Основные понятия алгебры логики

Основные понятия алгебры логики.

Для начала вспомните материал прошлого урока и ответьте письменно на следующие вопросы:

Что такое логика (наука)? Какие формы имеет мышление? Что такое понятие? Приведите пример. Какие две характеристики имеет понятие? Что такое высказывание? Приведите пример. Какие значения может принимать высказывание? Что такое умозаключение? Приведите пример.

Тема нашего сегодняшнего занятия «Основные понятия алгебры логики»

Что такое ЛОГИКА и чем она занимается, мы разобрали на прошлом уроке. Вспомним, каково назначение АЛГЕБРЫ.

Алгебра – раздел математики, изучающий свойства переменных числовых величин и общих методов решения задач при помощи уравнений.

Соединим теперь понятия логики и алгебры в понятие АЛШЕБРА ЛОГИКИ: в алгебре логики переменными являются высказывания, а не числа. Над этими высказываниями выполняются логические операции (сложение, умножение, отрицание).

Из прошлого урока мы помним, что логика рассматривает высказывания не с точки зрения их содержания, а с точки зрения их истинности или ложности, т. е. высказывание может принимать два значения: ИСТИНА (обозначается 1) и ЛОЖЬ (обозначается 0). Выражения в алгебре логики принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, X, Y. Действия над высказываниями записываются в виде логических выражений.

Логические выражения и операции

Логические выражения могут быть простыми и сложными.

Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логических операций. Например, «Во время дождя асфальт мокрый»

Сложное логическое выражение состоит из нескольких высказываний, связанных логическими операциями. Например, «У призмы боковые ребра параллельны и равны».

Рассмотрим логические операции и их обозначение:

·  Логическое отрицание НЕ, инверсия: A,

·  Логическое сложение ИЛИ, дизъюнкция, объединение: A˅B

·  Логическое умножение И, конъюнкция, пересечение: A˄B

·  Логическое следование «ЕСЛИ-ТО», импликация: A→B

·  Операция «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА», эквивалентность, равнозначность: A↔B

Все операции алгебры логики представляются таблицами истинности. Эти таблицы определяют результат выполнения операций для всевозможных исходных логических значений.

Рассмотрим подробнее основные логические операции.

Операция НЕ

Операция НЕ может быть применена к одному высказыванию, которое может быть и простым, и сложным.

Результатом операции НЕ является следующее:

§  Если исходное выражение А истинно, то результат его отрицания будет ложным.

§  Если исходное выражение А ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Запишем результат операции НЕ в таблице истинности:

А	НЕ А
истина	ложь
ложь	истина

Используя обозначения для операции НЕ, истинности и ложности выражений перепишем таблицу в следующем виде:

А
1	0
0	1

Например:

1.  Высказывание «15 делится на 3» истинно. Отрицание этого высказывания «15 не делится на 3» – ложно.

2.  Высказывание «Саратов – столица России» ложно. Отрицание этого высказывания «Саратов – не столица России» – истинно.

Операция ИЛИ

Операция ИЛИ применяется к двум высказываниям, каждое из которых может быть простым или сложным.

Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда хотя бы одно из исходных выражений будет истинно.

Запишем таблицу истинности для операции ИЛИ:

А	B	A˅B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Например:

1.  В школе разрешается кататься на перилах или висеть на шторах.

«В школе разрешается кататься на перилах» – ложное выражение.

«В школе разрешается висеть на шторах» – ложное высказывание.

Сложение этих высказываний означает, что они не могут произойти ни по отдельности, ни вместе.

2.  Луна – это спутник Марса или Земли.

«Луна – это спутник Марса» – ложное высказывание.

«Луна – это спутник Земли» – истинное высказывание.

Сложение этих высказываний даёт истинное высказывание.

Операция И

Операция И применяется к двум высказываниям, каждое из которых может быть простым или сложным. Операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний. Результатом такой операции является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения будут истинными.

Запишем таблицу истинности для операции И:

А	B	A˄B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Например:

Рассмотрим высказывание «Умение и настойчивость приводят к достижению цели». Достижение цели возможно только при одновременной истинности двух предпосылок: умения и настойчивости.

Операция «ЕСЛИ-ТО»

Операция «Если-то», операция следования, связывает два простых выражения, первое из которых является условием, а второе следствием.

Результат операции следования ложен тогда и только тогда, когда предпосылка (условие) истинна, а заключение (следствие) – ложно.

Запишем таблицу истинности для операции следования:

А	B	A˄B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Например, «Если температура окружающей среды больше нуля градусов, то лёд тает».

Рассмотрим все варианты:

1 строчка таблицы истинности: Если температура меньше нуля градусов, то лёд не тает. Выражение истинно.

2 строчка таблицы истинности: Температура меньше нуля градусов, лед тает. Выражение истинно (лед может таить и при отрицательной температуре, если его посыпать солью)

3 строчка таблицы истинности: Температура выше нуля градусов, лёд не тает. Выражение ложно.

4 строчка таблицы истинности: Температура выше нуля градусов, лёд тает. Выражение истинно.

Операция «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА»

Операция эквивалентности – это логическая операция, результат которой является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Запишем таблицу истинности для операции экваивалентности:

А	B	A↔B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Например:

«1765 делится на 3 тогда и только тогда, когда 10 делится на 3».

Задание 1

Есть два простых высказывания:

А = «Число 10 четное»

В = «Волк – травоядное животное»

Составьте из них все возможные составные высказывания и определите их истинность.

Задание 2

Выделите в составных высказываниях простые. Обозначьте каждое из них буквой. Запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание.

1.  Число 376 четное и трёхзначное.

2.  Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.

3.  Если число заканчивается на 0, то оно делится на 5.

4.  Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 3.

Задание 3

Ниже приведена таблица, левая колонка которой содержит основные логические связки, с помощью которых строятся сложные высказывания. Заполните правую колонку таблицы соответствующими названиями логических операций:

В естественном языке	В логике
… и …	умножение, пересечение, конъюнкция
…или…
Неверно, что…
…в том и только в том случае…
Если…, то…
…тогда и только тогда, когда…
…не…

Задание 4

Напишите значения выражений:

1˄0 = , 0˅0 = , 1→1 = , 0↔1 =, Ō =