Рабочая программа дисциплины «Теория функции комплексного переменного» (стр. 2 )

Содержание лекций базового обязательного модуля дисциплины

№	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела дисциплины	Результат обучения, формируемые компетенции
1.	Введение. Основные определения.	Комплексные числа (определение; основные алгебраические операции над комплексными числами, алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы записи комплексного числа, операция извлечения корня). Последовательности и ряды комплексных чисел (предел последовательности, условия сходимости последовательностей, критерии Коши). Расширенная комплексная плоскость, стереографическая проекция, сфера Римана.	ОК-1, 16, 17 ПК-10.
2.	Понятие функции комплексной переменной.	Определение и областей на комплексной плоскости. Определение функции комплексной переменной и понятие отображения. Однозначные функции. Непрерывность. Непрерывность в точке. Примеры элементарных функций комплексной переменной. Линейная функция. Многозначные функции, ветви и области однолистности многозначных функций. Функция (листы многозначной функции, точки ветвления, ).	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
3.	Дифференцирование функций комплексного переменного.	Производная. Условия Коши-Римана. Аналитические функции : определение, свойства, примеры. Геометрический смысл производной. Конформные отображения (только определение)	ОК-1, 16, 17 ПК-10.
4.	Интеграл по комплексной переменной.	Определение основные теоремы. Интегральная формула Коши. Неопределенный интеграл. Первообразная.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
5.	Интеграл Коши.	Определение и свойства интеграла Коши. Следствия из формулы Коши (для интеграла Коши). Принцип максимума модуля аналитической функции. Интегралы, зависящие от параметра. Высшие производные аналитических функций.	ОК-1, 16, 17 ПК-10.
6.	Ряды аналитических функций	Числовые ряды. Условия сходимости : критерий Коши, признак Даламбера. Функциональные ряды. Равномерная сходимость (признаки Коши, Вейерштрасса).	ОК-1, 16, 17 ПК-10.
7.	Степенные ряды. Ряд Тейлора.	Теорема Абеля. Радиус сходимости. Радиус сходимости степенного ряда. Теорема Тейлора. Нули аналитической функции. Теорема о единственности определения аналитической функции.	ОК-1, 16, 17 ПК - 10.
8.	Аналитическое продолжение.	Продолжение с действительной оси. Продолжение функциональных соотношений, понятие функции многих комплексных переменных.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
9.	Элементарные функции комплексного переменного.	Функции , , , , ,, ,, , . Свойства элементарных функций и примеры конформных отображний. Риманова поверхность.	ОК-1, 16, 17 ПК-10.
10.	Ряд Лорана.	Определение и область сходимости ряда Лорана. Разложение аналитической функции в ряд Лорана.	ОК-1, 16, 17 ПК-10.
11.	Изолированные особые точки однозначного характера.	Теорема единственности. Особые точки: определение и классификация.	ОК-1, 16, 17 ПК-10.
12.	Теория вычетов.	Определение и формулы вычисления вычета : простой полюс, полюс высшего порядка, вычет в бесконечно удаленной точке. Основная теорема теории вычетов. Примеры вычисления простейших интегралов с использованием теории вычетов.	ОК-1, 16, 17 ПК-10.
13.	Приложения теории вычетов	Основная теорема теории вычетов. Примеры вычисления простейших интегралов с использованием теории вычетов.	ОК-1, 16, 17 ПК-10.
14.	Вычисление интег-ралов с помощью вычетов	Интегралы вида . Лемма Жордана, интегралы вида . Интегралы от многозначных функций, , .	ОК-1, 16, 17 ПК-10.
15.	Логарифмическая производная.	Логарифмическая производная и логарифмический вычет. Число нулей аналитической функции. Принцип аргумента. Теорема Руше.	ОК-1, 16, 17 ПК-10.
16.	Конформное отображение	Определение конформного отображения. Отображения первого и второго рода. Принципы построения конформных отображений: взаимнооднозначное соответствие, соответствие границ, принцип симметрии. Теорема Римана. Дробно-линейная функция. Круговое свойства. Отображение двуугольников.	ОК-1, 16, 17 ПК-10.
17.	Приложения теории аналитических функций	Гармонические функции. Связь аналитических и гармонических функций. Сохранение Оператора Лапласа при конформном отображении. Плоские векторные поля. Плоское течение жидкости, электростатическое поле. Использование конформных отображений при решении задач гидромеханики и электростатики.	ОК-1, 16, 17 ПК-10.
18.	Элементы операционного исчисления	Преобразование и основные свойства преобразования Лапласа. Изображения элементарных функций. Формула Меллина. Решение дифференциальных уравнений.	ОК-1, 16, 17 ПК-10.

Содержание практических занятий базового обязательного модуля дисциплины

№	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела дисциплины	Результат обучения, формируемые компетенции
1.	Введение. Основные определения	Комплексные числа, определение, алгебраические операции, действительная и мнимая части, комплексное сопряжение, задание (и изображение) областей комплексной плоскости.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
2.	Понятие функции комплексной переменной	Комплексные числа, кривые на комплексной плоскости, решение алгебраических уравнений.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
3.	Понятие функции комплексной переменной	Показательная и тригонометрическая форма записи комплексного числа, извлечение корней.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
4.	Понятие функции комплексной переменной	Функции комплексной переменной, непрерывность, отображение (кривые, области), разделение действительной и мнимой частей функций.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
5.	Дифференцирование функции комплексной переменной	Функции комплексной переменной, дифференцирование, «явное» вычисление производных, условия Коши-Римана.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
6.	Дифференцирование функции комплексной переменной	Функции комплексной переменной, дифференцирование, «явное» вычисление производных, условия Коши-Римана.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
7.	Интеграл по комплексному переменному	Аналитические функции, области аналитичности, производные в полярных координатах. Примеры конформных отображений (элементарные функции). Интеграл, вычисление простейших контурных интегралов.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
8.	Интеграл по комплексному переменному	Аналитические функции, области аналитичности, производные в полярных координатах. Примеры конформных отображений (элементарные функции). Интеграл, вычисление простейших контурных интегралов.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
9.	Интеграл Коши	Интеграл, интегральная формула Коши, вычисление контурных интегралов с помощью формулы Коши.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
10.	Ряды аналитических функций	Ряды аналитических функций, условия сходимости, абсолютная сходимость, признаки Коши, Даламбера.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
11.	Степенные ряды	Исследование степенных рядов. Ряд Тэйлора.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
12.	Ряд Лорана	Ряд Лорана. Разложение ряд Лорана. Определение характера особых точек.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
13.	Теория вычетов	Теория вычетов: вычисление вычетов – прямым разложением в ряд Лорана, с использованием специальных методов.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
14.	Теория вычетов	Теория вычетов: вычисление вычетов с использованием специальных методов	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
15.	Приложения теории вычетов	Приложения теории вычетов: вычисление простейших контурных интегралов.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
16.	Приложения теории вычетов	Приложения теории вычетов: вычисление простейших контурных интегралов.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
17.	Вычисление интегралов с помощью вычетов	Приложения теории вычетов: вычисление интегралов, включая несобственные, от функций специального вида (рациональные, тригонометрические, степенные)	ОК-1, 16, 17, ПК-10.
18.	Элементы операционного вычисления	Основные понятия операционного исчисления. Вычисление образов функций. Решение линейных дифференциальных уравнений методами операционного исчисления.	ОК-1, 16, 17, ПК-10.

5. Образовательные технологии: