ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. Доказать тождество:

а) ;

б) .

2. Доказать, что

3. Даны ненулевой вектор и скаляр . Найти любое решение уравнения . (Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной; так как требуется найти любое решение, то одну из этих характеристик можно выбрать произвольно).

Ответ: .

4. Даны два вектора и . Представить вектор в виде суммы двух векторов и , так, чтобы вектор был коллинеарен вектору , а вектор был ортогонален вектору .

5. Даны два неколлинеарных вектора и . Найти вектор , компланарный векторам и и удовлетворяющий условиям , .

6. Даны три некомпланарных вектора , и . Найти вектор , удовлетворяющий системе уравнений , , .

Ответ: .

7. Даны неколлинеарные векторы и и скаляр . Найти любое решение уравнения . (Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной; так как требуется найти любое решение, то одну из этих характеристик можно выбрать произвольно).

Ответ: .

8. Доказать, что векторы , , , удовлетворяющие условию , компланарны.

9. Векторы , и удовлетворяют условию . Доказать, что .

10. Доказать, что если три вектора , и попарно неколлинеарные и , то они удовлетворяют соотношению . (Подсказка: покажите сначала, что векторы , и компланарны).

11. Даны произвольные векторы , , , . Доказать, что векторы , и компланарны.

12. Доказать, что если векторы , , компланарны, то они коллинеарны.

130. Три вектора , и связаны соотношением , , . Найти длины векторов и углы между ними.

Ответ: векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину.

14. Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням тетраэдра, равных по модулю площадям этих граней и направленных в сторону вершин, противолежащих граням, равна нулю.

15. Могут ли отличные от нуля числа , , , , , , , . удовлетворять системе уравнений

16. Даны три некомпланарных вектора , , , отложенных от одной точки . Выразить через , и вектор , где – ортогональная проекция точки на плоскость .

Ответ: .

17. Решить уравнение .

Ответ: , , .

18. Доказать тождество .

19. Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна .

20. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен

.