Производная и дифференциал функции одной переменной (стр. 4 )

.

Производная , где - угол между положительным направлением оси Оx и касательной к графику Г функции в точке . Отношение , где - угол между положительным направлением оси Оx и хордой, которая соединяет точку и точку графика Г функции (см. Рис 4.8 и Рис. 4.9).

График функции График функции

Рис. 4.8 Рис. 4.9

Следовательно

.

Это равенство даёт геометрическую интерпретацию понятия эластичности переменной по переменной .

Если функция убывает с ростом x, то , (см. Рис. 4.8). Если функция возрастает с ростом x, то , (см. Рис. 4.9).

Только что введённое понятие эластичности следует назвать предельной эластичностью (или точечной эластичностью) переменой y по переменной x в точке .

Пусть, например, функция есть функция спроса (см. раздел 1.9.4), тогда переменная y принимает значения объёмов продукта (товара), на которые предъявляется спрос (индивидуальный или рыночный - в зависимости от постановки задачи), а переменная x играет роль цены за единицу объёма этого продукта (товара) . В случае функции спроса эластичность называется эластичностью функции спроса по цене в точке (при цене ).

Аналогично, эластичность переменной по переменной в точке называется эластичностью предложения по цене в точке (при цене ), если есть функция предложения ( (см. раздел 1.9.5).

Эластичность спроса по цене в точке приближённо равна

,

или, опуская промежуточные звенья этой длинной цепочки,

.

Последняя дробь последней цепочки показывает, на сколько процентов изменится величина спроса на продукт, если её цена изменится на один процент. Отмеченное обстоятельство характеризует по существу эластичность спроса по цене как относительную величину, равную частному двух относительных величин.

Аналогично содержательно интерпретируется по существу эластичность предложения по цене как величина, которая показывает, насколько процентов изменится величина предложения на продукт, если его цена изменится на один процент.

В связи с тем, что функция спроса убывает с ростом цены, эластичность спроса по цене есть величина отрицательная (точнее, не положительная), а эластичность предложения по цене есть величина положительная (точнее, не отрицательная).

4.16.2. Пусть функция спроса имеет вид , тогда эластичность спроса по цене равна

,

т. е. в случае функции спроса эластичность спроса по цене .

Пусть функция спроса имеет вид , тогда эластичность спроса по цене равна

,

т. е. эластичность меняется с изменением цены.

Пусть функция предложения имеет вид , тогда эластичность предложения по цене равна

.

Пусть функция предложения имеет вид , тогда эластичность предложения по цене равна

,

т. е. эластичность меняется с изменением цены.

Упражнения.

1.Определить эластичность спроса по цене для следующих функций спроса

, , .

2. Определить эластичность предложения по цене для следующих функций предложения

, , .

4.17.1. Если является независимой переменной, то дифференциал дифференцируемой функции, как мы уже знаем, имеет вид

. (4.42)

Пусть не является независимой переменной, а дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной , т. е. пусть функция является сложной функцией от , а именно , , т. е.

.

Так как аргумент является независимой переменной, то для сложной функции и для функции дифференциалы представимы в форме:

, . (4.43)

По теореме о производной сложной функции (см. Раздел 4.13.1) имеем

(4.44)

Подставляя (4.44) в первую из формул (4.43), получаем

,

Так как согласно второй формуле (4.43) , то окончательно имеем выражение для

,

совпадающее с (4.42).

Таким образом, форма (первого) дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функцией другого независимого аргумента. Это свойство первого дифференциала принято называть инвариантностью формы первого дифференциала.

4.18.1. Производная функции сама является некоторой функцией от (см. раздел 4.2.3). Следовательно, по отношению к функции (т. е. по отношению к ) можно ставить вопрос о нахождении её производной.

Назовём производную производной первого порядка (или первой производной).

Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка (или второй производной).

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т. д.

Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка и обозначаются , или .

4.18.2. Пример. Найдём производную третьего порядка от функции .

.

.

4.19.1. Пусть дана функция , где x - независимая переменная. Функция дифференцируема в каждой точке x некоторого промежутка. Тогда её дифференциал

,

называемый дифференциалом первого порядка, или первым дифференциалом, является функцией двух переменных: аргумента x и дифференциала (ибо x и могут меняться независимо друг от друга).

Дифференциалом второго порядка в точке x, или вторым дифференциалом назовём первый дифференциал в этой точке от первого дифференциала:

. (4.45)

Дифференциалом третьего порядка в x, или третьим дифференциалом назовём первый дифференциал в этой точке от второго дифференциала:

и т. д.

При вычислении дифференциалов высших порядков важно помнить, что не зависит от x. Поэтому при дифференцировании по x следует рассматривать как постоянный множитель. В таком случае будем иметь, предполагая существование соответствующих производных:

,

.

Легко угадываемый общий закон

можно доказать методом математической индукции. Из него следует, что

.

4.19.2. Покажем, что если не является независимой переменной, то уже второй дифференциал не обладает инвариантностью формы.

Пусть и , и пусть эти функции являются дифференцируемыми соответствующее число раз. Переменную можно рассматривать как сложную функцию от

.

Её первый дифференциал по можно записать в виде

, где . (4.46)

Вычисляем второй дифференциал по

.

Дифференциал можно, пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала, записать в форме: , так что окончательно получаем

(4.47)

или, короче

. (4.48)

Если бы переменная была независимой, то , так как есть постоянная при изменении величина, и тогда

(4.49)

Сравнение (4.48) и (4.49) показывает, что если не является независимой переменной, то в выражении (4.48) для появляется аддитивный «хвост» , которого нет в выражении (4.49) для в случае, когда переменная - независимая.

4.20.1. Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой уравнением

. (5.55)

Если функция , определённая на некотором интервале такова, что уравнение (4.55) при подстановке в него вместо y выражения обращается в тождество, т. е.

,

то есть неявная функция, определённая уравнением (4.55) (см. раздел 1.6.1). Термины «явная функция» и «неявная функция» характеризует не природу функции, а способ задания. Каждая явная функция может быть представлена и как неявная

.

4.20.2. Пример. Уравнение

(4.56)

неявно определяет бесконечно много неявных функций, задаваемых уравнением (4.56). Функциями, задаваемыми уравнением (4.56), например, являются функции

, , ,

.

Если наложить дополнительные условия, которым должна удовлетворять неявная функция , задаваемая уравнениями (4.56), то может оказаться, что такая неявная функция может не только существовать, но и будет единственной. Так, если потребовать, чтобы и чтобы была определена на отрезке , то существует единственная неявная функция, а именно функция , для которой выполняются эти требования.

4.20.3. Если дифференцируемая функция удовлетворяет уравнению (4.55), то для нахождения производной этой неявной функции достаточно:

1) вычислить производную по x левой части уравнения (4.55), считая y функцией от x,

2) приравнять эту производную нулю, т. е. положить

,

3) решить полученное уравнение относительно .

4.20.4. Пример. Найдём производную неявной функции y, задаваемой уравнением

.

Находим производную левой части этого уравнения и приравниваем её к нулю

.

Решаем полученное уравнение относительно и получаем ответ

.

Обратим внимание на то, что для того, чтобы выписать выражение от производной неявной функции , не требуется выражение этой неявной функции.

4.20.1. Пусть функции

и (4.50)

одной переменной определены и непрерывны в одном и том же промежутке. Если функция строго монотонна, то обратная к ней функция определена, непрерывна и строго монотонна (см. теорему раздела 3.5.1). Поэтому переменную можно рассматривать как функцию от переменной через переменную , называемую параметром

.

В этом случае говорят, что функция задана параметрически с помощью уравнений (4.50) (см. раздел 1.5.1). Отметим, что функция непрерывна в силу теоремы о непрерывности сложной функции (см. раздел 3.3.1).

4.20.2. Пример. Пусть , , . Так как функция строго убывает при , то заданные уравнения следует рассматривать как параметрическое задание функции от . Если выразить через из первого уравнения и подставить во второе, то получим искомую функцию переменной в явном виде. Ещё проще придём к цели, если заметим, что

.

Отсюда имеем или . Так как функция неотрицательна при , то выбираем знак плюс перед радикалом: . Если , то .

4.20.3. Пусть функции и имеют (конечные) производные, причём на некотором промежутке. Пусть функция строго монотонна, тогда (см. теорему раздела 3.5.1) существует обратная функция . По теореме о производной обратной функции (см. раздел 4.11.1) функция имеет производную , а по теореме о производной сложной функции (см. раздел 4.12.1) функция имеет производную

.

Следовательно,

или . (4.51)

Получили формулу (4.51) производной функции, заданной параметрически.

4.20.4. Пример. Найдём , если , .

По формуле (4.51) получаем

.

4.20.5. Вычислим вторую производную функции, заданной параметрически. Заметим, что функция в свою очередь также задана параметрическими уравнениями:

, .

Поэтому по формуле (4.51) имеем

.

Или, короче, имеем

. (4.52)

Производные более высоких порядков находятся аналогично.