня, один из которых равен 0 тогда и только тогда, когда > 0 и f(0) = 0. Решим систему а = 2.

Таким образом, данное уравнение имеет два корня при а = 0, а = 2.

Ответ. При а = 0, а = 2.

9. Дана система уравнений Найдите сумму х + y + z.

Решение.

Умножим обе части первого уравнения данной системы на 12, а второго на 30.

Получим следующую систему уравнений

Сложив уравнения этой системы, получим уравнение 7х+7y+7z = 42 или x + y + z = 6.

Ответ. x + y + z = 6.

10. Решите систему уравнений

Решение.

Сложив уравнения данной системы, получим уравнение 3(a + b + c+ d) = 6,

a + b + c + d = 2(1). Вычитая из уравнения (1) последовательно уравнения системы, получим d = 0, a = 2, c = 1, b = -1.

Ответ. a = 2; b = - 1; c = 1; d = 0.

11.Решите систему уравнений

Решение.

(1; 6) , (6; 1).

Ответ. (1; 6) , (6; 1).

12. Решите систему уравнений

Решение.

1) Рассмотрим уравнение Пусть = t, тогда получим уравнение

t + + 2=0, единственным корнем которого является t= - 1.

Итак, = - 1.

2) Данная система равносильна системе

(3; - 3).

Ответ. (3; - 3).

13. Решите систему уравнений

Решение.

1) Сложив уравнения исходной системы, получим уравнение (х + у)² + (х + у) – 30 = 0, равносильное совокупности уравнений

2) Данная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений (- 2; - 4), ( ; ) .

Ответ; - 4), ( ; ).

14. Решите систему уравнений

Решение.

( - 1; - 3), (3;1).

Ответ; - 3), (3; 1).

15. Решите систему уравнений

Решение.

1) Рассмотрим уравнение х² + 2ху – 3у² = 0 как квадратное относительно х.

= у² + 3у² = 4у².

х1,2 = - у ±2у.

х= - 3у, х=у.

2) Данная система равносильна совокупности двух систем уравнений

Система(2) не имеет решений. Решим систему (1).

( 6; - 2), ( - 6; 2) .

Ответ. (6; - 2), ( - 6; 2).

16. При каких отрицательных значениях а система имеет два решения?

Решение.

Данная система имеет два решения тогда и только тогда, когда уравнение

5х²-4х+1-а²=0 имеет два корня, а это возможно тогда и только тогда, когда >0.

= 4 -5(1-а²) = 5а² - 1. Найдем отрицательные значения а, удовлетворяющие условию 5а² - 1>0, т. е. решим систему неравенств a < - .

Ответ. При а < - .

III. Неравенства.

1. Сравните числа и .

Решение.

= , = .

Поскольку > , то < , .

Итак, .

Ответ. .

2. Найдите область определения выражения .

Решение.

Поскольку выражение определено при t≥0, а выражение — при u≠0 , то область определения данного выражения – это множество решений системы неравенств – 2 ≤ х < 4.

Область определения данного выражения: [ - 2; 4).

Ответ. [ - 2; 4).

3.Решите неравенство < (.

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств

х > 4 .

Ответ. х> 4 .

4. Найдите наименьшее целое решение неравенства (2 - )х < 2 + .

Решение.

х > ; х > - (2+)²; х > - (9+4 ).

Заметим, что 9+8 <9 + < 9 + 9, 17<9+ < 18, а - 18<- ( 9 + ) < - 17.

Следовательно, х = - 17 – наименьшее целое решение данного неравенства.

Ответ. х = - 17 .

5. Решите неравенство (х² - 4х)² + 5(х – 2)² > 20.

Решение.

(х² - 4х)² + 5(х² - 4х + 4) – 20 > 0.

1) Пусть х² - 4х = у. Решим неравенство у² +5 (у + 4) – 20 > 0.

у² + 5у+ 20 – 20 > 0,

у² + 5у > 0,

у < - 5, у> 0.

2) Данное неравенство равносильно совокупности неравенств

Неравенство (1) не имеет решений.

Решения совокупности: х < 0 , х > 4.

Ответ. х < 0, х > 4.

6. Решите систему неравенств

Решение.

Данная система неравенств равносильна системе

а) При х = 3 (х² + 2х - 1)² = (9 + 6 - 1)² = 14², 14² <400 .

х=3 не является решением данной системы неравенств.

б) При х=4 (х² + 2х - 1)²= (16 + 8 -1 )²=23². 23²>400, значит, х=4 – решение исходной системы неравенств.

Ответ. х = 4 .

7.Решите систему неравенств

Решение.

Далее проверкой убеждаемся, что лишь х = 1 является решением данной системы неравенств.

Ответ. х = 1.

8. Укажите все целые числа, которые не принадлежат области определения выражения .

Решение.

Поскольку выражение определено на промежутке [0; ∞) , то области определения данного выражения не принадлежат те и только те значения х, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств х² - 2х – 3 < 0 или х² - 4 < 0, т. е. совокупности неравенств - 2< х < 3.

-1; 0; 1; 2 – все целые решения совокупности.

Ответ. – 1; 0; 1; 2 .

9.Найдите все значения параметра а, при которых неравенство (а – 3)х² - (2а – 6)х + 2а - 7≤ 0 выполняется при всех действительных значениях х.

Решение.

(а – 3)х² - 2(а – 3)х + 2а – 7 ≤ 0.

1) При а = 3 получим неравенство 0∙х - 1≤ 0, которое выполняется при любых действительных значениях х.

Таким образом, а = 3 удовлетворяет условию задачи.

2) При а ≠ 3 данное неравенство выполняется при всех действительных значениях х тогда и только тогда, когда а – 3 < 0 и ≤ 0 , где =(а -3)² - (а - 3)(2а - 7)=(а - 3)(4 – а).

Решим систему неравенств а< 3 .

Итак, при а ≤ 3 данное неравенство выполняется при всех действительных значениях х.

Ответ. При а ≤ 3 .

10. При каких значениях параметра а все решения неравенства 2х² +2(а – 2)х + 6 – а <0 являются отрицательными числами?

Решение.

Рассмотрим квадратный трехчлен f(x) = 2х² + 2(а - 2)х + 6 – а.

= (а - 2)² - 2(6 – а) = а² - 2а – 8. Пусть х₁ и х₂ - корни квадратного трехчлена f(x). Тогда по теореме Виета имеем равенства х₁ + х₂ = 2 – а и х₁х₂ = .

Все решения неравенства f(x)< 0 являются отрицательными числами тогда и только тогда, когда имеют место неравенства > 0, 2 – а < 0 и ≥ 0.

Решим систему неравенств 4< а ≤ 6 .

Ответ. При 4 < а ≤ 6 .

11. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство х² - 2(3а – 1)х< 6а – 5 выполняется для всех х∈( 1; 3).

Решение.

Представим данное неравенство в виде х² - 2(3а – 1)х – 6а + 5 < 0 и рассмотрим квадратный трехчлен f(x) = x² - 2(3a – 1)x – 6a + 5.

Квадратный трехчлен f(х) принимает отрицательные значения при всех х ∈ ( 1; 3 ) тогда и только тогда, когда имеют место неравенства f(1) ≤ 0 и f(3) ≤ 0.

f(1) = 1 – 2(3a – 1) – 6a + 5 = 8 – 12a, f(3) = 9 – 6(3а – 1) – 6а + 5 = 20 – 24а.

Решим систему неравенств а ≥ .

Ответ. а ≥ .

12. При каких значениях n парабола у= - х² + (n – 1)х + n целиком расположена ниже прямой у = 1?

Решение.

Найдем значения параметра n, при которых неравенство - х² + ( n – 1)x + n < 1 выполняется при любых действительных значениях х.

Неравенство х² - (n + 1)x + 1 – n > 0 выполняется при любых действительных значениях х тогда и только тогда, когда D < 0. D =(n – 1)² +4( n – 1)= (n – 1)(n + 3).

(n – 1)(n + 3) < 0,

-3 < n < 1.

Ответ. При - 3 < n < 1 парабола у = - х² + (n – 1)x + n целиком расположена ниже прямой у = 1.

13. При каких значениях параметра b график функции у = (4 – b²)x² + 2(b + 2)x – 1 лежит ниже оси Ох при любом х?

Решение.

Найдем значения параметра b, при которых неравенство (4 – b²)x + 2(b + 2)x – 1 < 0 выполняется при любом значении х.

1) При b = - 2 получим неравенство 0∙х – 1 < 0, которое выполняется при любом значении х. b = - 2 удовлетворяет условию задачи.

2) При b = 2 имеем неравенство 8х – 1 < 0, которое не выполняется, например, при х = 1. b = 2 не удовлетворяет условию задачи.

3) Если b ≠ - 2 и b ≠ 2, то неравенство (4 - b²)x + 2(b + 2)x - 1< 0 выполняется при любом значении х тогда и только тогда, когда имеют место неравенства 4 - b² < 0 и < 0.

= (b + 2)² + 4 - b² = 4b + 8.

Решим систему неравенств b < - 2.

Итак, при b ≤ - 2 график функции у = (4 - b²)x² + 2(b + 2)x – 1 целиком лежит ниже оси Ох.

Ответ. При b ≤ - 2.

14. При каких значениях а система неравенств не имеет решений?

Решение.

Исходная система неравенств не имеет решений при тех и только тех значениях а, которые удовлетворяют неравенству 2а – 2 ≤ 1, т. е. при а ≤ 1,5.

Ответ. При а ≤ 1,5.

15.При каких значениях m система неравенств имеет ровно три целых решения?

Решение.

Данная система неравенств имеет ровно три целых решения тогда и только тогда, когда 6 < m – 5 ≤ 7 , 11< m ≤ 12.

Ответ. При 11 < m ≤ 12.

IV. Функции и графики.

1.Известно, что график квадратичной функции у = ах² + bx + 2 симметричен относительно прямой х = 2 и проходит через точку К ( – 2; - 4) . Постройте этот график.

Решение.

Дана квадратичная функция у =ах² + bх + 2. Заметим, что у(0) = 2. Уравнение любой параболы, симметричной относительно прямой х = 2 , имеет вид у = а(х – 2)² + m.

Поскольку у(0) = 2 и у= - 4, то имеют место равенства 4а + m = 2 и 16a + m = - 4. Решим систему уравнений a=-0,5; m=4.

Таким образом, данная квадратичная функция задается формулой у = - 0,5(х – 2)² + 4. График – парабола с вершиной в точке ( 2; 4), симметричная относительно прямой у = 2.

2.При каких значениях m вершины парабол у = - х² - 6mх + m и у = х² - 4mx –2 расположены по одну сторону от оси Ох?

Решение.

Запишем уравнение y= - х² - 6mx + m в виде у = -(х + 3m)² + 9m² + m.

Точка (-3m; 9m² + m) – вершина параболы у = - х² - 6mx + m.

Аналогично, уравнение второй параболы представим в виде у =(x – 2m)² - 4m² - 2.

Точка ( 2m; - 4m² - 2) – вершина параболы y = x² - 4mx – 2. Заметим, что при любых действительных значениях m выполняется неравенство - 4m² - 2 < 0, и, следовательно, вершина второй параболы лежит ниже оси Ох.

Отсюда заключаем, что вершины данных парабол расположены по одну сторону от оси Ох при тех и только тех значениях х, которые удовлетворяют неравенству

9m² + m < 0, т. е. при < m < 0.

Ответ. При - < m < 0.

3. Известно, что парабола со старшим коэффициентом, равным - 1, касается прямых у = х + 1 и у = 5 – 3 х. Определите уравнение этой параболы.

Решение.

у = - х² + bx + c – уравнение параболы со старшим коэффициентом, равным – 1.

Эта парабола касается прямых у = х + 1 и у = 5 – 3х тогда и только тогда, когда каждое из уравнений х + 1 = - х² + bx + c(1) и 5 – 3x = - x² + bx + c (2) имеет одно решение.

1) Представим уравнение (1) в виде х² + (1 – b)x + 1 – c = 0. Это уравнение имеет один корень в том и только том случае, когда его дискриминант равен 0.

D₁ = (1 – b)² + 4c – 4.

2) Уравнение (2) представим в виде x² - (b + 3)x + 5 – c = 0. D₂ = (b + 3)² + 4c – 20.

Уравнение (2) имеет один корень тогда и только тогда, когда D₂ = 0.

3) Решим систему уравнений

( 1; 1).

у = - х² + х + 1 – уравнение параболы, касающейся прямых у = х + 1 и у = 5 – 3х.

Ответ. у = - х² + х + 1.

4. При каких значениях р прямая у = рх – 2 образует с осями координат треугольник, площадь которого равна 16?

Решение.

Точки А( 0 ; - 2) и В ( ; 0) – точки пересечения прямой у = р х – 2 с осями координат.

S∆АВО = АО∙ ВО. АО = 2, ВО = ￜ ￜ. S∆АВО = ￜ ￜ. Получим уравнение ￜ ￜ = 16, ￜрￜ = откуда р = - или р = .

Ответ. При р = - ,р =.

5.Найдите точки, симметричные относительно оси Оу, одна из которых лежит на прямой = 6х + 5, а другая на параболе = 18х² - 33х.

Решение.

Пусть точка ( х ; у) лежит на параболе у =18 х² - 33х, тогда точка ( - х; у), симметричная ей относительно оси Оу, лежит на прямой у= 6х + 5. Решим систему уравнений

а) Решим уравнение 18х² - 27х – 5 = 0.

D = 27² + 4∙18∙5 = 9(81 + 40) = 9∙121.

х = = - ; х = = .

б) ( - ; 6), ( ; - 5).

Итак, искомые точки : ( - ; 6) и ( ; 6); ( ; - 5) и ( - ; - 5).

Ответ.; 6), ( , 6); 2) ( ; - 5), ( - ; - 5).

6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:

1) 9х² + 6 ху + у² = 1.

(3х + у)² = 1,

Искомое множество точек – объединение прямых у = - 3х – 1, у = 1 – 3х.

2) (х² - 2у)(х² - 1) = 0.

Искомое множество точек – объединение параболы у = 0,5х² и прямых х = -1, х = 1.

3) = 0.

Данное уравнение равносильно системе

Искомое множество точек – парабола у = х² без точки ( - 2; 4).

V. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

1. Последовательность (аn) – арифметическая прогрессия. Найдите а3 + а7 + а11 , если известно, что а5 + а9 = 40.

Решение.

Заметим, что а5 + а9 = а3 + а11 и а7 = (а5 + а9).

Отсюда заключаем, что а3 + а7 + а11 = ( а5 + а9), а3 +а7 + а11 = ∙ 40 = 60.

Ответ. а3 +а7 + а11 = 60.

2.Арифметическая прогрессия задана двумя членами: а5 = 20 и а7 = 26.

Найдите сумму членов этой прогрессии с двузначными номерами, кратными 10.

Решение.

Пусть d – разность данной арифметической прогрессии ( аn ). d = ( a7 – a5 ), d = 3.

Заметим, что числа а10, а20, а30, а40, а50 , а60, а70, а80, а90 в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию, первый член которой - а10 , разность d1 = 10d.

Пусть S – искомая сумма. S = ∙ 9 = ( a10 + 4d1 )∙9. a10 = a5 + 5d, S = (a10 + 45d)∙9.

S = (20 + 45∙3)∙9 = 155∙9 = 1395.

Ответ. Сумма членов данной арифметической прогрессии с двузначными номерами, кратными 10, равна 1395.

Примечание. При решении задачи использовалась формула: аn = am + d ( n – m).

3. Найдите сумму первых 15 членов арифметической прогрессии, если а8 = 12.

Решение.

Поскольку а1 + а15 = а2 + а14 = а3 + а13 = а4 + а12 = а5 + а11 = а6 + а10 = а7 + а9 = 2а8 , то

S15 = 7∙2а8 + а8 = 15а8. S15 = 15∙12 = 180.

Ответ. S15 = 180.

4. Найдите разность возрастающей арифметической прогрессии, у которой сумма трех первых нечетных членов равна 36, а сумма их квадратов – 632.

Решение.

1) Пусть последовательность ( аn) – данная арифметическая прогрессия, d – разность этой прогрессии. Заметим, что d > 0 .

Из условия а1 + а3 + а5 = 36. Так как а1 + а5 = 2а3, получим равенство 3а3 = 36, а3 = 12.

2) а1 = а3 – 2d, a5 = a3 + 2d. a12 + a32 + a52 = (a3 – 2d)2 + a32 + (a3 + 2d)2 = 3a32 + 8d2 .

a12 + a32 + a52 = 3∙144 + 8d2 = 8d² + 432. Из условия а12 + а32 + а52 = 632.

Решим систему d = 5.

Ответ. d = 5.

5. Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии на 32 меньше суммы следующих четырех ее членов. На сколько сумма первых десяти членов этой прогрессии меньше суммы следующих десяти ее членов?

Решение.

1) Пусть последовательность (аn) - данная арифметическая прогрессия, d – ее разность. Тогда исходя из условия, получим равенство (а5 + а6 + а7 + а8) – (а1 + а2 + а3 + а4) = 32.

(а5 – а1) + (а6 – а2) + (а7 – а3) + (а8 – а4) = 32, 4∙4d = 32, d = 2.

2) Пусть S – сумма членов данной прогрессии с одиннадцатого по двадцатый включительно. S = ∙10 = 5(2a11 + 9d). S10 – сумма первых десяти членов прогрессии. S10 = 5(2a1 + 9d).

S – S10 = 5(2a11 – 2a1) = 10(a11 – a1) =10∙10d = 100d, S – S10 = 100∙2 = 200.

Ответ. Сумма первых десяти членов данной прогрессии меньше суммы следующих десяти ее членов на 200.

6. В арифметической прогрессии среднее арифметическое первых десяти ее членов равно 20. Найдите первый член и разность этой прогрессии, если известно, что они являются числами натуральными.

Решение.

Пусть последовательность (аn) - данная арифметическая прогрессия. Поскольку = 20, то S10 = 200. S10 = 5(2a1 + 9d). 5(2a1 + 9d) = 200, 2a1 + 9d = 40,

a1 = 20 – 4,5d. Из условия и d являются числами натуральными, поэтому d - четное число, удовлетворяющее неравенству,5d ≥ 1. 4,5d≤ 19, d ≤ 4 .

Отсюда заключаем, что d = 2 или d = 4.

При d = 2 a1 = 11; при d = 4 a1 = 2.

Ответ. 1) a1 = 11, d = 2; 2) a1 = 2, d = 4.

7.Могут ли числа , 2, быть членами ( необязательно последовательными) арифметической прогрессии?

Решение.

Пусть ap = am = 2, ak = - члены некоторой последовательности (an). Если указанные числа являются членами арифметической прогрессии, то имеет место равенство = или = .

= , = (1).

Заметим, что - иррациональное число, а при натуральных k, m и p правая часть равенства (1) принимает рациональные значения.

Таким образом, не существуют такие натуральные k, m и p, при которых выполнялось бы равенство (1) , и, следовательно числа , 2, не могут быть членами арифметической прогрессии.

Ответ. Не могут.

8.Три различных числа a, b и c образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Числа a + b, b + c, c + a образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

Решение.

1) Пусть q – знаменатель данной геометрической прогрессии. Тогда b = aq, c = aq2. Поскольку числа a, b и с различны, то q отлично от 1.

2) Т. к. числа a + b, b + c, c + a в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию, то имеем равенство 2(b + c) = 2a + b + c или b + с = 2а.

aq + aq2 = 2a, q2 + q – 2 = 0.

Решим систему q = - 2.

Ответ. q = - 2.

9. Три числа составляют арифметическую прогрессию. Если первые два оставить без изменения, а к третьему прибавить сумму первых двух, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой геометрической прогрессии.

Решение.

Пусть числа a, b и c в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Тогда имеет место равенство 2b = a + c.

Числа a, b и a + b + c в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Поскольку a + c = 2b, то числа a, b, 3b являются последовательными членами геометрической прогрессии. Пусть q – знаменатель этой прогрессии. Тогда q = = 3.

Ответ. Знаменатель геометрической прогрессии равен 3.

10. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 189. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Решение.

1) Пусть последовательность (bn) – данная геометрическая прогрессия. Тогда, исходя из условия, заключаем, что b1 + b2 + b3 = 21 и b12 + b22 + b32 = 189.

b12 + b22 + b32 = (b1 + b2 + b3)² - 2( b1b2 +b1b3 + b2b3).

189 = 441 – 2(b1b2 + b22 + b2b3), 2b2(b1 + b2 + b3) = , 2∙21b2 =252, 42b2 = 252, b2=6.

2) Пусть q – знаменатель геометрической прогрессии. Тогда b1 = , b3 = 6q.

Решим уравнение + 6 + 6q = 21.

6q – 15 + = 0,

6q² - 15q + 6 = 0,

2q² - 5q + 2 = 0,

q = 0,5; q = 2.

3) При q = 0,5 b1 = 12: при q = 2 b1 = 3.

Ответ. 1) b1 = 12, q = 0,5; 2) b1 = 3, q = 2.