Рабочая программа дисциплины «Теория функции комплексного переменного» (стр. 4 )

г) а)

д) д)

20) Сумма ряда равна

а) 1

б) 0 (+)

в) -1

г)

1.9 Аналитические продолжение.

21) Для разложения функции в ряд Тэйлора

а) можно использовать комплексный аналог формулы (+)

б) нельзя использовать соотношения для тригонометрических функций действительного переменного

в) можно использовать комплексный аналог формулы только для точек на действительной оси

г) можно использовать комплексный аналог формулы для разложения в круге

1.10 Интеграл. Свойства. Первообразная. Теорема Коши.

22) Значение интеграла для аналитической функции

а) пропорционально площади контура

б) пропорционально длине контура

в) может быть вычислено по формуле , когда находится внутри контура

г) равно нулю для любой формы контура (+)

23) Интеграл по контуру, изображенному на рисунке

а)

б) (+)

в)

г)

1.11 Формула Коши. Вычисление простых интегралов.

24) Установить соответствие между условиями вычисления интеграла и его значениями:

а) точка внутри С в)

б) точка внутри С а)

в) точка внутри С г) 0

г) точки внутри С б)

25) Направление обхода замкнутого контура считается положительным, если

а) движение по контуру происходит всегда против часовой стрелки

б) движение по контуру всегда происходит по часовой стрелке

в) если при движении по контуру область находится слева (+)

г) если при движении по контуру область находится справа

1.12 Нули аналитических функций.

26) Нулем функции называется

а) точка

б) точка, в окрестности которой разложение в ряд Тэйлора имеет вид

в) точка, в которой значение функции не определено

г) точка , такая что (+)

27) Точка является для функции нулем порядка

а) 6 (+)

б) 2

в) 3

г) 1

1.13 Ряд Лорана, главная, правильная части. Область сходимости.

28) Рядом Лорана называется ряд вида:

а)

б)

в) (+)

г)

29) Главная часть ряда Лорана для функции в окрестности точки имеет вид

а)

б)

в)

г) (+)

1.14. Алгоритм разложения в ряд Лорана

30) Разложение в ряд Лорана для функции имеет вид:

а)

б)

в) (+)

г)

1.15. Особые точки. Классификация.

31) Число различных типов особых точек

а) произвольно

б) бесконечно

в) 3

г) зависит от вида функции

32) Установить соответствие между значением и типом точки для функции , если - регулярная функция

а) в) ноль порядка

б) а) полюс порядка

в) б) неособенная точка

1.16. Вычеты. Общие формулы вычисления вычетов.

33) Установить соответствие для формул нахождения вычетов в точке , если это

а) простой полюс б) 0

б) регулярная точка а)

в) полюс порядка в)

34) Формула нахождения вычета в виде применима

а) если точка является простым полюсом функции (+)

б) если точка является регулярной точкой функции

в) если точка является полюсом порядка функции

г) только для бесконечно удаленной точки

35) Если разложение функции в окрестности точки имеет вид , то равен

а) 0

б)

в)

г) (+)

1.17. Примеры на вычисление вычетов.

36) Установить соответствие между точками на комплексной плоскости и значениями вычетов функции

а) б)

б) а)

в) в)

г) г) 0

1.18. Основная теорема теории вычетов.

37) Теорема о вычетах верна для функции , которая

а) является дифференцируемой

б) произвольной

в) является аналитической (+)

г) не имеет особой точки

1.19 Вычисление интегралов с помощью вычетов.

38) Значение интеграла равно

а) -100

б) 0 (+)

в) 100

г) 1

1.20 Интегралы от функций действительной переменной.

39) Интегралы вида можно вычислять с помощью теории вычетов, если функция

а) не имеет особых точек на комплексной плоскости

б) имеет только простые полюса на действительной оси

в) подчиняется лемме Жордана

г) не имеет нулей на всей комплексной плоскости

40) Значение интеграла равно

а)

б)

в)

г)

Вопросы к коллоквиуму и экзамену.

1.  Определение комплексного числа. Операции сложения, умножения. Мнимая единица. Комплексное сопряжение. Алгебраическая форма записи комплексного числа.

2.  Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная форма.

3.  Свойства операций с комплексными числами. Деление.

4.  Геометрическая интерпретация комплексного числа.

5.  Извлечение корней из комплексных чисел (примеры).

6.  Последовательности комплексных чисел. Определение предела последовательности. Условия сходимости последовательности.

7.  Критерий Коши сходимости последовательностей.

8.  Расширенная комплексная плоскость. Бесконечно удаленная точка. Стереографическая проекция.

9.  Определение функции комплексной переменной. Области, границы областей.

10.  Функции комплексной переменной – однозначные, многозначные функции. Обратная функция. Однолистные функции.

11.  Предел функции. Непрерывность в точке, условия непрерывности. Свойства непрерывных функций.

12.  Элементарные функции: свойства линейной функции .

13.  Элементарные функции: функция .

14.  Элементарные функции: свойства функции , области однолистности.

15.  Многозначные функции: ветви, точки ветвления.

16.  Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана.

17.  Условия Коши-Римана : полярные координаты, условия для модуля и аргумента функции.

18.  Аналитические функции. Определение, свойства.

19.  Примеры производных : функции , .

20.  Геометрический смысл производной функции комплексной переменной.

21.  Определение и условия конформного преобразования.

22.  Конформные преобразования: соотношения для площади и длины образа кривой.

23.  Интеграл по комплексной переменной – определение, свойства. Примеры для элементарных функций.

24.  Интегральная формула Коши. Теорема Коши (непрерывная производная).

25.  Следствия теоремы Коши.

26.  Неопределенный интеграл. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница для функций комплексной переменной.

27.  Интеграл Коши : доказательство формулы

28.  Следствия из интегральной формулы Коши.

29.  Принцип максимума модуля аналитической функции.

30.  Интегралы, зависящие от параметра.

31.  Существование производных всех порядков у аналитической функции.

32.  Ряды комплексных чисел. Условия сходимости. Признаки Коши, Д’аламбера.

33.  Функциональные ряды. Равномерная сходимость, признак Вейерштрасса, критерий Коши.

34.  Теоремы для равномерно сходящихся функциональных рядов.

35.  Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.

36.  Ряд Тейлора. Теорема Тейлора. Пример для в круге

37.  Нули аналитической функции. Теорема единственности.

38.  Аналитической продолжение: продолжение с действительной оси. Примеры продолжения элементарных функций ().

39.  Продолжения соотношений.

40.  Функции , .

41.  Ряд Лорана. Определение. Область сходимости.

42.  Разложение аналитической функции в ряд Лорана.

43.  Классификация изолированных особых точек.

44.  Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.

45.  Классификация особых точек для бесконечно удаленной точки.

46.  Вычеты: определение, свойства, формулы вычисления.

47.  Основная теорема теории вычетов. Примеры. Вычет в бесконечно удаленной точке.

48.  Вычисление интегралов с помощью вычетов : .

49.  Вычисление интегралов с помощью вычетов : .

50.  Вычисление интегралов с помощью вычетов : .

51.  Интегралы от многозначных функций; вычисление с помощью вычетов.

52.  Логарифмический вычет: определение, вычисление. Число нулей аналитической функции.

53.  Теорема Руше. Основная теорема высшей алгебры.

54.  Преобразование Лапласа. Определение, свойства.

55.  Преобразование Лапласа для элементарных функций.

56.  Формула Меллина.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература:

1.  , Копытов функций комплексного переменного: учебно-методическое пособие/ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет». - Кемерово, 20с.

2.  , Тихонов функций коплексной переменной. – М.: «ФИЗМАТЛИТ», 20с.

3.  , , Шабунин по теории функций комплексного переменного. М.: – «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 480 с.

4.  , , Эльсголц комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: – «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968. – 416 с.

5.  , , Арманович задач по теории функций комплексного переменного. – М.: «ФИЗМАТЛИТ», 20с.

6.  , , Шабунин задач по теории аналитических функций. М.: – «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. – 416 с.

7.  , , и др. под ред. и Демидовича задач по математике для втузов. Ч.2. Специальные разделы математического анализа. М.: – «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 368 с.

б) дополнительная литература:

1.  Шабат в комплексный анализ, часть 1,2. М.: – «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976.

2.  Кудрявцев математического анализа. Т.1. М.: – Дрофа, 2003. – 704 с.;

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

1.  MAXIMA (http://maxima. )

2.  GNU Octave (http://www. octave. org/)

3.  Advanced Grapher (http://www. /agrapher/)

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Теория функции комплексного переменного»

Для материально-технического обеспечения дисциплины «Теория функции комплексного переменного» используется: специализированная аудитория с ПК и компьютерным проектором, компьютерный класс физического факультета КемГУ.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки 011200 Физика – Физика конденсированного состояния.

Автор: (доцент кафедры теоретической физики КемГУ, к. ф.м.-н.)

Рабочая программа дисциплины
обсуждена на заседании кафедры теоретической физики

Рабочая программа дисциплины обсуждена на

заседании кафедры теоретической физики

Протокол № ______ от «______»_______________2010 г.

Зав. кафедрой ________________________

Одобрено методической комиссией физического факультета

Протокол № ______ от «______»_______________2010 г.

Председатель _________________________