Программа учебной дисциплины «Математика» (стр. 1 )

ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ «ГОРНЫЙ»

Согласовано _______________________	Утверждаю ______________________
Руководитель ООП по направлению 220700 доц.	Зав. кафедрой высшей математики проф.

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

«Математика»

Направление подготовки: 220700 Автоматизация технологических процессов и производств

Профиль: Автоматизация технологических процессов и производств в горном деле

Квалификация (степень) выпускника: бакалавр

Форма обучения: очная

Составитель: доцент кафедры

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2012

1.  Цели и задачи дисциплины:

Дисциплина «Математика» является одной из основных фундаментальных учебных дисциплин; она обеспечивает подготовку бакалавров к успешному освоению дисциплин экономического, естественнонаучного и профессионального циклов.

Целью дисциплины является:

– приобретение базовых математических знаний, способствующих успешному освоению различных курсов (физика, теоретическая механика, сопротивление материалов, информатика, начертательная геометрия и т. д.) и смежных дисциплин;

– обеспечение подготовки студентов к изучению в последующих семестрах ряда специальных дисциплин;

– приобретение навыков построения и применения математических моделей в инженерной практике.

Задачами преподавания дисциплины являются:

– развитие логических, познавательных и творческих способностей студентов,

– доведение до понимания студентами роли математики при исследовании

проблем, возникающих в различных областях науки и техники.

2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО по направлению 220700 «Автоматизация технологических процессов и производств»

Дисциплина «Математика» относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла основной образовательной программы бакалавра. Изучение дисциплины базируется на знаниях, полученных при освоении математики в средней школе.

Дисциплины, для которых «Математика» является предшествующей: физика, химия, теоретическая и прикладная механика, инженерная и компьютерная графика, электротехника, электроника, теория автоматического управления, экономика, гидромеханика и тепломассобмен, дисциплины профильной направленности. 3. Требования к результатам освоения дисциплины:

4.В результате изучения дисциплины студент должен:

знать:

аналитическую геометрию, векторную и линейную алгебру;

дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных;

теорию последовательностей и рядов, гармонический анализ;

дифференциальные уравнения и их системы;

численные методы и основы вычислительного эксперимента;

векторный анализ и теорию поля;

теорию вероятностей и математическую статистику;

методы обработки экспериментальных данных;

методы статистического оценивания и проверки гипотез;

простейшие уравнения математической физики;

уметь:

решать задачи линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии, знать уравнения основных линий на плоскости и в пространстве, поверхностей в пространстве;

уверенно дифференцировать и владеть точными и приближёнными методами интегрирования функции одной и нескольких переменных;

применять теорию пределов, понятие непрерывности функции и дифференциальное исчисление к исследованию свойств функций;

использовать дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных в решении геометрических и физических задач;

составлять дифференциальные уравнения в задачах геометрического и физического содержания;

интегрировать точными методами основные типы дифференциальных уравнений и их систем;

исследовать сходимость числовых и функциональных рядов, раскладывать функции в степенные ряды, применять теорию рядов в приближённых вычислениях;

применять векторный анализ в расчётах потока, работы и циркуляции векторного поля;

использовать гармонический анализ при разложении функций в ряд по тригонометрическим функциям и метод Фурье при решении краевых задач для основных уравнений математической физики, а также преобразования Фурье и Лапласа;

использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10);

выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлекать для их решения соответствующий физико-математический аппарат;

участвовать в разработке математических моделей процессов и производственных объектов (ПК-17);

владеть: математическим аппаратом в объёме изучаемого курса математики.

4. Объём дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
1	2	3
Аудиторные занятия (всего)	212	72	72	68
В том числе:
Лекции	106	36	36	34
Практические занятия (ПЗ)	106	36	36	34
Самостоятельная работа (всего)	148	45	45	58
В том числе:
Расчетно-графические работы (РГЗ)	42	14	14	14
Текущие домашние задания	126	15	15	22
Изучение учебной литературы	96	10	10	16
Подготовка к коллоквиуму	18	6	6	6
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)	108	Экз.(36)	Экз.(36)	Экз.(36)
Общая трудоемкость: часы зачётные единицы	468	153	153	162
13	4,25	4,25	4,5

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела
1.	Линейная алгебра	1.1. Определители и матрицы Матрицы, операции над матрицами. Определитель матрицы и его свойства. Обратная матрица. Решение простейших матричных уравнений. Ранг матрицы. Нахождение ранга с помощью элементарных преобразований матрицы. 1.2. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения. Запись системы в матричном виде. Теорема Крамера. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Однородные линейные системы.
2.	Векторная алгебра	2.1. Векторы. Линейная зависимость и независимость. Базисы. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Базис. Линейные операции над векторами, заданными своими разложениями по базису. Ортонормированный базис. Проекции, координаты, длина и направляющие косинусы вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов, его свойства, механический смысл. Вычисление скалярного произведения в ортонормированном базисе. Векторное произведение двух векторов, его свойства, механический смысл. Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе. Двойное векторное произведение. Смешанное произведение векторов и его свойства. Вычисление смешанного произведения в ортонормированном базисе. 2.3. Изменение координат вектора при переходе к новому базису. Перенос в пространстве начала системы координат и ее поворот. Преобразование системы координат на плоскости.
3	Аналитическая геометрия	3.1. Кривые на плоскости и поверхности в пространстве. Уравнение линии на плоскости. Уравнение линии и поверхности в пространстве. Параметрическое задание линии на плоскости и в пространстве. Полярная система координат. Кривые в полярной системе координат. 3.2. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой. Плоскость. Различные виды уравнения плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Различные виды уравнения прямой. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Точка пересечения прямой и плоскости. 3.3. Кривые и поверхности второго порядка. Кривые второго порядка. Канонические уравнения. Основные характеристики. Поверхности второго порядка. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.
4	Теория пределов и непрерывность функций	4.1. Теория пределов. Понятие функции. График. Арифметические операции над функциями. Суперпозиция функций. Обратная функция. Основные элементарные функции. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности, основные теоремы о пределах. Неопределенности. Предел функции. Замечательные пределы. Бесконечно малые функции. Бесконечно большие функции. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций. Их сравнение, порядок и главная часть (эквивалентность, “О” и “о” символика). 4.2 Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность элементарных функций. Классификация точек разрыва. Непрерывность функций на промежутке. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке
5	Дифференциальное исчисление функций одной переменной	5.1. Производные и дифференциалы. Производная функции , её геометрический и механический смысл. Таблица производных. Основные правила дифференцирования. Дифференцируемость функций. Дифференциал, геометрический смысл, свойства. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Производные высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Разложение по степеням функций . 5.2. Исследование функций с помощью производных. Признаки постоянства и монотонности функции. Локальные экстремумы. Необходимый признак экстремума функции. Достаточные признаки экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции. Элементы дифференциальной геометрии плоских кривых.
6	Интегральное исчисление функций одной переменной и его приложения	6.1. Первообразная. Простейшие способы интегрирования. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Простейшие способы интегрирования. Подведение функции под знак дифференциала. Методы замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле. 6.2. Интегрирование алгебраических дробей. Комплексные числа. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент. Различные формы записи комплексного числа. Действия над комплексными числами. Формула Эйлера. Многочлен в комплексной области. Теорема Безу. Основная теорема высшей алгебры. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на множители первой и второй степени. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей. 6.3. Подстановки, применяемые при интегрировании. Интегрирование рациональных функций от радикалов и от тригонометрических функций. 6.4. Определенные интегралы и их приложения. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Условия его существования. Свойства определенного интеграла. Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница. Методы интегрирования по частям и замены переменой в определенном интеграле. Вычисление площади плоской фигуры. Вычисление длины кривой. Вычисление объема тела по площади его поперечного сечения. Объем тела вращения. Общая схема решения геометрических и физических задач с помощью определенного интеграла. 6.5. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого и второго рода. Признаки сходимости. Свойства несобственных интегралов.
7	Функции нескольких переменных	7.1. Дифференцирование функций нескольких переменных. Функция двух переменных и ее геометрическое изображение. Понятие о функции трех и n-переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции двух переменных. Свойства функций, непрерывных в замкнутой области. Частные производные, их геометрический и физический смысл. Дифференцируемость функции двух переменных. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Полный и частный дифференциалы. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям. Сложная функция нескольких переменных, ее дифференцирование. Инвариантность формы дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Неявные функции одной и нескольких переменных. Производные неявных функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Формула Тейлора для функций двух переменных. 7.2. Экстремумы функций нескольких переменных. Экстремумы функций двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремума. Обобщение на случай n переменных. Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функций, непрерывной в замкнутой области.
8	Кратные интегралы и векторный анализ	8.1. Двойные интегралы. Двойной интеграл. Его геометрический смысл. Вычисление в декартовых координатах. Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле. Криволинейные координаты на плоскости. Элемент площади в криволинейных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Механические приложения двойного интеграла. 8.2. Тройные интегралы. Тройной интеграл. Его вычисление в декартовых координатах. Криволинейные координаты в трехмерном пространстве. Цилиндрическая и сферическая системы координат. Вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат. Замена переменных в тройном интеграле. Приложения тройного интеграла. 8.3. Криволинейные и поверхностные интегралы 1-го рода. Криволинейный интеграл первого рода. Его вычисление и приложения. Поверхностный интеграл первого рода. Его вычисление и приложения. 8.4. Элементы теории поля. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению. Градиент скалярного поля. Его свойства и физический смысл. Векторное поле. Векторные линии. Поверхностный интеграл второго рода, его свойства и вычисление. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Дивергенция векторного поля. Формула Гаусса-Остроградского. Соленоидальное поле. Работа силового поля. Криволинейный интеграл второго рода, его свойства и вычисление. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Формула Грина. Формула Стокса. Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Потенциальное поле, потенциал. Вычисление криволинейного интеграла второго рода в потенциальном поле. Оператор Гамильтона, его использование для выражения градиента, дивергенции, ротора.
9	Ряды	9.1.Числовые ряды. Понятие ряда. Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Простейшие действия над рядами. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Их абсолютная и условная сходимость. 9.2.Функциональные ряды. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Условия разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение в ряд Маклорена функций 9.3. Ряды Фурье. Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по полной ортогональной системе функций. Приближение в среднем. Свойство минимальности коэффициентов Фурье. Тригонометрическая система функций. Тригонометрический ряд Фурье. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на промежутке . Ряд Фурье в комплексной форме. Интеграл и преобразование Фурье.
10	Дифференциальные уравнения (ДУ).	10.1. Общие сведения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Основные понятия: порядок уравнения, частное и общее решения, задача Коши. Теорема существования и единственности частного решения для уравнения первого порядка. Геометрический смысл уравнения первого порядка и его решения. Поле направлений и изоклины. Приближенное решение ДУ первого порядка. ДУ с разделенными и разделяющимися переменными. Однородные ДУ. Линейные ДУ первого порядка, уравнение Бернулли. ДУ в полных дифференциалах. 10.2. Дифференциальные уравнения высших порядков. ДУ высших порядков. Основные понятия. Уравнения, допускающие понижение порядка. 10.3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Линейные ДУ n-го порядка. Свойства решений линейного однородного ДУ. Линейная зависимость и независимость решений. Структура общего решения линейного однородного ДУ. Решения линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами методом Эйлера. Структура общего решения линейного неоднородного ДУ. Решение линейного неоднородного ДУ методом Лагранжа. Нахождение частного решения линейного неоднородного ДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида методом подбора. 10.4. Системы дифференциальных уравнений. Понятие системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство. Фазовая плоскость. Понятие об автономной системе. Линейные системы. Матричная запись. Свойства решений. Решение однородной линейной системы методом Эйлера (случай простых корней характеристического уравнения). 10.5. Приближенные методы решения ДУ. Метод Рунге-Кутта. Решение ДУ с помощью рядов. 10.6. Уравнения колебаний струны и линейное уравнение теплопроводности. Их решение методом Фурье. Уравнения малых поперечных колебаний струны. Решение уравнения колебаний струны методом Фурье. Уравнение теплопроводности, его решение методом Фурье.
11	Операционное исчисление	11.1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Основные теоремы операционного исчисления. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентам и их систем операционными методами. Интеграл Дюамеля.

5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами