Производная и дифференциал функции одной переменной (стр. 1 )

Производная и дифференциал функции одной переменной

4.1.1. Пусть в некотором промежутке определена функция . Пусть точка и пусть её приращение такое, что . Тогда функция получит приращение в точке .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции в точке называется предельное значение (предел) отношения приращения функции к приращению аргумента при , т. е.

. (4.1)

Для обозначения производной функции в точке используется следующая символика:

, , , , .

Из этих символов первый используется чаще других.

Итак, по определению

. (4.2)

4.1.2. Если предельное значение (предел) есть конечное число, то производная называется конечной, если предельное значение (предел) равно бесконечности, то производная называется бесконечной. Если предельного значения (предела) не существует (ни конечного, ни бесконечного), то говорят, что функция в точке производной не имеет (производная функции в точке не существует).

4.1.3. Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке множества А, тогда производная представляет собой функцию аргумента x , определённую на множестве А. Частное значение функции называется частным значением (для краткости - значением) производной в точке (символика ).

4.1.4. Используя определение производной, вычислим производную функции в точке . Придавая аргументу x в точке приращение функции:

.

Составим отношение

.

Найдём предел этого отношения при :

.

Таким образом, значение производной функции в точке равна числу , т. е. . Для любого имеем. Следовательно, функция есть производная функции для .

УПРАЖНЕНИЯ.

Используя определение производной найти производные следующих функций в точке :

, , , , , , ,, , .

4.2.1. Пусть функция определена и непрерывна в промежутке . Пусть, далее, точка графика Г функции соответствует некоторому значению аргумента , а точка - значению аргумента , где - приращение аргумента. Проведём через точки и прямую S и назовём её секущей. Имеем , . Обозначим через угол между положительным направлением оси Ox и секущей. Очевидно, этот угол зависит от (Рис.4.1).

График функции

Рис.4.1

4.2.2. УТВЕРЖДЕНИЕ. Если функция в точке имеет конечную производную , тогда существует невертикальная касательная к графику Г функции в точке . Угловой коэффициент k этой касательной K (т. е. тангенс угла наклона касательной к оси Ox) равен значению производной в точке , т. е. .

4.2.3. Из Рис. 4.1 следует, что

,

откуда получаем

. (4.3)

По условию, существует (конечная) производная , т. е. существует предельное значение (предел) . Из непрерывности функции для всех значений u следует, что существует (конечное) предельное значение правой части выражения (4.3) равное . Таким образом, доказано, что существует (конечное) предельное значение

.

Это означает, что существует предельное положение секущей S, т. е. существует касательная к графику Г функции в точке , причём угол наклона этой касательной к оси Ox равен , откуда .

Утверждение доказано.

4.2.4. Равенство , где - угол между положительным направлением оси Ox и касательной K к графику Г функции в точке , принято называть геометрической интерпретацией (смыслом) производной.

4.2.5. ПРИМЕР. Найдём угловой коэффициент касательной K к графику Г функции в точке с абсциссой и составим уравнение этой касательной K.

Угловой коэффициент касательной K равен в точке с абсциссой , поэтому . Чтобы составить уравнение касательной, следует написать известное из геометрии уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом k

и вместо k подставить значение производной , а вместо - значение функции . Итак, имеем

или окончательно получаем уравнение касательной

.

4.3.1. В экономической теории и её приложениях часто используются величины, зависящие от времени t, которое в одних случаях принимает только дискретные значения (неделимой единицей времени может быть один год, один квартал, один месяц и т. п.), в других время меняется непрерывно. Величина, значения которой определяются на практике только в дискретные моменты времени (например, величина национального дохода в году t, в году t+1 и т. п.) может с помощью интерполяции (см. раздел 1.4.12) стать величиной, которая зависит от времени непрерывно, т. е. стать функцией не дискретного, а непрерывного времени t. Тогда отношение

(4.6)

представляет собой среднюю скорость изменения показателя на временном отрезке . Значение скорости изменения показателя может быть столь же важным, как и значение самого показателя. Если отрезок стягивается в точку , то естественно говорить о мгновенной скорости показателя в точке . Мгновенная скорость показателя в точке , как правило, хорошо аппроксимирует (приближает) значение средней скорости на отрезке достаточно малой длины. А мгновенная скорость изменения показателя в точке есть не что иное, как значение производной функции в точке :

. (4.7)

Таким образом, значение производной функции по времени может быть полезным для приближённой характеристики средней скорости изменения экономического показателя на относительно малом временном отрезке , ибо

(4.8)

если разность достаточно мала. Отмеченное обстоятельство представляет собой вариант экономической интерпретации (смысла) производной. Ещё два варианта экономической интерпретации даются в разделах 4.3.2 и 4.3.3.

4.3.2. В экономической теории и её приложениях в отношениях вида

(4.9)

независимая переменная не обязательно является временем.

Пусть функция есть функция полезности индивидуума (см. раздел 1.9.7), т. е. функция, частное значение которой равно уровню удовлетворения потребностей индивидуума, если он приобретает или потребляет некоторый продукт (товар) в количестве единиц. Тогда отношение

(4.10)

показывает, насколько изменится уровень удовлетворения потребностей индивидуума, если объём приобретаемого или потребляемого им продукта (товара) изменится на величину . Проще всего выписанная дробь интерпретируется, если изменение равно одной единице.

Дробь (4.13) при относительно малой разности (или если разность ) называется предельной полезностью продукта (товара) в точке (см. раздел 1.9.7). Строго говоря, это так называемый конечный (и не совсем точный) вариант понятия предельной полезности.

Более точно понятие предельной полезности определяется как

, (4.11)

т. е. как значение производной функции полезности в точке .

В разделе 1.9.7 было показано, что предельная полезность убывает, если объём потребляемого продукта (товара) растёт (закон убывающей предельной полезности). Этот закон тем более верен для предельной полезности, значения которой принимаются равными значениям производной функции полезности .

Для содержательных рассуждений более удобным является конечный вариант предельной полезности, для формальных преобразований больше подходит вариант предельной полезности в форме производной функции полезности. Эти два варианта предельной полезности мало отличаются друг от друга, если разность достаточно мала. Говорят, что второй вариант предельной полезности аппроксимирует (приближает) первый.

4.3.3. Пусть функция есть производственная функция (см. раздел 1.9.8) т. е. функция, частное значение которой равно (максимально возможному) объёму выпускаемой фирмой продукции, если ресурс фирмой затрачивается (используется) в количестве единиц. Тогда отношение

показывает, насколько изменится объём выпускаемой фирмой продукции, если объём затрачиваемого (используемого) ресурса изменится на величину . Дробь при относительно малой разности (или если разность ) называется предельной производительностью ресурса в точке (см. раздел 1.9.8). Строго говоря, это так называемый конечный (и не совсем точный) вариант понятия предельной производительности. Более точно понятие предельной производительности определяется как

,

т. е. как значение производной производственной функции в точке .

Взаимосвязь между конечным вариантом предельной производительности и предельной производительности в форме производной производственной функции аналогична взаимосвязи, описанной в конце раздела 4.3.2.

4.3.4. В разделах 4.было рассмотрено три варианта экономической интерпретации (смысла) производной. В разделе 4.15.1 приведено фундаментальное понятие экономической теории - понятие эластичности, включающее в себя в качестве составной части понятие производной. Основы дифференциального исчисления функции одной переменной (и нескольких переменных) используются в качестве эффективного средства решения многих задач экономической теории и хозяйственной практики. Это средство в рамках экономической теории принято называть предельным анализом.

4.4.1. В полной аналогии с понятиями левого и правого предельных значений (пределов) функции в точке (см. раздел 2.6.1) вводится понятие левой и правой производной функции в точке (более точная терминология: производная слева в точке , производная справа в точке ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Левой (конечной) производной функции в точке называется конечное предельное значение (предел)

, (4.12)

( - точка из области определения функции ).

В этом случае график Г функции касается в точке невертикальной прямой слева от точки . Поэтому прямая называется левой касательной графика Г в точке . Левая производная функции в точке обозначается символом

Аналогично определяется правая (конечная) производная функции в точке :

. (4.13)

В этом случае график Г функции имеет в точке правую касательную (см. Рис. 4.2).

Односторонние касательные графика функции

в точке

Рис. 4.2

Левую и правую производную принято называть односторонними производными.

Из сопоставления равенств (4.7), (4.15) и (4.16) и из свойств левого и правого предельных значений (пределов) функции в точке (см. разделы 2.6.2 и 2.6.3) вытекают утверждения:

1)  Если функция имеет в точке производную , то эта функция имеет в точке как левую, так и правую производные, причём ;

2)  Если функция имеет в точке как левую, так и правую производные, причём , то функция имеет в точке производную , причём .

4.4.2. Если в каждой точке x промежутка функция имеет (конечную) производную, если она непрерывна в точке слева и если существует и конечен, то левая (конечная) производная существует и вычисляется по формуле

. (4.14)

Приведённое утверждение будет доказано в главе пятой.

4.4.3. Если в каждой точке x промежутка функция имеет (конечную) производную, если она непрерывна в точке справа и если существует и конечен, то правая (конечная) производная существует и вычисляется по формуле

. (4.15)

Приведённое утверждение будет доказано в главе пятой.

4.4.4. Если точка и если функция имеет конечные (и неравные друг другу) односторонние производные и , то при производной (ни конечной, ни бесконечной) не существует, и в точке график Г функции имеет односторонние касательные и , образующие угол. Точка - угловая (Рис.4.2).

В дальнейшем односторонние производные при будут находиться как с помощью формул (4.17) и (4.18), так и исходя из определения левой и правой производной по формулам (4.15) и (4.16).

4.4.5. ПРИМЕР. Найдём односторонние производные функции в точке , используя формулы (4.15) и (4.16).

,

.

Но так как , то функция не имеет в точке производной. Отметим, что функция непрерывна в точке и не имеет производной в этой точке.

4.4.6. ПРИМЕР. Найдём односторонние производные функции

,

используя формулы (4.17) и (4.18).

При имеем , так что и . При имеем , так что и . Имеем

,

,

,

.

График Г функции изображён на рис. 4.3.

График функции

Рис. 4.3

Точки и - "угловые". График Г в точке имеет левую касательную и правую - , в точке - левую касательную и правую - . Уравнения этих касательных имеют вид: