Математика и шифры (стр. 1 )

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №1 с углубленным изучением отдельных предметов

Математика и шифры

Кошкин Никита

МОУ СОШ №1 с углубленным изучением отдельных предметов, 7 класс

Г. Бугульма

Научный руководитель – учитель первой квалификационной категории

Бугульма 2012

Содержание.

1.  Цель и задачи…………………………………………………………………………………….3

2.  Введение …………………………………………………………………………………………..4

3.  Основная часть:

3.1. Каким должен быть шифр………………………………………………………. 6

3.2 Шифрование. ............................................................................... 8

3.3 Шифры и арифметика Остатков……………………………………………….13
3.4 Подсчёт частот…………………………………………………………………………..15

3.5 Шифрование решёткой…………………………………………………………….18

3.6 Тайнопись в России……………………………………………………................20

4.  Заключение………………………………………………………………………………………..22

5.  Используемая литература……………………………………………………………….…23

Цель работы:

}  Рассмотреть различные виды шифрования и их математическое обоснование.

Задачи:

}  Рассмотреть различные виды шифрования и их математическое обоснование.

}  Осуществить шифровку и дешифровку текста.

Гипотеза:

можно ли найти математические закономерности в создании шифров, а также их разгадывании.

2.Введение

Как только люди научились писать, у них сразу же появилось желание сделать написанное понятным не всем, а только узкому кругу. Даже в самых древних памятниках письменности учёные находят признаки намеренного искажения текстов: изменение знаков, нарушение порядка записи и т. д. Изменение текста с целью сделать его понятным только избранным дало начало науке криптографии (греч. «тайное письмо»). Процесс преобразования текста, написанного общедоступным языком, в текст, понятный только адресату, называют шифрованием, а сам способ такого преобразования называют шифром. Но если есть желающие скрыть смысл текста, то найдутся и желающие его прочитать. Методы чтения таких текстов изучает наука криптоанализ. Хотя сами методы криптографии и криптоанализа до недавнего времени были не очень тесно связаны с математикой, во все времена многие известные математики участвовали в расшифровке важных сообщений. И часто именно они добивались заметных успехов, ведь математики в своей работе постоянно имеют дело с разнообразными и сложными задачами, а каждый шифр — это серьезная логическая задача. Постепенно роль математических методов в криптографии стала возрастать, и за последнее столетие они существенно изменили эту древнюю науку. Одним из математических методов криптоанализа является частотный анализ, изложенный еще в IX веке ученым по имени Абу Юсуф Якуб ибн Ис-хак ибн ас Сабах ибн Исмаил Аль-Кинди. Для облегчения использования частотного анализа, изложенного в работе, автором составлена программа в языке Delphi для подсчета частоты каждого символа шифрованного текста. Сегодня защита информации одна из самых технологичных и засекреченных областей современной науки. Поэтому тема «Математика и шифры» современна и актуальна. Термин «криптография» далеко ушел от своего первоначального значения — «тайнопись», «тайное письмо». Сегодня эта дисциплина объединяет методы защиты информационных взаимодействий совершенно различного характера, опирающиеся на преобразование данных по секретным алгоритмам, включая алгоритмы, использующие секретные параметры.

3.Основная часть

3.1  .Каким должен быть шифр

При шифровании должны выполняться определенные условия. Во-первых, различные буквы должны обозначаться разными знаками: иначе получатель должен будет гадать, какую из нескольких букв обозначает тот или иной знак. Далее, шифр должен быть трудноразгадываем — легкие шифры можно применять лишь при условии, что у противника нет времени на разгадку. Наконец, секретность шифра должна сочетаться со сравнительной несложностью операции кодирования и раскодирования: иначе на них уйдет столько времени, что переданная информация устареет. А если раскодирование потребует слишком много усилий, то можно оказаться в положении легендарного писца. Он писал за плату письма на восточном базаре, но при этом взимал плату еще и как гонец. Дело было в том, что написанное им никто, кроме него самого понять не мог.

Поскольку в каждом шифре применяют конечное число различных знаков, то их можно перенумеровать и вместо самих знаков использовать их номера. Будем для простоты рассматривать шифры, в которых нет избыточности. Тогда число знаков равно числу букв в алфавите плюс знаки, обозначающий пробел между словами, точку, запятую, тире. Для русского языка можно обойтись 35 знаками.

При шифровании каждая буква или знак заменяются иной буквой или знаком. Но вместо букв и знаков можно брать соответствующие им числа. Тогда шифрование сведет к тому, что вместо одних чисел, соответствующих исходной букве или знаку, надо взять другое число. Например, напишем такую таблицу:

1	А	7	8	Ж	19	15	Н	20	22	Ф	9	29	Ы	5
2	Б	11	9	З	12	16	О	13	23	Х	18	30	Ь	14
3	В	1	10	И	17	17	П	22	24	Ц	30	31	Э	25
4	Г	2	11	Й	32	18	Р	10	25	Ч	27	32	Ю	28
5	Д	35	12	К	6	19	С	31	26	Ш	29	33	Я	26
6	Е	33	13	Л	3	20	Т	4	27	Щ	8	34	.	21
7	Ё	24	14	М	15	21	У	16	28	Ъ	34	35	,	23

В таблице показано (красным цветом), каким числом заменяется каждое из 35 чисел.

Слово «стол» теперь зашируется так: сначала записываем это слово цифрами 19, 20, 16, 13. А теперь смотрим в таблицу и видим, что числу 19 соответствует число 31, то есть буква «э», числу20-число 4, то есть буква «г», числу 16-число 13, то есть буква «л», а числу13-число 3, то есть буква «в». Получаем слово «эглв», то есть стол.

Сейчас я попробую зашифровать слово «дробь»: сначала записываем это слово цифрами 5,18,16,2,30.А теперь смотрим в таблицу и видим, что числу 5 соответствует число 35,то есть «,» ,числу 18-число10,то есть буква «и»,числу16-число13,то есть буква « л»,числу 2-число11,то есть буква « й»,числу30-число14,то есть буква «м».Получаем слово «,илйм»,то есть дробь.

3.2 Шифрование

Самые важные составляющие любого шифра – это общее правило, по которому преобразуется исходный текст ( алгоритм шифра), конкретная особенность именно этой серии шифрованных сообщений ( так называемый ключ).

Изменить текст с целью сделать его понятным только избранным дало начало науке криптографии. История криптографии – ровесница истории человеческого языка. Более того, первоначально письменность сама по себе была криптографической системой, так как в древних обществах ею владели только избранные. Священные книги Древнего Египта, Древней Индии тому примеры.

Например в древней Спарте было изобретено специальное устройство для шифрования текстов – сцитала. Сцитала представляет собой стержень, на который плотно, виток к витку наматывали ленту. Затем на ней писали текст (в моем случае – «Занимаемся математикой и шифрами»), располагая его вдоль оси стержня. Когда ленту снимали с цилиндра, на ней оставалась цепочка букв

(зстфаяирнмкаиаоммтйиаеиемшмаи), на первый взгляд, совершенно беспорядочная. У получателя шифровки был точно такой же цилиндр, на который он наматывал полученную ленту, после этого текст опять становился понятным.

Было придумано устройство – антисцитала: длинный конус, на который наматывали перехваченную шифровку. В той части конуса, диаметр был близок к диаметру сциталы, разрозненные буквы складывались в связный текст. Так можно было определить этот диаметр и прочитать сообщение.

С широким распространением письменности криптография стала формироваться как самостоятельная наука. Первые криптосистемы встречаются уже в начале нашей эры. Так, Цезарь в своей переписке использовал уже более менее систематический шифр, получивший его имя.

Цезарь Гай Юлий
12.7.100 до н. э до н. э.

Древнеримский государственный и политический деятель, полководец, писатель. Глава римского государства. Против него был организован заговор (более 80 чел.). В мартовские иды 44, во время заседания сената, он был убит.

Шифр Цезаря был устроен просто : каждая буква алфавита заменялась на другую, стоящую в алфавите на 3 места дальше.

а

б

в

г

д

е

ж

з

и

й

к

л

м

н

о

п

г

д

е

ж

з

и

й

к

л

м

н

о

п

р

с

т