Изучение квадратичной функции в школе (стр. 2 )

Проанализируем каждую из этих последовательностей с точки зрения формирования эффективного алгоритма построения графика функции.

При первой последовательности учащиеся идут к искомому алгоритму постепенно. Здесь имеется возможность рассмотреть частные случаи построения графиков квадратичной функции, а от них совершить переход к общему случаю. Но для того, чтобы этот переход прошел сознательно, необходимо, чтобы выполнился ряд условий, связанных со спецификой организации учебной деятельности учащихся по обобщению изучаемых фактов.

Прежде всего, необходимо, чтобы работа по изучению графиков частных видов квадратичных функций велась с учетом необходимых последующих обобщений, чтобы учащимся с самого начала обучения была ясна общая задача: получить алгоритм построения графика функции . Кроме того, учащиеся должны понимать, почему рассматриваются именно эти частные случаи и как они связаны с общей задачей построения графика квадратичной функции . Ведь выделение случая исходя из задания функции формулой , учащимся увидеть не легко.

Вторая последовательность перехода от графика функции к графику функции , кажется более экономной по учебному времени. Но здесь также возникают свои трудности.

Если к моменту изучения квадратичной функции у учащихся не накоплен опыт выполнения и анализа соответствующих геометрических преобразований, то здесь возникают дополнительные проблемы нахождения необходимого в данном случае геометрического преобразования.

Нужна также специальная работа по выделению построения частных видов квадратичной функции, так как родо-видовые связи, например, при переходе от построения графика функции , (общее) к построению графика функции , (частное) не всегда очевидны учащимся.

И, наконец, как и при первой последовательности построения, необходимо, чтобы учащиеся понимали, почему для построения графика требуется привести формулу, задающую квадратичную функцию к виду .

Ведь ранее при изучении графиков других функций (прямой пропорциональности, линейной функции, обратной пропорциональности) учащимся не приходилось проделывать подобных преобразований.

Здесь мы сталкиваемся с проблемой перестройки существующего у учащихся опыта в построении графиков функций. Если же этот вопрос оставить в преподавании без внимания, то учащиеся могут воспринять необходимость построения графика квадратичной функции с помощью специальных алгоритмов чисто формально и продолжать строить эти графики «по точкам», используя неадекватно свой прошлый опыт построения графиков. Например, при построении графика функции , выбрав несколько значений аргумента, получают несколько значений функции и строят дугу, которая не говорит о поведении графика в других точках области определения функции.

Таким образом, начиная изучение графика квадратичной функции, необходимо показать учащимся, что предыдущий их опыт построения графиков функции является в данном случае недостаточным. Такая работа проводится в учебном пособии [14].

В конечном итоге у учащихся должны сложиться представления о графике функции, о способах его построения.

Анализ литературы показывает, что можно выделить несколько приемов по формированию обобщенных, устойчивых характеристик данного понятия.

Во-первых, это фокус-примеры, то есть примеры понятия в виде типичного схематизированного образа, который человек использует в качестве точки отсчета при решении каких-то проблем [23]. Важно отметить, что анализ и реорганизация предметных действий учащихся по построению графиков должны преследовать цель получения ими рационального, реально-практического алгоритма построения. Но иногда предлагаемые ученикам способы построения параболы , не доводятся до реальной процедуры построения или не учитывают ее. В ряде учебников учащимся предлагается для построения графика данной функции совершить параллельный перенос параболы [1, 2, 26]. Возникает вопрос: как это сделать практически? В этом плане интерес представляют те работы, в которых организация и анализ предметных действий проводятся с той целью, чтобы показать учащимся, что параллельный перенос параболы можно заменить тем же параллельным переносом осей координат [14, 29].

Сюда относятся такие задания, как выполнение лабораторной работы по построению параболы и .

Например, предполагается, что в системе координат построены параболы и .

 

Рисунок 1

Учащимся требуется взять прозрачную пленку и перенести на нее вместе с системой координат параболу и выполнить параллельный перенос пленки по листу бумаги на две единицы вверх вдоль оси . Затем учениками делается вывод, что парабола на пленке совпала с параболой на бумаге.

 

Рисунок 2

Особенность “новой” системы координат заключается в том, что она получена параллельным переносом системы координат , вдоль оси на 2 единицы вверх. И значит начало новой системы координат совпадает с вершиной параболы .

Поэтому для построения параболы в старой системе координат , достаточно в новой системе координат построить параболу .

Таким образом, данная лабораторная работа подтверждает, что параллельный перенос параболы можно заменить параллельным переносом осей координат.

Вторым приемом по формированию устойчивых, обобщенных характеристик изучаемого понятия является процедура опознания.

Здесь можно выделить такие задания, как:

a) задания на соотнесение уравнения и графика (выделение существенных свойств и в уравнении, и в графике).

Например, дан ряд функций , , , , и даны графики функций:

III

II

I

V

IV

Рисунок 3

В данном задании требуется найти график каждой функции.

Здесь учащиеся должны понимать, что, например, вершина параболы будет сдвинута на 5 единиц вправо и благодаря этому ученики сразу могут найти нужный график и т. д.

б) задания на переход от графического представления к аналитическому представлению функции и наоборот.

Интерес представляет задание следующего характера: на рисунке изображены две параболы. Одна из парабол получена из другой с помощью некоторого перемещения. Задайте аналитически соответствующие функции:

 

A

Рисунок 4

в) задания, формирующие целостные представления о графике квадратичной функции.

Например, построен график функции .

Рисунок 5

Верно ли он построен?

В данном задании учащимся необходимо обратить внимание на направление ветвей параболы, на точки пересечения с осями координат, на координаты вершины и т. д.

Рассмотрим еще одну проблему, связанную с формированием алгоритма построения графика квадратичной функции: каким образом должны приводиться анализ и обобщение конкретных предметных действий учащихся при построении графиков, чтобы в итоге у учащихся сформировался обобщенный алгоритм построения графика квадратичной функции ?

Так, при анализе взаимного расположения графиков функций и , построенных при заданных (с этого начинается формирование алгоритма построения), следует обратить внимание на те характеристики расположения этих графиков, которые будут существенны для получения алгоритма построения графика (координаты вершин парабол, уравнения осей симметрии и т. д.). Не во всех из рассмотренных работ проводится такое планомерное исследование соответствующих графиков [1, 2, 26, 29].

В результате учащиеся не могут вычленить те элементы графиков функций, которые важны для поиска общего алгоритма построения графика функции .

Чтобы подобное не происходило, учащимся полезно предлагать задания следующего рода:

а) задания на выделение отдельных шагов.

Например, “Запишите координаты вершины и уравнение оси симметрии параболы: 1) , 2) ” [14, 30].

б) упражнения на выбор алгоритма.

Здесь важно правильное применение и обсуждение ранее полученного алгоритма. Например, “Постройте графики функций , и обоснуйте каждый алгоритм” [14].

в) задания на непосредственное построение графика функции по заданному алгоритму.

К этому типу упражнений можно отнести упражнения вида: “Дан алгоритм построения графика функции . Используя этот алгоритм, постройте графики функций , ” [14, 26, 30].

Чтобы у учеников сложились устойчивые представления о графике квадратичной функции, нужны и такие задания, которые учили бы учащихся непосредственному конструированию графика (желательно, чтобы они были с лишними или недостающими данными).

Например, “Постройте график квадратичной функции, если известно, что функция не имеет нулей и ее график получается из графика функции некоторым перемещением; функция имеет нулями числа –2 и 6 и ее график проходит через точку В(0;6)” [14].

В учебном пособии [14] отмечается, что не менее важны задания, в которых, к примеру, даны кусочки парабол.

o

o

Рисунок 6 Рисунок 7 Рисунок 8

В данном задании ученикам требуется установить на каком из рисунков расположен фрагмент графика функции ? [14].

Кроме прямых заданий, должны быть и такие, в которых требуется что-либо изменить, то есть учащиеся должны понимать, что будет происходить с графиком функции, если появится какое-нибудь условие (осью симметрии будет прямая ; ). К примеру, “Постройте график квадратичной функции . Постройте кривые, симметричные данной параболе относительно: оси ординат, оси абсцисс, начала координат” [14].

Кроме того, важны задания и на выделение отличительных и общих свойств. Например, требуется построить графики нескольких функций , , , , , и выяснить что общего в этих графиках, какие связи между ними можно установить [14, 26, 30].

К сожалению, не во всех учебниках можно найти задания, описанные выше, которые помогают учащимся сформировать устойчивые, четкие представления о графике функции, его построении.

Таким образом, к основным проблемам формирования алгоритма построения графика квадратичной функции следует отнести выбор методики перехода от известного графика функции к построению графика , организацию соответствующих предметных действий учащихся.

В заключении данного пункта следует сказать, что тесты по разделу “график квадратичной функции” должны предполагать проверку сформированности целого ряда умений:

1.  строить график квадратичной функции;

2.  читать и анализировать графики;

3.  строить график функции с определенными свойствами;

4.  выделять в графике квадратичной функции элементы в соответствии с определенной задачей;

5.  составлять задачи на основе предъявленного графика;

6.  устанавливать связи между графиками различных квадратичных функций;

7.  осознавать ситуации, в которых могут возникать квадратичные функции.

1.2.3. Свойства квадратичной функции

Одним из важных вопросов методики изучения квадратичной функции являются способы введения и закрепления ее свойств.

В некоторых проанализированных учебниках рассмотрение квадратичной функции начинается с функции [1, 14], в других – с функции [2, 26, 29].

Некоторые авторы проводят подробное изучение свойств этой функции, доказывая их аналитически, устанавливая связи между способами ее задания. Действительно, тщательная работа по изучению свойств данной функции на этом этапе обучения необходима, так как основным приемом изучения свойств других квадратичных функций является, по сути дела, сравнение их со свойствами функции .

Подробное изучение проводится так: изучаются свойства функции . Часто свойства изучаются исходя из аналитического задания (область определения, четность, интервалы знакопостоянства), а такие свойства, как интервалы возрастания и убывания функции рассматриваются сначала с помощью графика, а затем обосновываются аналитически.

При изучении свойств других квадратичных функций наблюдается две линии. При одной из них сначала идет выявление и обоснование свойств на основе анализа аналитического задания этой функции, затем данные свойства получают геометрическую интерпретацию, строится график [14]. В другом случае свойства выделяются на основе анализа графика, а затем они обосновываются аналитически [1, 2, 26]. В некоторых учебниках эти две линии сочетаются.

Заметим, что независимо от выбранной линии изучения свойств квадратичной функции некоторые авторы особое внимание уделяют выработке у учащихся умения рассуждать о свойствах квадратичной функции на двух языках: алгебраическом и графическом. Именно обратимый перевод свойств функций с аналитического “языка” на “язык” графика способствует лучшему усвоению материала.

Однако в школьных учебниках не всегда такая работа проводится в необходимом объеме. Так, в некоторых учебниках практически нет заданий, где требовалось бы по заданному набору свойств квадратичной функции представить ее график, выразить графически то или иное свойство, заданное словесно-символически. Это приводит к неполноценному усвоению свойств функции, так как не отрабатывается свойство обратимости соответствующей мыслительной операции. Далеко не всегда подводится итог изучения различных квадратичных функций и делается вывод о ее свойствах.

Предлагаемые тесты по этому разделу должны содержать следующее:

1.  умение перечислять свойства заданной квадратичной функции;

2.  умение переходить от аналитического представления свойств к их графической интерпретации и наоборот;

3.  умение устанавливать связь между различными свойствами квадратичной функции.

1.2.4. Связь квадратичной функции с другими понятиями и некоторыми разделами школьного курса

Важнейшим свойством понятийного мышления является системность. Формирование системности мышления учащихся предполагает четкое прослеживание в учебном материале логических связей между понятиями тех или иных разделов школьного курса.

Прежде всего, понятие “квадратичная функция” связано с такими понятиями, как “квадратное уравнение”, “неравенства второй степени”. Остановимся на методике установления связей между этими понятиями.

Если до изучения квадратных уравнений изучается квадратичная функция [4, 6], то связи между этими понятиями устанавливаются сразу в момент перехода от изучения квадратичной функции к квадратным уравнениям и неравенствам.

Некоторые авторы в этой связи отмечают необходимость подчеркнуть различие между понятиями “квадратичная функция” и “квадратные уравнения”, чтобы избежать у учащихся неверных ассоциаций.

Кроме того, рекомендуется использовать с целью установления связей между данными понятиями так называемый “словарь перевода” задач решения неравенств второй степени, квадратных уравнений на графический язык [14]. Это дает возможность проследить “графически” свойства квадратных уравнений, неравенств второй степени, квадратичной функции, тем самым осознать геометрически связи между рассматриваемыми понятиями.

Знание свойств квадратичной функции играет существенную роль при выборе алгоритма решения неравенств второй степени с одной переменной. Анализ литературы показывает, что рассуждения здесь могут строиться двумя способами: аналитическим и графическим.

При изложении графического метода решения неравенств методика строится следующим образом: учащимся предлагается построить графики конкретных квадратичных функций и сделать на их основе суждения о тех значениях переменной, при которых значения функции положительны (отрицательны). На основе этого опыта учащиеся должны получить алгоритм решения неравенств второй степени. По сути дела должно быть выделено два свойства, от которых зависит решение неравенств второй степени – знак коэффициента (направление ветвей) и наличие корней у квадратичной функции (абсциссы точек пересечения параболы с осью ).

Например, в одном из учебников учащимся предлагается следующее задание:

“Вам предстоит решить неравенство . Какая информация о квадратичной функции может оказаться при этом полезной:

1)  знак коэффициента ;

2)  знак дискриминанта квадратного трехчлена;

3)  направление ветвей параболы ;

4)  пересечение параболы с осями координат;

5)  координаты вершины параболы;

6)  примерное расположение параболы?

Обязательно ли для решения неравенства строить график соответствующей квадратичной функции? Если да, то с какой точностью выполнять построение?” [14].

В этом задании важно то, что внимание учащихся обращено не только на существенные признаки, но и на несущественные, которые были названы и которым дана соответствующая оценка.

Таким образом, ученики должны понимать, что сформулировать задачу о решении неравенств второй степени можно, используя понятия “квадратичная функция” и “график квадратичной функции”; должны понимать, что всегда ли необходимо строить график квадратичной функции, чтобы указать интервалы ее знакопостоянства и тем самым решить неравенство второй степени.

Далеко не всегда в школьных учебниках обращается внимание учащихся на эти связи. Это приводит к неглубокому усвоению каждого из данных понятий. Рассмотренные связи между понятиями относятся к числу внутритематических связей, но для полноценного усвоения данного учебного материала важно проследить связи понятий с понятиями других тем и учебных дисциплин.

Проследим, каким образом в учебной литературе раскрываются связи между понятием данного раздела с понятиями геометрии, физики.

Данное понятие используется как аппарат при решении некоторых задач геометрии. Только в одном из рассматриваемых учебников при изложении данного учебного материала широко используются знания по геометрии. В частности, рекомендуется ставить задачи, актуализирующие знания учащихся о геометрических преобразованиях. Определенные задачи геометрии могут выступать как мотивационные при введении данного понятия [14].

Кроме того, прослеживается связь с физикой. Например, в физике со свободным падением тел связано целое семейство квадратичных функций. Изучив разнообразные свойства таких функций, можно решить задачу о свободном падении. Но в физике квадратичная функция встречается не только в описании падающих тел (гармонические колебания, параболическое зеркало, вращающаяся жидкость) [14].

Таким образом, анализ литературы показал, что можно выделить следующие линии установления связей между рассматривамым понятием и понятиями физики:

·  при изучении данного понятия алгебры используются задачи с физическим содержанием или приводятся примеры физических процессов, которые могут быть описаны соответствующей функцией;

·  при построении графиков квадратичной функции предлагается построить графики определенных процессов, проанализировать известные свойства функции с физической точки зрения;

·  при изучении свойств квадратичной функции выделяются такие ее свойства, которые позволяют охарактеризовать некоторые физические величины.

К сожалению, не во всех работах эти линии нашли отражение. Следовательно, предлагаемые тесты требуют от учащихся:

1.  устанавливать различные связи между понятиями;

2.  видеть связи между такими понятиями, как “квадратичная функция”, “квадратное уравнение”, “неравенство второй степени”;

3.  применять квадратичные функции для решения различных задач.

В заключении данной главы можно сказать следующее.

Обобщение особенностей изложения данной темы показывает, что накоплен положительный опыт в формировании у учащихся соответствующего понятия. Тем не менее, обращает на себя внимание то обстоятельство, что отсутствует единство мнений относительно методики изложения этого учебного материала, целый ряд важных моментов, имеющих значение для эффективного усвоения, не учитывается. Часто последовательность изложения некоторых вопросов темы не соответствует особенностям познавательной деятельности. Результатом такого несоответствия логической структуры учебного материала могут быть ошибки, столь типичные для учащихся при усвоении темы “Квадратичная функция”.

Таким образом, в методике преподавания данного раздела школьного курса математики актуальной является задача поиска оптимальных путей изложения в соответствии с теми требованиями, которые предъявляют к организации учебного материала внутренние закономерности логики познавательного развития учащихся.

II. Система тестовых заданий по теме «Квадратичная функция»

2.1. Тестирование как средство контроля знаний учащихся

Проверка знаний, умений и навыков учащихся в процессе обучения математике имеет важнейшее обучающее и воспитательное значение. Прежде всего, проверка знаний, умений и навыков позволяет выявить уровень успеваемости, то есть степень усвоения учебного материала, полноту, глубину, сознательность и прочность знаний на разных этапах обучения, и обеспечивает таким образом накопление информации, необходимой для направленной деятельности по устранению несоответствия между заданным и истинным уровнем знаний, для управления процессом обучения.