Производная и дифференциал функции одной переменной (стр. 2 )

- , - ,

- , - .

4.5.1. Пусть функция определена в промежутке и . Если

(4.16)

то говорят, что функция при имеет левую (бесконечную) производную. Символика: . В этом случае график Г функции касается вертикальной прямой (имеющей уравнение ) в точке слева от точки (Рис. 4.4а и 4.4б).

График функции График функции

Рис. 4.4.а Рис. 4.4.б

Прямая называется вертикальной касательной графика Г функции в точке .

Аналогично определяется правая бесконечная производная.

4.5.2. Если функция в каждой точке x промежутка имеет (конечную) производную, если функция непрерывна в точке слева и если , то левая (бесконечная), производная существует и вычисляется по формуле

. (4.17)

Аналогично вычисляется правая (бесконечная) производная:

. (4.18)

Если и если существуют (бесконечные) односторонние производные и , то очевидно равен бесконечности, и поэтому говорят, что функция в точке имеет бесконечную производную. В этом случае график Г функции имеет в точке единственную вертикальную касательную K и вблизи этой точки своей структурой напоминает "клюв" (если и - разных знаков) или "перегиб" (если и - одного знака) (Рис. 4.5а, б, в, г).

а) , ;

б) , ;

в) ;

г) .

График функции График функции

, ,

Рис. 4.5.а Рис. 4.5.б

График функции График функции

Рис. 4.5.в Рис. 4.5.г

4.5.3. Найдём производную функции . При имеем

.

Областью определения функции является вся числовая ось, областью определения производной является вся числовая ось, кроме точки .

По формулам (4.17) и (4.18) имеем

,

,

т. е. около точки график Г имеет форму "клюва" (Рис.

4.6).

График функции

Рис.4.6

4.6.1. Пусть функция определена в промежутке , точка , - приращение аргумента такое, что , - приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде:

, (4.21)

где А - некоторое число, не зависящее от , (число А зависит, вообще говоря, от ),

- бесконечно малая функция аргумента при , т. е. .

При функция , вообще говоря, не определена, и ей в этой точке можно придать любое значение. Для дальнейшего удобно считать, что . Тогда функция будет непрерывна в точке и равенство (4.21) можно будет распространить и на значение . Строго говоря, множитель зависит не только от , но и от , т. е. .

4.6.2. ЗАМЕЧАНИЕ. Второе слагаемое в правой части (4.21) можно переписать в виде , так как обе функции и являются бесконечно малыми при и произведение этих функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем . Таким образом, выражение (4.21) можно переписать в виде

.

4.6.3. ТЕОРЕМА. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную.

4.6.4. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда функция имеет в точке конечную производную.

Доказательство необходимости. Приращение в точке , соответствующее приращению аргумента имеет вид (4.21). Считая и, поделив обе части выражения (4.21) на , получим

.

Правая (а потому и левая) часть равенства имеет предельное значение (предел), равный А при . Следовательно,

,

т. е. функция при имеет (конечную) производную .

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть существует (конечная) функции в точке , тогда функция дифференцируема в точке .

Доказательство достаточности. По условию

(4.22)

и - число.

Положим

. (4.23)

Из существования предела (4.22) вытекает, что функция - бесконечно малая при . Умножая левую и правую часть равенства (4.23) на , приходим к выражению

,

совпадающему с (4.21) при , т. е. функция дифференцируема в точке .

Достаточность доказана.

4.6.5. Замечание. Из теоремы раздела 4.6.3 следует, что понятие дифференцируемости функции в точке эквивалентно понятию существования у функции в точке (конечной) производной. Поэтому в дальнейшем операцию отыскания (конечной) производной будем называть операцией дифференцирования.

4.7.1. ТЕОРЕМА. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

4.7.2. Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке , то для её приращения в точке справедливо представление

,

из которого следует, что

.

А это и означает (см. раздел 3.1.1) что функция непрерывна в точке .

4.7.3. Замечание. Утверждение, обратное теореме раздела 4.7.1 несправедливо: из непрерывности функции в точке не вытекает, вообще говоря, её дифференцируемость в точке . Примером такой функции является функция , которая непрерывна при , но, (как видно из примера раздела 4.4.5) не имеет в этой точке (конечной) производной и, следовательно, не дифференцируема в точке .

4.7.4 Пример. Покажем, что функция в точке не является дифференцируемой. В точке приращение аргумента соответствует приращение функции

. Откуда .

Переходя к пределу отношения при , получим

,

т. е. функция в точке не имеет конечной производной, т. е. не является дифференцируемой. График функции Г функции в точке имеет вертикальную касательную - ось Оy, угловой коэффициент которой равен бесконечности (Рис. 1.15).

4.8.1. Величина называется дифференциалом (точнее первым дифференциалом) функции в точке . Символика:

, (4.26)

или, если x - произвольная точка, то

.

4.8.2. Пусть функция дифференцируема в точке , что эквивалентно существованию (конечной) производной , т. е. приращение такой функции может быть записано в виде суммы двух слагаемых:

,

где множитель таков, что . Первое слагаемое ( линейно относительно приращения , а второе является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем приращение . Поэтому, если , то первое слагаемое - главная линейная часть приращения функции в точке , а второе слагаемое - "хвост", который является бесконечно малой функцией более высокого порядка.

Таким образом, в случае дифференцируемой в точке функции и в случае дифференциал есть главная линейная часть приращения . Эта главная линейная часть приращения является линейной однородной функцией аргумента .

Удобно ввести в рассмотрение понятие дифференциала аргумента x. При этом следует различать два случая:

1) аргумент x есть независимая переменная,

2) аргумент x является дифференцируемой функцией некоторой переменной t, которую можно считать независимой.

В случае 1) принято отождествлять дифференциал аргумента с его приращением, т. е. считать, что .

Это соглашение вполне правомерно, ибо независимая переменная x может рассматриваться как функция вида , для которой , т. е. .

В случае 1) равенство (4.25) принимает вид

. (4.28)

Но из этого соотношения следует, что

. (4.29)

Следовательно, производную функции в точке можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Случай 2) будет рассмотрен ниже. Для него представление (4.28) также справедливо.

4.8.3. Геометрический смысл дифференциала.

Пусть точка на графике Г функции соответствует значению аргумента (Рис. 4.7), точка - значению аргумента , прямая К - касательная к графику Г функции в точке , - угол между положительным направлением оси Оx и касательной К.

График функции ,

Рис. 4.7

Пусть , , - точка пересечения касательной К с прямой NP. Тогда приращение функции равно величине (т. е. длине со знаком) отрезка NP. Из прямоугольного треугольника получаем

,

т. е. дифференциал функции функции в точке равен величине отрезка NQ. На Рис. 4.7 видно, что величины отрезков NQ и NP различны.

Таким образом, дифференциал функции в точке равен приращению "ординаты касательной" К к графику этой функции в точке . Приращение есть приращение "ординаты самой функции" в точке , соответствующее приращению аргумента, равному . На Рис. 4.7 величина отрезка QP равна "хвосту" . На Рис. 4.7 хорошо видно, что с уменьшением величина отрезка QP уменьшается быстрее, чем величина отрезка NQ.

Напомним, что величина вертикального отрезка есть его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка (от начала к концу) совпадает с положительным направлением оси Оy. Величина вертикального отрезка есть его длина, взятая со знаком минус, если направление отрезка (от начала к концу) противоположно положительному направлению оси Оy.

4.8.4.Пусть функция дифференцируема в точке , и для простоты полагаем, аргумент x является независимой переменной. Для приращения функции в точке и её дифференциала имеем следующие выражения

,

,

где множитель таков, что . Оценим разность :

.

Она, как мы видим, становится как угодно малой при уменьшении . Т. е. в приближённых вычислениях можно положить

. (4.30)

Целесообразность такой замены оправдывается тем, что дифференциал есть линейная функция от (и его проще вычислять), в то время как приращение является, вообще говоря, нелинейной, т. е. более сложной функцией аргумента .

Так как и , то равенство (4.30) можно переписать в виде

(4.31)

или

. (4.32)

Приближённое равенство (4.32) также как и (4.30) справедливо для любой дифференцируемой в точке функции с точностью до величины более высокого порядка малости, чем величина . Формула (4.32) используется для приближённого вычисления частных значений различных функций.

4.8.5. Найдём приближённое значение . В нашем случае , , , , , . Используя формулу (4.32) имеем

.

Выпишем четыре верных знака после запятой для числа : .

4.9.1. Рассмотрим правила дифференцирования суммы, произведения и частного дифференцируемых функций и приведём формулы для вычисления производных простейших элементарных функций. Отметим, что при выводе формул и практическом вычислении производных обычно пишут не , а просто x, но при этом x считают фиксированным.

4.9.2. Теорема (о производной суммы, произведения и частного).

Если функции и дифференцируемы в точке , то сумма, произведение и частное этих функций (частное при условии ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место формулы: