Программа дисциплины «Вычислительная математика» (стр. 4 )

1.10.На первом шаге решения методом Ньютона системы уравнений

y–2ex = 0

x+y–2 = 0

при начальном приближении x0=1 y0=1

получены значения x1=0,511 y1=1,889

Укажите правильное утверждение

1)Значения обеих переменных найдены верно.

2)Значения обеих переменных найдены не верно.

3)Значение одной переменной найдено верно, а другой нет.

1.11.При разбиении отрезка интегрирования на 10 частей вычисление по пер­вой формуле пря­моугольников дало значение интеграла, равное 12, а по фор­му­ле трапеций – равное 8. Вычисление по второй формуле пря­­моугольников даст значение:

ТЕСТ 2

2.1.Система линейных уравнений

8x1 – 4x2 + x3 = 12

15x1 – 9x2 + 5x3 = 5

x1 + x2 – 3x3 = 3

1.Имеет единственное решение. 2.Не имеет решения.

3.Имеет множество решении

2.2.Систему линейных уравнений

2x1 – 3x2 + 4x3 = 1

7x1 – x2 + 6x3 = 10

2x1 + 3x2 – 2x3 = –1

1.Можно решать методом простых итераций.

2.Нельзя решать методом простых итераций.

3.Можно решать методом простых итераций, переставив строки

2.3.На втором шаге решения методом Зейделя системы линейных уравнений

4x1 – x2 + x3 = 4

x1 –5 x2 + 2x3 = –2

2x1 + x2 –4x3 = –1

при начальном приближении x10=0 x20=2 x30=–1

получены значения x12=0.978 x22=1.051 x32=1.002

Укажите правильное утверждение

1.Значения всех переменных найдены верно.

2.Значения всех переменных найдены не верно.

3.Значения одних переменных найдены верно, а других нет.

2.4.Даны две матрицы A и B.

Вектор

1.Является собственным вектором только матрицы A.

2.Является собственным вектором только матрицы B.

3.Является собственным вектором обеих матриц.

4.Не является собственным вектором ни одной из этих матриц.

2.5.При уточнении корня уравнения x3+3x+5= 0 методом касательных на начальном от­рез­ке [-2;-1] значение x=-1,155 получается на

1.Первом шаге 2.Втором шаге 3.Третьем шаге

2.6.Формула трапеций дает точный ответ, если подинтегральная функция является поли­но­мом

1.Не выше второй степени 2.Не выше третьей степени

3.Не выше первой степени

2.7.При интегрировании функции f(x) методом трапеций на отрезке [0;2], если модуль вто­рой призводной этой функции не превышает 4, для достиже­ния точности 0,10 достаточно разбить отрезок ин­тег­ри­ро­ва­ния

1.На 6 частей 2.На 8 частей 3.На 10 частей

2.8.Какой из приведенных полиномов дает по критерию метода наимень­ших квадратов луч­шую аппроксимацию эк­спе­­ри­мен­тальных данных

x	-1	0	1	3	4
y	-5	6	3	1	2

1.y=2x2–x+3 2.y=x2+2x–3 3.y=x2–2x+1

2.9.При интерполяции полиномом Лагранжа данных таблицы

x	0	1	3	4
y	-5	6	3	1

в точке x=2, слагаемое, соответствующее x1, получается равным:

1. 4 2.–4 3.–3

2.10.На втором шаге решения методом простых итераций системы уравнений

x=1–0,5cos(y)

y=sin(x+1)–1,2 = 0

при начальном приближении x0=1 y0=1

получены приближенные значения x2=0,721 y2=–0,213

Укажите правильное утверждение

1.Значения обеих переменных найдены верно.

2.Значения обеих переменных найдены не верно.

3.Значение одной переменной найдено верно, а другой нет.

2.11.При разбиении отрезка интегрирования на 10 частей вычисление по фор­­му­ле пря­мо­у­голь­ников с центральной точкой дало значение интеграла, рав­ное 10, а по фор­му­ле трапе­ций – равное 7. Вычисление по формуле пара­бол при разбиении отрезка интегрирования на 20 частей даст значение:

1.9,0 2.8,5 3.8,0

ТЕСТ 3

3.1.Система линейных уравнений

8x1 – 4x2 + x3 = 12

15x1 – 9x2 + 5x3 = 21

x1 + x2 – 3x3 = 3

1.Имеет единственное решение. 2.Не имеет решения.

3.Имеет множество решении

3.2.Систему линейных уравнений

12x1 – 3x2 + 4x3 = 1

2x1 –11x2 + 6x3 = 10

2x1 + 8x2 –1 2x3 = –1

1.Можно решать методом простых итераций.

2.Нельзя решать методом простых итераций.

3.Можно решать методом простых итераций, переставив строки

3.3.На втором шаге решения методом простых итераций системы линейных уравнений

4x1 – x2 + x3 = 4

x1 –5 x2 + 2x3 = –2

2x1 + x2 –4x3 = –1

при начальном приближении x10=0 x20=2 x30=–1

получены значения x12=0.813 x22=1.050 x32=1.125

Укажите правильное утверждение

1.Значения всех переменных найдены верно.

2.Значения всех переменных найдены не верно.

3.Значения одних переменных найдены верно, а других нет.

3.4.Даны две матрицы A и B.

Число –4

1.Является собственным числом только матрицы A.

2.Является собственным числом только матрицы B.

3.Является собственным числом обеих матриц.

4.Не является собственным числом ни одной из этих матриц.

3.5.При уточнении корня уравнения x3+3x–1= 0 методом хорд на начальном отрезке [0;1] значение x=0,318 получается на

1.Первом шаге 2.Втором шаге 3Третьем шаге

3.6.Формула прямоугольников с центральной точкой дает точный ответ, если подинтегральная функция является полиномом

1.Не выше второй степени 2.Не выше первой степени

3.Не выше четвертой степени

3.7.При интегрировании функции f(x) методом прямоугольников с цент­раль­ной точкой на от­резке [1;3], если модуль второй призводной этой функ­ции не превышает 3, для дости­же­­ния точности 0,01 достаточно разбить отрезок ин­тег­ри­ро­ва­ния

1.На 8 частей 2.На 10 частей 3.На 12 частей

3.8.Какой из приведенных полиномов дает по критерию метода наимень­ших квадратов луч­­шую аппроксимацию эк­спе­­ри­мен­тальных данных

x	-2	0	2	3	4
y	-5	6	3	1	2

1.y=2x2–x+3 2.y=x2+2x–3 3.y=x2–2x+1

3.9.На первом шаге решения методом Ньютона системы уравнений

y–2ex = 0

x+y–2 = 0

при начальном приближении x0=1 y0=1

получены значения x1=0,311 y1=1,689

Укажите правильное утверждение

1.Значения обеих переменных найдены верно.

2.Значения обеих переменных найдены не верно.

3.Значение одной переменной найдено верно, а другой нет.

3.10.Для таблично заданной функции

Номер точки	0	1	2	3	4
x	1	2	3	5	7
y	7	6	3	4	2

рас­считаны конечные разности различного порядка в точке x0.

D01	D02	D03	D04
-1	-3	5	-12

Сколько из них рассчитано верно?

3.11.При разбиении отрезка интегрирования на 12 частей вычисление по вто­рой формуле пря­моугольников дало значение интеграла, равное 20, а по фор­­му­ле трапеций – равное 18. Вычисление по первой формуле пря­­моуголь­ни­ков даст значение:

1

ТЕСТ 4

4.1.Система линейных уравнений

7x1 – 3x2 + 2x3 = 1

4x2 + 5x3 = 14

2x1 + 3x2 – 2x3 = –1

1.Имеет единственное решение. 2.Не имеет решения.

3.Имеет множество решении

4.2.Систему линейных уравнений

2x1 – 3x2 + x3 = 1

5x1 – x2 + 6x3 = 10

2x1 + 3x2 – 2x3 = –1

1.Можно решать методом простых итераций.

2.Нельзя решать методом простых итераций.

3.Можно решать методом простых итераций, переставив строки

4.3.На втором шаге решения методом Зейделя системы линейных уравнений

4x1 – x2 + x3 = 4

x1 –5 x2 + 2x3 = –2

2x1 + x2 –4x3 = –1

при начальном приближении x10=–1 x20=–1 x30=–1

получены значения x12=-0.750 x22=0.990 x32=0.798

Укажите правильное утверждение

1.Значения всех переменных найдены верно.

2.Значения всех переменных найдены не верно.

3.Значения одних переменных найдены верно, а других нет.

4.4.Даны две матрицы A и B.

Вектор

1.Является собственным вектором только матрицы A.

2.Является собственным вектором только матрицы B.

3.Является собственным вектором обеих матриц.

4.Не является собственным вектором ни одной из этих матриц.

4.5.При уточнении корня уравнения x3+3x+5= 0 методом касательных на начальном от­рез­ке [-2;-1] значение x=-1,400 получается на

1.Первом шаге 2.Втором шаге 3.Третьем шаге

4.6.Формула трапеций дает точный ответ, если подинтегральная функция является поли­но­мом

1.Не выше второй степени 2.Не выше третьей степени

3.Не выше первой степени

4.7.При интегрировании функции f(x) методом трапеций на отрезке [1;4], если модуль вто­рой призводной этой функции не превышает 2, для достиже­ния точности 0,10 дос­та­точ­но разбить отрезок ин­тег­ри­ро­ва­ния

1.На 6 частей 2.На 8 частей 3.На 10 частей

4.8.Какой из приведенных полиномов дает по критерию метода наимень­ших квадратов луч­шую аппроксимацию эк­спе­­ри­мен­тальных данных

x	0	1	3	4	5
y	-5	6	3	1	2

1.y=2x2–x+3 2.y=x2+2x–3 3.y=x2–2x+1

4.9.При интерполяции полиномом Лагранжа данных таблицы

x	1	3	5	6
y	-5	6	3	1

в точке x=4, слагаемое, соответствующее x1, получается равным:

1.–3 2.–2 3. 3

4.10.На втором шаге решения методом простых итераций системы уравнений

x=1–0,5cos(y)

y=sin(x+1)–1,2 = 0

при начальном приближении x0=1 y0=1

получены приближенные значения x2=0,521 y2=–0,213

Укажите правильное утверждение

1.Значения обеих переменных найдены верно.

2.Значения обеих переменных найдены не верно.

3.Значение одной переменной найдено верно, а другой нет.

4.11.При разбиении отрезка интегрирования на 10 частей вычисление по фор­­му­ле пря­мо­у­голь­ников с центральной точкой дало значение интеграла, рав­­ное 16, а по фор­му­ле тра­пе­ций – равное 13. Вычисление по формуле па­ра­­бол при разбиении отрезка интегрирования на 20 частей даст значения:

1.14,5 2.15,0 3.14,0

ТЕСТ 5

5.1.Система линейных уравнений

7x1 – 3x2 + 2x3 = 1

12x1 – 9x2 + 6x3 = 10

2x1 + 3x2 – 2x3 = –1

1.Имеет единственное решение. 2.Не имеет решения.

3.Имеет множество решении

5.2.Систему линейных уравнений

10x1 – 3x2 + x3 = 1

2x1 –15 x2 + 4x3 = 10

2x1 + 8x2 –18x3 = –1

1.Можно решать методом простых итераций.

2.Нельзя решать методом простых итераций.

3.Можно решать методом простых итераций, переставив строки

5.3.На втором шаге решения методом простых итераций системы линейных уравнений

4x1 – x2 + x3 = 4

x1 –5 x2 + 2x3 = –2

2x1 + x2 –4x3 = –1

при начальном приближении x10=–1 x20=–1 x30=–1

получены значения x12=-0.925 x22=0.895 x32=1.888

Укажите правильное утверждение

1.Значения всех переменных найдены верно.

2.Значения всех переменных найдены не верно.

3.Значения одних переменных найдены верно, а других нет.

5.4.Даны две матрицы A и B.

Число 6

1.Является собственным числом только матрицы A.

2.Является собственным числом только матрицы B.

3.Является собственным числом обеих матриц.

4.Не является собственным числом ни одной из этих матриц.

5.5.При уточнении корня уравнения x=x-(x3–2x+2)/20 методом итераций с на­чаль­ным при­ближением x0=–2 значение x=-1,847 получается на

1.Первом шаге 2.Втором шаге 3.Третьем шаге

5.6.Формула Симпсона дает точный ответ, если подинтегральная функция является полиномом

1.Не выше третьей степени 2.Не выше второй степени

3.Не выше первой степени

.

5.7.При интегрировании функции f(x) методом Симпсона на отрезке [-3;–1] при условии, что модуль четвертой призводной этой функции не превышает 10, для достижения точ­нос­ти 0,10 достаточно разбить отрезок ин­тег­ри­ро­ва­ния

1.На 6 частей 2.На 8 частей 3.На 10 частей

5.8.Какой из приведенных полиномов дает по критерию метода наимень­ших квадратов луч­шую аппроксимацию эк­спе­­ри­мен­тальных данных

x	-1	1	2	3	4
y	-5	6	3	1	2

1.y=2x2–x+3 2.y=x2+2x–3 3.y=2x2–2x+1

5.9.При интерполяции данных таблицы полиномом Ньютона

x	0	2	4	6
y	-5	6	3	1

в точке x=1 третье слагаемое получается равным:

1.1,80 2.2,75 3.1,75

5.10.На втором шаге решения методом Зейделя системы уравнений

x=1–0,5cos(y)

y=sin(x+1)–1,2 = 0

при начальном приближении x0=1 y0=1

получены приближенные значения x2=0,511 y2=–0,202

Укажите правильное утверждение

1.Значения обеих переменных найдены верно.

2.Значения обеих переменных найдены не верно.

3.Значение одной переменной найдено верно, а другой нет.

5.11.При разбиении отрезка интегрирования на 20 частей вычисление по пер­­вой формуле пря­моугольников дало значение интеграла, равное 32, а по фор­му­ле трапеций – равное 28. Вычисление по второй формуле пря­­моуголь­ни­­­ков даст значение:

1

ПРАВИЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ К ТЕСТАМ

	Номер теста
Задание	I	II	III	IV	V
1	1	2	3	1	2
2	3	2	1	2	1
3	2	1	1	3	3
4	3	1	2	2	4
5	1	3	3	1	2
6	2	3	2	3	1
7	2	1	2	2	1
8	3	3	3	3	2
9	4	2	1	1	3
10	2	3	1	1	1
11	1	1	2	2	3

12.Контрольные вопросы для оценки остаточных знаний.

1) Решить заданную систему из четырех линейных уравнений мето­да­ми Гаусса и Зейделя (с точностью до 0,1), например,

8x1–4x2+x3+x4 = – 23 5x2+4x3 = 14 x1+x2–3x3 = –3 x2–2x4 = 2

2)Найти любой корень уравнения f(x)=0 c точностью до 0,1 по оси ординат, например,

x3 + x + 1 = 0.

3)Вычислить приближенное значение определенного интеграла , разбив отрезок интегрирования на 4 и 10 частей, например для f(x)= x4+3x–1, a= –3, b= –2

4)Используя Excel, построить по экспериментальным данным полиномы различ­­ных сте­пе­ней, аппрокси­ми­рующие зависимость y от x. Рассчитать ко­эф­фи­ци­енты полиномов и сум­мы квадратов невязок. Например,

X	1,10	1,20	1,40	1,60
Y	-0,879	-0,712	-0,216	0,536

5)Используя MathCAD, построить таблицы и графики, отражающие зави­си­мость корней системы уравнений x и y от правых частей: a (при b=0) и b (при a=0), например,

y–ex = a

x+y–2 = b

13.Учебно–методическое обеспечение дисциплины.

13.1.Рекомендуемая литература

а) основная литература:

1.Волков методы. Учебное посо­бие. – М: Наука, 1982. – 256 с.

2.Штейнберг математика. Методические указания к выполнению лабораторных работ. – Самара, СамГАСУ, 2006. – 16 с.

б) дополнительная литература:

1.Калиткин методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с.

2., Беленкова методы на базе Mathcad. – СПб.:БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.

14.Материально-техническое обеспечение дисциплины

Персональные компьютеры класса Pentium-233/RAM-32Мб/HDD-4Гб.

15.Программно-информационное обеспечение дисциплины

1)Табличный процессор Microsoft Excel.

2)Пакет программ MathCad.

16. Перечень используемых инновационных методов и разработок

1.  Электронная рабочая программа и журнал преподавателя в Интернет, разработанные на ка­федре.

2.  Рейтинговая система учета академической активности студентов при изучении дис­цип­ли­ны, разработанная на кафедре.

3.  Тестовая система ФИСТ.

17.Методические рекомендации преподавателю дисциплины

Основными видами обучения студентов являются лекции, лабораторные занятия в дис­плей­ном классе и самостоятельная работа студентов.

При чтении лекций особое внимание следует уделить выработке у студентов умения пе­­­реходить от абстрактной математической модели к конкретным алгоритмам, обес­пе­чи­ва­­ющим ее численную реализацию, доводить анализ до числовых результатов и со­дер­жа­тель­но интерпретировать эти результаты.

Лабораторный практикум ориентируется на реализацию алгоритмов вычислительной ма­те­матики, как с использованием стандартных средств, предоставляемых пакетами прог­рамм (Excel, MathCad), так и путем разработки собственных программ. Результаты каж­до­го занятия должны оформляться студентами в соответствии с требованиями, указанными в методических указаниях к лабораторным работам и сохраняться до завершения курса.

Самостоятельная работа заключается в предварительном изучении теоретического ма­териала, необходимого для выполнения лабораторных работ и программировании алго­рит­мов, реализующих указанный преподавателем численный метод. Оценка само­сто­я­тель­ной работы должна входить в оценку контрольных точек практикума с учётом кон­т­ро­ля остаточных знаний по тестовым вопросам.

18.Методические указания для студентов

Основными методами обучения являются лекции, лабораторные занятия в дисплейном классе и самостоятельная работа.

При прослушивании и проработке лекций особое внимание следует уделить тер­ми­нологии, используемой в дисциплине, логике реализации изучакмых численных ме­то­дов, обоснованию их результативности и оценке эффективности.

Необходимо помнить, что знание численного метода включает:

а)умение сформулировать постановку задачи, описать необходимые исходные данные и требуемый результат расчета;

б)навык пошагового выполнения алгоритма, например, в электронных алгоритмов;

в)умение составить блок–схему алгоритма метода и программу для его реализации на языке програм­ми­ро­ва­ния;

г)умение обосновать возможность применения алгоритма, условия его резуль­та­тив­нос­ти и эффективности.

При подготовке к лабораторному практикуму необходимо повторить теоретический ма­те­риал по теме предстоящей работы, завершить расчеты и их оформление по пре­ды­ду­щей работе. Если прошедшая работа включает задание на программирование, необходимо за­вер­шить разработку программы, выполнить тестирование, оформить программу и блок–схему.

Документирование и формирование итоговой отчётности следует начинать забла­го­вре­мен­но и вести в соответствии со стандартами оформления учебных документов и научно-ис­­следовательских отчётов. Без предоставления отчётов студенты не могут быть ат­тес­то­ва­ны по дисциплине в целом.

Важной частью промежуточной аттестации является контроль остаточных знаний, со­от­ветствующие вопросы следует попросить у преподавателя заранее и самостоятельно к ним подготовиться.