МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Кемеровский государственный университет
УТВЕРЖДАЮ
РЕКТОР КЕМЕРОВСКОГО
ГОСУНИВЕРСИТЕТА
_______________________
"_____"__________2010_ г.
Рабочая программа дисциплины
«Интегральные уравнения и вариационное исчисление»
Направление подготовки
011200 Физика
Профиль подготовки
физика конденсированного состояния
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Кемерово
2010 г.
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины Интегральные уравнения и вариационное исчисление являются развитие логического мышления на примере обобщения понятия трехмерных линейных пространств на случай пространств произвольного числа измерений, овладение приемами работы с абстрактными величинами.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина Интегральные уравнения и вариационное исчисление представляет собой дисциплину базовой части цикла Математического и естественнонаучного цикла (Б2) и относится к модулю Математика. Дисциплина Интегральные уравнения и вариационное исчисление базируется на курсах цикла дисциплин естественнонаучных и профессиональных дисциплин (Б2 ), входящих в модуль Математика. Студенты, обучающиеся по данному курсу должны знать основы математического анализа, линейной алгебры дифференциальных уравнений, теории функций комплексной переменной.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Интегральные уравнения и вариационное исчисление»: ОК-1, 16, 17 ПК-10.
В результате освоения дисциплины Специализированные пакеты для решения задач физики твердого тела обучающийся должен:
· Знать: основные определения (основные интегральные уравнения, гильбертово пространство, базис и его полнота, операторы и алгебра операторов, представление, спектр и т. п. ), однородное и неоднородное уравнения Фредгольма второго рода, задачу Штурма-Лиувиля, принцип сжатых отображений, уравнение Вольтерра, необходимое и достаточные условия экстремума функционала, задачи на условный экстремум, с закрепленными границами и с подвижной границей.
· Уметь: уметь решать стандартные задачи.
· Владеть навыками выбора оптимального способа решения задач.
4. Структура и содержание дисциплины «Специализированные пакеты для решения задач физики твердого тела»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы 72 часов.
4.1. Объём дисциплины и виды учебной работы (в часах)
4.1.1. Объём и виды учебной работы (в часах) по дисциплине в целом
Вид учебной работы | Всего часов |
Общая трудоемкость базового модуля дисциплины | 72 |
Аудиторные занятия (всего) | 36 |
В том числе: | |
Лекции | 18 |
Семинары | 18 |
Самостоятельная работа | 36 |
В том числе: | |
реферат | |
Индивидуальные работы | 36 |
Вид промежуточного контроля | Зачёт |
Вид итогового контроля зачёт | Зачёт |
4.1.2. Разделы базового обязательного модуля дисциплины и трудоемкость по видам занятий (в часах)
№ п/п | Раздел Дисциплины | Семестр | Неделя семестра | Общая трудоёмкость (часах) | Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) | Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по семестрам) | |||
Учебная работа | В. т.ч. активных форм | Самостоятельная работа | |||||||
всего | лекции | Практ. | |||||||
1. | Введение | 4 | 1 | 10 | 2 | 4 | 4 | Контрольная работа. | |
2. | δ - функция Дирака и ее свойства | 4 | 2 | 6 | 4 | 1 | 2 | Контрольная работа. | |
3. | Гильбертово пространство | 4 | 3 | 10 | 2 | 2 | 1 | 6 | Лекционный диктант, Тест |
4. | Линейные операторы в гильбертовом пространстве | 4 | 4-5 | 16 | 4 | 4 | 1 | 8 | Лекционный диктант, Тест |
5. | Спектр операторов | 6 | 6 | 2 | 4 | 1 | Контрольная работа | ||
6. | Интегральные уравнения | 7 | 6 | 2 | 4 | ||||
7. | Понятие функционала, теоремы Рисса | 4 | 8 | 6 | 2 | 4 | Лекционный диктант | ||
8. | Вариационное исчисление | 4 | 9 | 12 | 4 | 8 | Коллоквиум | ||
Всего за семестр | 72 | 18 | 18 | 36 | зачёт |
4.2 Содержание дисциплины
Содержание лекций базового обязательного модуля дисциплины
№ | Наименование раздела дисциплины | Содержание раздела дисциплины | Результат обучения, формируемые компетенции |
1. | Введение | Уравнения в физике. Классификация интегральных уравнений и способы их решений. | ОК-1, 16, 17 ПК-10. |
2. | Гильбертово пространство | Гильбертово пространство и его размерность. Понятие кет - и бра-векторов. Оснащенное гильбертово пространство, критерий для дополнительных векторов, непрерывный базис. Представления кет-векторов. | ОК-1, 16, 17, ПК-10. |
3. | Линейные операторы в гильбертовом пространстве | Понятие оператора, абстрактные операторы и их представители. Линейные операторы. Алгебраические операции с операторами: равенство, сложение, умножение, возведение в степень. Коммутатор и его свойства. Обратный оператор, особенные и неособенные операторы и их свойства. Функция от операторов. Представление операторов, матричный элемент, интегральный оператор, ядро и его свойства. Эрмитово сопряжение. Сопряженные операторы и их свойства. Нахождение сопряженных операторов. Эрмитовы операторы и их свойства. Унитарные операторы и их свойства. Унитарное преобразование. Оператор проектирования и его свойства. Условия полноты базиса. Квазипроектор. Квазиспектральное разложение операторов. | ОК-1, 16, 17 ПК-10. |
4. | Спектр операторов | Определение собственных векторов и собственных значений, вырождение. Спектр оператора. Собственные вектора и собственные значения эрмитовых операторов. Дискретные и непрерывные спектры. Теорема о непрерывном спектре. Собственные векторы коммутирующих эрмитовых операторов: невырожденный и вырожденный спектр. Наблюдаемые. Снятие вырождения, полный набор наблюдаемых. Теорема о вырожденном спектре. | ОК-1, 16, 17, ПК-10. |
5. | Интегральные уравнения | Интегральные уравнения: основные определения, классификация. Интегральные уравнения Фредгольма первого и второго рода. Задача Штурма-Лиувилля. Интегральные уравнения Вольтерра первого и второго рода. | ОК-1, 16, 17 ПК-10. |
6. | Понятие функционала, теорема Рисса | Понятие функционала и его вариации, линейные функционалы, теорема Рисса. | ОК-1, 16, 17 ПК-10. |
7. | Вариационное исчисление | Основная задача вариационного исчисления: относительный и абсолютный экстремум функционала. Уравнение Эйлера. Понятие вариационной производной. Уравнение Остроградского. Условный экстремум. Неопределенные множители Лагранжа. Достаточное условие экстремума. Операторно-числовой функционал. Линейность и шпур. | ОК-1, 16, 17 ПК - 10. |
Содержание практических занятий базового обязательного модуля дисциплины
№ | Наименование раздела дисциплины | Содержание раздела дисциплины | Результат обучения, формируемые компетенции |
1. | Введение | Классификация интегральных уравнений и способы их решений. | ОК-1, 16, 17 ПК-10. |
2. | δ - функция Дирака и ее свойства | δ - функция Дирака и ее свойства. Производная от δ - функция Дирака. Физический смысл δ - функции Дирака. | ОК-1, 16, 17 ПК-10. |
3. | Гильбертово пространство | Кет - и бра-вектора. Представления кет-векторов. Скалярное произведение Кет - и бра-векторов. | ОК-1, 16, 17 ПК-10. |
4. | Линейные операторы в гильбертовом пространстве | Алгебраические операции с операторами: равенство, сложение, умножение, возведение в степень. Коммутатор и его свойства. Функция от операторов. Нахождение сопряженных операторов. Унитарное преобразование. Оператор проектирования и его свойства. Условия полноты базиса. | ОК-1, 16, 17 ПК-10. |
5. | Спектр операторов | Определение собственных векторов и собственных значений, вырождение. Нахождение спектра оператора. Нахождение собственных векторов и собственных значений эрмитовых операторов. | ОК-1, 16, 17 ПК-10. |
5. Образовательные технологии:
Лекции, практические занятия, консультации, индивидуальные работы, самостоятельные работы, компьютерные симуляции, зачет.
При реализации программы дисциплины Интегральные уравнения и вариационное исчисление используются различные образовательные технологии – во время аудиторных занятий (18 часа) занятия проводятся в виде лекций с использованием ПК и компьютерного проектора и практических занятий в компьютерном классе физического факультета КемГУ с использованием специальных и вычислительных программ, а самостоятельная работа студентов подразумевает работу под руководством преподавателей (консультации и помощь в написании рефератов и при выполнении практических работ (18 часов) и индивидуальную работу студента (36 часов).
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
6.1. Примерные темы рефератов
Не предусмотрен.
6.2. Контрольные вопросы и задания для промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
В течение преподавания курса Интегральные уравнения и вариационное исчисление в качестве форм текущей аттестации студентов используются такие формы, как контрольная работа, лекционный диктант, тест, коллоквиум. По итогам обучения в 4-ем семестре проводится зачет.
Контрольные вопросы и задания:
1. Найти коммутатор 
.
2. Определить тип оператора и найти его собственные функции: 
.
3. Найти результат действия оператора (
+
) на функцию (cos(x)+isin(x)).
4. Принадлежит ли оснащенному Гильбертову пространству функция 
.
5. Доказать, что спектр эрмитового оператора 
, где 
- вырожден.
6. Гильбертово пространство и его размерность. Понятие кет - и бра-векторов.
7. Понятие оператора, абстрактные операторы и их представители. Линейные операторы.
8. Алгебраические операции с операторами: равенство, сложение, умножение, возведение в степень.
9. Сопряженные операторы и их свойства. Нахождение сопряженных операторов.
10. Определение собственных векторов и собственных значений, вырождение. Спектр оператора.
Вопросы и задания для индивидуальной и самостоятельной работы.
1. Производная от δ - функция Дирака.
2. Физический смысл δ - функции Дирака.
3. Функция от операторов.
4. Интегральные уравнения Фредгольма первого и второго рода.
5. Задача Штурма-Лиувилля.
6. Интегральные уравнения Вольтерра первого и второго рода.
7. Основная задача вариационного исчисления: относительный и абсолютный экстремум функционала.
8. Уравнение Эйлера.
9. Понятие вариационной производной.
10. Уравнение Остроградского.
11. Неопределенные множители Лагранжа..
12. Условный экстремум. Достаточное условие экстремума.
13. Операторно-числовой функционал.
14. Линейность и шпур.
15. Квазипроектор. Квазиспектральное разложение операторов.
Вопросы к зачету.
1. δ - функция Дирака, определения и свойства.
2. Производные от δ - функции.
3. Функции Чебышева-Эрмита. Функции Лагерра.
4. Базис, размерность пространства. Евклидовы пространства, свойства скалярного произведения, норма, ортонормированный базис.
5. Гильбертово пространство и его размерность. Понятие кет - и бра-векторов.
6. Оснащенное гильбертово пространство, критерий для дополнительных векторов, непрерывный базис.
7. Представления кет-векторов.
8. Понятие оператора, абстрактные операторы и их представители. Линейные операторы.
9. Алгебраические операции с операторами: равенство, сложение, умножение, возведение в степень.
10. Обратный оператор, особенные и неособенные операторы и их свойства.
11. Функция от операторов.
12. Отличие алгебры чисел от алгебры операторов. Коммутатор и его свойства.
13. Представление операторов, матричный элемент, интегральный оператор, ядро и его свойства.
14. Сопряженные операторы и их свойства. Нахождение сопряженных операторов.
15. Эрмитовы операторы и их свойства.
16. Унитарные операторы и их свойства. Унитарное преобразование.
17. Оператор проектирования и его свойства. Условия полноты базиса.
18. Определение собственных векторов и собственных значений, вырождение. Спектр оператора.
19. Собственные вектора и собственные значения эрмитовых операторов. Дискретные и непрерывные спектры.
20. Интегральные уравнения: основные определения, классификация.
21. Интегральные уравнения Фредгольма первого и второго рода.
22. Задача Штурма-Лиувилля.
23. Интегральные уравнения Вольтерра первого и второго рода.
24. Понятие функционала и его вариации
25. Линейные функционалы, теорема Рисса.
26. Основная задача вариационного исчисления: относительный и абсолютный экстремум функционала.
27. Уравнение Эйлера.
28. Уравнение Остроградского. Условный экстремум. Неопределенные множители Лагранжа.
29. Операторно-числовой функционал. Линейность и шпур.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. , Тихонов уравнения. М.: Изд. МГУ, 1989.
2. Эльсгольц уравнения и вариационное исчисление. М.: УРС, 2000.
б) дополнительная литература:
1. Владимиров математической физики. М.: Наука, 1988.
2. Краснов уравнения. Введение в теорию. М.: Наука, 1981.
3. , Рождественский дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1980.
4. Золоторев аппарат квантовой теории. Кемерово, 2006.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
1. MAXIMA (http://maxima. )
2. GNU Octave (http://www. octave. org/)
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Интегральные уравнения и вариационное исчисление»
Для материально-технического обеспечения дисциплины Интегральные уравнения и вариационное исчисление используется: специализированная аудитория с ПК и компьютерным проектором, компьютерный класс физического факультета КемГУ.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки 011200 Физика – Физика конденсированного состояния.
Автор: (ст. преподаватель КемГУ, к. ф.м.-н.)
Рабочая программа дисциплины
обсуждена на заседании кафедры теоретической физики
Рабочая программа дисциплины обсуждена на
заседании кафедры теоретической физики
Протокол № ______ от «______»_______________2010 г.
Зав. кафедрой ________________________
Одобрено методической комиссией физического факультета
Протокол № ______ от «______»_______________2010 г.
Председатель _________________________
