Производная и дифференциал функции одной переменной (стр. 3 )

, (4.33)

, (4.34)

. (4.35)

4.9.3. Доказательство теоремы раздела 4.9.2. Рассмотрим отдельно случаи суммы, произведения и частного.

4.9.4. Пусть . Обозначим символами , , приращения функций , , в данной точке , соответствующие приращению аргумента . Тогда

.

Таким образом

. (4.36)

Пусть . Тогда в силу существования (конечных) производных функций и в точке теоремы об арифметических операциях над функциями, имеющими предельные значения (пределы) (см. разделы 2.3.11 и 2.5.4), существует конечное предельное значение (предел) при правой части (4.36) равное . Значит, существует предельное значение и левой части. По определению производной указанное предельное значение равно и мы приходим к требуемому равенству

.

4.9.5.Пусть . Тогда

.

(Здесь мы прибавили и вычли слагаемое ).

Таким образом,

. (4.37)

Пусть . Тогда в силу дифференцируемости функций и существуют предельные значения отношений и равные соответственно и . Так как функция дифференцируема в точке , а значит, непрерывна в точке (по теореме 4.8.1), то

.

Используя теорему об арифметических операциях над функциями, имеющими конечные предельные значения (см. разделы 2.3.11 и 2.5.4), заключаем, что предельное значение правой части (4.37) существует и равно

.

Значит, существует конечное предельное значение при и левой части (4.37). По определению производной оно равно и мы приходим к требуемой формуле:

.

4.9.6. Пусть . Поскольку , то по теореме об устойчивости знака непрерывной в данной точке функции (см. 3.10.1), справедливо неравенство для достаточно малых , и мы можем записать

.

Добавляя и вычитая в числителе слагаемое , будем иметь

.

Разделим обе части полученного равенства на и получим

. (4.38)

Пусть . В силу дифференцируемости (и вытекающей из неё непрерывности) функций и в точке существуют (конечные) предельные значения:

, , .

Таким образом, в силу условия и теоремы об арифметических операциях над функциями имеющими (конечные) предельные значения, существует (конечное) предельное значение правой части равенства (4.38)

.

Значит, существует (конечное) предельное значение и левой части равенства (4.38) и они равны. По определению он равно и мы получаем требуемую формулу:

.

Теорема раздела 4.9.2 доказана.

4.10.1. Производная постоянной функции равна нулю.

Пусть в промежутке мы имеем функцию , где С - постоянная. Для этой функции для любых и , таких, что , имеем . При любом имеем и, следовательно

.

4.10.2. Замечание. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Действительно, если , то

,

то есть

.

4.10.3. Производная степенной функции имеет вид

, .

Имеем , где - целое положительное число. Используя формулу бинома Ньютона, имеем

.

При получаем

.

Так как , , то

.

4.11.4. , .

Имеем

.

.

При получаем

.

Так как (первый замечательный предел) и (в силу непрерывности косинуса), то

.

.

4.10.5. , .

Имеем

.

.

При имеем

.

Так как (первый замечательный предел) и (в силу непрерывности синуса), то окончательно получим

.

4.10.6. , .

Имеем , . По формуле производной частного получаем

4.10.7. .

Доказательство аналогично доказательству для .

4.10.8. .

Напомним, что означает символ : .

Имеем

, .

При получаем

.

Положив , имеем (второй замечательный предел), а так как логарифмическая функция является непрерывной, то

.

Если , то .

4.11.1.Теорема (о производной обратной функции).

Пусть функция строго монотонна и непрерывна в некоторой δ - окрестности точки и имеет в точке (конечную) производную . Тогда обратная функция имеет в соответствующей точке (конечную) производную, причём

.

4.11.2. Доказательство. Так как функция непрерывна и строго монотонна в некоторой δ - окрестности точки , то согласно теореме раздела 3.5.1 в некоторой окрестности соответствующей точки определена функция обратная относительно функции .

Дадим аргументу обратной функции некоторое приращение в точке . Функция получит некоторое приращение причём, в силу строгого возрастания (или строгого убывания) обратной функции . Следовательно, можно записать

.

Пусть . Так как обратная функция непрерывна в точке (согласно теореме раздела 3.5.1), то при . Но при предельное значение правой части равенства существует и равно (напомним, что по условию ). Следовательно, существует предельное значение и левой части равенства, которое по определению равно . Таким образом, получаем, что

.

Теорема раздела 4.11.1 доказана.

4.11.3. , .

Показательная функция является обратной для логарифмической функции . Следовательно

.

В силу теоремы о производной обратной функции (см. раздел 4.11.1) имеем

.

Если , то .

4.11.4. , .

Функция является обратной для функции . По теореме о производной обратной функции (см. раздел 4.11.1) получаем:

.

Корень взят со знаком плюс, так как положителен в промежутке . Учитывая, что , окончательно имеем

.

4.11.5. , .

Для доказательства достаточно вспомнить формулу

.

4.11.6. , .

Функция является обратной для функции . Так как , то

.

Но , следовательно

.

4.11.7. , .

Для доказательства достаточно вспомнить формулу

.

4.12.1. Пусть дана сложная функция такая, что её можно представить в виде

, .

В выражении переменную называют промежуточной переменной (промежуточным аргументом).

4.12.2. Теорема (о производной сложной функции).

Пусть функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке . Тогда сложная функция дифференцируема в точке , причём для её производной в точке справедлива формула:

, (4.39)

где вместо должно быть поставлено , или, опуская значения аргументов,

,

т. е. производная сложной функции равно произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по .

4.12.3. Доказательство. Приращению аргумента в точке соответствует приращение функции . Приращению в свою очередь отвечает приращение функции в точке . По условию функция дифференцируема в точке , поэтому её приращение в этой точке может быть представлено в виде

(4.40)

где функция такова, что .

Поделив это равенство на , будем иметь

. (4.41)

Из дифференцируемости функции в точке следует, что 1) и 2) функция непрерывна в точке (см. теорему раздела 4.8.1), откуда на основании разностной формы условия непрерывности получаем, что , а значит и . Предельное значение правой части (4.41) при равно

.

Таким образом, правая часть равенства (4.41) имеет (конечное) предельное значение. Следовательно, и левая часть этого равенства имеет то же предельное значение, которое, по определению, равно , т. е.

= ,

или, опуская значения аргументов, получаем

.

Теорема раздела 4.12.2 доказана.

4.12.4. Замечание. Теорема раздела 4.12.2 и содержащаяся в её формулировке правило вычисления производной сложной функции последовательно переносятся на сложные функции

, и т. п.

4.12.5. Пример. Найдём производную функции . Имеем

, т. е.

.

4.12.6. Пример. Найдём производную функции . Имеем

.

4.12.7. Пусть , где - любое действительное число, . Степенную функцию можно рассматривать как сложную функцию вида

.

По правилу дифференцирования сложной функции , где , имеем

,

т. е.

.

4.13.1. Таблица производных элементарных функций.

1. . 6. .

(С - постоянная)

2. . 7. .

3. . 8. .

. . 9. .

4. . 10.

. . 11.

5. 12.

4.14.1. Формулы для отыскания дифференциалов суммы, произведения и частного дифференцируемых функций имеют вид:

1)  ,

2)  ,

3)  .

Докажем эти формулы. Имеем

1)  .

2)

.

3)

.

4.15.1. Производная входит в качестве существенной составной части в одно из фундаментальных понятий экономической теории - в понятие эластичности одной переменной по другой переменной.

Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке некоторого промежутка . Эластичностью переменной по переменной называется следующее выражение