ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ

"Высшая математика (математический анализ)"

для студентов 2 курса дневного отделения экономического факультета

специальность "Менеджмент организаций", учебный год, 2-й семестр

Преподаватель - доцент

Экзамен представляет собой письменную работу, выполняемую в течение 180 минут (3 астрономических часа) и состоящую из двух частей различного уровня сложности. На выполнение заданий первой части, гарантирующих оценку «удовлетворительно», отводится 140 минут. Если студент выполняет задание, он по желанию может взять задание второй части. В билете указывается количество баллов, которые необходимо набрать по первой части для получения оценки «удовлетворительно» и общее количество баллов, которые требуются для получения более высокой оценки. Получившие положительную оценку по итогам аттестации, но отказавшиеся от нее, могут получить дополнительно к итоговой сумме 2-3 балла. За выполненные в семестре на положительную оценку контрольные работы к итоговой сумме баллов добавляется по 0,5 балла за каждую работу (но не более 1,5 балла суммарно).

ЛИТЕРАТУРА

1.  , Демидович курс высшей математики. М., 1989 (и позднее).

2.  Высшая математика для экономистов. Под ред. Н. Ш Кремера. М.: Банки и Биржи, ЮНИТИ. 1998 (и позднее).

3.  Фоменко анализ. Часть I. - Ростов-на-Дону. 2001

4.  Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. . М.: ИНФРА-М. 2001

5.  , Спинко к решению задач по математическому анализу. Метод. указания для студентов специальности «Менеджмент организаций» (дневное и заочное отделение экономфака РГУ). - Ростов-на-Дону, 2004 (сетевая версия )

ЧАСТЬ 1

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (необходимо знать определения и формулировки приводимых утверждений, без доказательств)

1. Модуль вещественного числа, его свойства. Что представляют собой множества, описанные неравенствами: |x|<6; |x-3|>4; |x+2|=5; |x-4|£2; |x|³3 (и им аналогичными)…

2. Окрестности числа и бесконечно удаленной точки (определения). Уметь выписывать окрестности заданных точек при различных значениях e.

3. Ограниченность функции (определения, примеры ограниченных и неограниченных функций).

4. Замечательный предел, задающий число «e», функции «экспонента» и «натуральный логарифм», их свойства (включая эскиз графика).

5. Определение предела функции на языке окрестностей (уметь сформулировать общее определение, а также выписывать определения на языке «e-d» для конкретных случаев, например, , , ).

6. Конечный предел и его единственность.

7. Ограниченность функции (определение), теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел.

8.Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.

9. Бесконечно малые функции: определение и свойства.

10. Бесконечно большие функции: определение и свойства.

11. Определения бесконечно малой и бесконечно большой функции, теорема о связи между ними.

12. Теорема об арифметических действиях с пределами функций.

13. Эквивалентные функции, теорема о замене эквивалентных функций, эквивалентность функции своему конечному ненулевому пределу, замечательные пределы и цепочки эквивалентностей.

14. Приращения аргумента и функции, определение непрерывности функции в точке и на множестве, критерий непрерывности функции.

15. Теоремы о непрерывных функциях (формулировки).

16. Понятие об односторонних пределах, теорема о связи с обычным пределом

17. Приращения аргумента и функции, определение производной функции в точке, физический и геометрический смысл производной (уметь записать уравнение касательной, проведенной к графику функции в указанной точке), дифференцируемость в точке и на множестве.

18. Основные правила дифференцирования.

19. Определения производной функции в точке, непрерывности функции в точке, теорема о связи между непрерывностью и дифференцируемостью.

20. Правило Лопиталя.

21. Определение возрастания (убывания) функции, достаточные условия (связь со знаком первой производной).

22. Определение точек локального экстремума и экстремумов функции, необходимое и достаточные условие точки экстремума.

23. Понятие о направлениях выпуклости графика функции (для непрерывной и дифференцируемой функций). Связь со знаком второй производной для дифференцируемой функции.

24. Определение точки перегиба графика функции, необходимое и достаточное условие

25. Первообразная функции, теорема о первообразной, понятие о неопределенном интеграле.

26. Понятие о неопределенном интеграле, его основные свойства.

27. Теорема об интегрировании по частям для неопределенного интеграла.

28. Определенный интеграл (от непрерывных функций) и его основные свойства.

29. Несобственные интегралы с конечной особой точкой (знать определение и уметь проверить сходимость по определению, например, для интегралов ;;)

30. Несобственные интегралы с бесконечной особой точкой (знать определение и уметь проверить сходимость по определению, например, для интегралов ; ;)

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

·  Вычисление пределов функций одного переменного, раскрытие простейших неопределенностей (см. типовые примеры, упр.1).

·  Нахождение производных и дифференциалов первого и второго порядка функции одной переменной в произвольной точке и в указанной точке (см. типовые примеры, упр. 2-4).

·  Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя (см. типовые примеры, упр 5, задания а) ).

·  Определение интервалов монотонности, точек экстремума и экстремумов (см. типовые примеры, упр 6 ).

·  Определение наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на указанном числовом отрезке (см. типовые примеры, упр 7 ).

·  Определение характера выпуклости и нахождение точек перегиба графика функции (см. типовые примеры, упр 8).

·  Нахождение неопределенных и определенных интегралов с помощью интегрирования по частям, внесения под знак дифференциала, замены переменной; интегрирование простейших рациональных функций, квадратичных иррациональностей и простейших тригонометрических функций (см. типовые примеры, упр 9-12).

ЧАСТЬ 2

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (необходимо также знать формулировки тех утверждений, которыми Вы пользуетесь при доказательствах)

1. Ограниченность функции и теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел (доказывать).

2. Конечный предел функции и его единственность (с доказательством).

3. Бесконечно малые функции (определение), лемма о представлении функции, имеющей конечный предел (доказывать).

4. Приращения аргумента и функции, определение производной функции в точке, геометрический смысл производной (доказать).

5. Теоремы о производной суммы, произведения, частного с доказательством.

6. Теорема Лагранжа (формулировка), следствия (с доказательством).

7. Определение точек экстремума, необходимое условие экстремума (доказательство для случая точки максимума и точки минимума).

8. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции, определение и их нахождение

9. Линейность неопределенного интеграла (доказывать)

10. Теорема об интегрировании по частям для неопределенного интеграла (доказывать).

11. Монотонность определенного интеграла (с доказательством) и теорема о среднем (формулировка)

12. Понятие об интеграле с переменным верхним пределом, его свойства.

13. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.

14. Приближенное вычисление определенного интеграла (вывод формулы трапеций и ее применение в простейших случаях)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

    Определение характера точек разрыва различных функций, в том числе содержащих знак модуля или строчно-заданных функций. Составление уравнений касательных, определение угла между заданными кривыми Нахождение производных и дифференциалов первого и высших порядков. Вычисление пределов с использованием правила Лопиталя (типовые примеры, упр.5) Нахождение неопределенного и определенного интегралов основными методами, упомянутыми в программе 1-й и 2-й части. Нахождение площадей плоских фигур (типовые примеры, упр.13)

ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ (Часть 1)

Упражнение 1. Найти пределы, не применяя правило Лопиталя:

1) а) ; б) ; в) ;

г) ; д)

2) а) ; б) ; в) ;

г) ; д)

3) а) ; б) ; в) ;

г) ; д)

4) а) ; б) ; в) ;

г) ; д)

5) а) ; б) ; в) ;

г) ; д)

Упражнение 2. Найти f¢(x) (первую производную данной функции):

1)

6)

11)

2)

7)

12)

3)

8)

13)

4)

9)

14)

5)

10)

15

Упражнение 3. Найти f¢¢(x) в указанной точке:

1)

8)

2)

9)

3)

10)

4)

11)

5)

12)

6)

13)

7)

14)

Упражнение 4. Найти дифференциал первого порядка функции в данной точке a.

1)

5)

2)

6)

3) 7)

7)

4)

8)

Упражнение 5. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

1) а) ; б)

2) а) ; б)

3) а) ; б)

4) а) ; б)

5) а) ; б)

Упражнение 6. Определить интервалы возрастания-убывания, найти локальные максимумы и минимумы данной функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9)

Упражнение 7. Найти наибольшее и наименьшее значения данной функции на указанном отрезке.

1) , [2;4]

6) , [1/2;2]

2) ;

7) , [0;3]

3) , ;

8) , [0;3]

4) , [-5;0]

9) , a); b)

5) ;

10) , [0;4]

Упражнение 8. Определить направления выпуклости и точки перегиба графика данной функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) 6) ;

7) 8) 9)

10) 11) 12)

Упражнение 9. Используя правила интегрирования по частям для неопределенных и определенных интегралов, найти:

1) а) ; б) 2) а) ; б)

3) а) ; б) 4) а) ; б)

5) а ) ; б) 6) а) ; б)

7) а) ; б) 8) а) ; б)

9) а) ; б) 10) а) ; б)

Упражнение 10. Найти, применяя внесение под знак дифференциала или используя нужную замену переменных:

1) а) , б) , в) г)

2) а) , б) , в) ; г)

3) а) , б) , в) ;

4) а) , б) , в) ; г)

5) а) , б) , в) ;

6) а) , б) , в) ; г)

7) а) , б) , в) г);

8) а) , б) , в) ;

Упражнение 11. Найти неопределенные интегралы, содержащие квадратный трехчлен:

1) а) ; б) ; в)

2) а) ; б) ; в)

3) а) ; б) ; в)

4) а) ; б) ; в)

5) а) ; б) ; в)

6) а) ; б) ; в)

7) а) ; б) ; в)

Упражнение 12. Найти интегралы от тригонометрических функций:

1) a) ; б)

2) a) ; б)

3) a) ; б)

4) a) ; б)

5) a) ; б)

6) a) ; б)

7) a) ; б)

8) a) ; б)

9) a) ; б)

10) a) ; б)

Упражнение 13. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками следующих функций:

1) а) ; б)

2) а) (x³0) ; б) ,

3) а) ; б)

4) а) ; б)

5) а) ; б)

6) а) ; б)

7) а) ; б)

8) а) ; б)

9) а) ; б)