Изучение квадратичной функции в школе (стр. 1 )

ИЗУЧЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ В ШКОЛЕ

Методическая разработка

VII Конкурс-фестиваль методических разработок, направленных на развитие и совершенствование образовательных практик

Авторы:

,

учитель математики МОУ лицея № 7

8-73

,

учитель информатики МОУ лицея № 7

8-320

Содержание

Пояснительная записка 3

I. Различные подходы к изучению квадратичной функции 5

1.1. Психолого-педагогические особенности процесса усвоения

учащимися понятий в процессе обучения 5

1.2. Анализ опыта преподавания темы «Квадратичная функция» 9

1.2.1. Определение квадратичной функции 10

1.2.2. Построение графика функции 11

1.2.3. Свойства квадратичной функции 17

1.2.4. Связь квадратичной функции с другими понятиями и

некоторыми разделами школьного курса 18

II. Система тестовых заданий по теме «Квадратичная функция» 21

2.1. Тестирование как средство контроля знаний учащихся в процессе

обучения 21

2.2. Разработка тестовых заданий по теме «Квадратичная функция» 24

2.2.1. Тесты I варианта 24

2.2.2. Тесты II варианта 33

2.2.3. Тесты III варианта 40

2.3. Содержание заданий, позволяющих скорректировать результаты

тестирования 45

Заключение 48

Список использованной литературы 49

Пояснительная записка

Актуальной является задача усовершенствования процесса обучения математике, направленная на повышение его развивающих, воспитывающих функций.

Для того чтобы повысить у учащихся интерес к изучению математики, обеспечить сознательное усвоение ими математических понятий, воспитать у них навыки самостоятельной работы, учитель должен знать особенности тех психических процессов, которые лежат в основе усвоения математических знаний. В первую очередь это относится к процессу изучения математических понятий.

Усвоение понятий – это та специфическая форма познавательной деятельности, посредством которой происходит овладение каждым отдельным учащимся культурно – теоретическим опытом человечества. В ходе этой деятельности имеет место усвоение совокупности определенных знаний, а также средств, способов “родового” мышления, следовательно, процесс формирования понятий обеспечивает развитие интеллектуальных способностей учащихся. Кроме того, особенности усвоения понятий оказывают непосредственное влияние на характер и степень осознания учащимися своего отношения к действительности.

Основной проблемой данного исследования является выяснение требований, которым должна отвечать познавательная деятельность учащихся при усвоении математических понятий, выбор методических средств реализации этих требований в процессе преподавания квадратичной функции, разработка тестов, как одного из видов контроля учащихся в процессе обучения данной темы.

Проблемы формирования понятийного мышления в процессе обучения нашли свое отражение в работах , , и др. [10, 11, 12, 17, 18, 21].

Выбор для исследования такого раздела школьного курса математики, как “Квадратичная функция” обусловлен следующими обстоятельствами. Во-первых, данное понятие является одним из важнейших понятий школьного курса. В связи с этим, программой школы предусматривается достаточно глубокое изучение данного вопроса, что создает условия для создания у учащихся в рамках школьного курса целостных представлений о квадратичной функции. Во-вторых, усвоение данного материала в значительной мере определяет качество усвоения ряда последующих разделов математики.

Школьный курс математики построен так, что квадратичную функцию изучают на протяжении ряда лет на уроках алгебры и в старших классах на уроках алгебры и начал анализа.

Знания по математике год от года углубляются и расширяются, что наглядно можно проследить на примере изучения свойств квадратичной функции, ее графика и применения квадратичной функции.

Знания свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного выполнения работы школьников, абитуриентов, студентов.

Ведь многие задачи из совсем иных, на первый взгляд, разделов элементарной математики, таких как исследование экстремальных свойств функции, тригонометрические уравнения, логарифмические и показательные уравнения, системы уравнений и неравенств и др., часто сводятся в конечном итоге, к решению квадратных уравнений или к исследованию квадратного трехчлена.

И если вовремя подробно не изучить данную тему, то это может привести к появлению огромных пробелов у школьников в знаниях элементарной математики.

В преподавании этого учебного материала накоплен достаточно большой опыт. В данной работе он анализируется с точки зрения современных задач обучения, учета и реализации тех условий, которые способствуют формированию понятийного мышления учащихся.

Об этом можно судить по отражению и реализации общих закономерностей организации познавательной деятельности учащихся при формировании понятий данного учебного материала на уровне учебников, учебных пособий.

Имеются методические пособия для учителей, непосредственно посвященные изложению данного учебного раздела [31].

В некоторых учебных пособиях даются рекомендации по преподаванию этого материала, имеются интересные задачи. Но в них недостаточно внимания уделяется психолого-педагогическому обоснованию выбранного пути изложения, критерию подбора задач, что не дает уверенности в использовании предлагаемой методики.

Таким образом, имеются методические работы и исследования, освещающие данный раздел школьного курса математики. Однако в них специально не ставится проблема соотношения логической структуры этого учебного материала с внутренними психологическими механизмами его усвоения учащимися.

Целью разработки является усовершенствование методики преподавания учебного раздела “Квадратичная функция” с точки зрения учета психологических особенностей процесса усвоения знаний.

Объектом данной работы являются особенности усвоения понятий в процессе обучения, а предметом – организация процесса усвоения учащимися раздела “Квадратичная функция” в соответствии с требованиями развития понятийного мышления обучаемых.

Исследование проблемы включает в себя решение следующих задач:

·  выявление на основе анализа психолого-педагогической литературы основных характеристик понятийного мышления;

·  выделение системы требований к организации познавательной деятельности учащихся по формированию понятия “квадратичная функция”;

·  классификация умений в соответствии с требованиями формирования понятийного мышления учащихся;

·  разработка тестовых заданий по данному разделу.

Основными методами исследования являлись: анализ психологической, педагогической, методической и специальной математической литературы по проблеме исследования; обобщение опыта работы по развитию понятийного мышления учащихся.

Практическая ценность работы состоит в том, что разработана система целенаправленных заданий, составленная в соответcтвии с требованиями организации познавательной деятельности учащихся по усвоению понятия “квадратичная функция”, разработаны тесты, являющиеся одним из видов контроля знаний школьников, которые позволили бы провести разноуровневый анализ успешности учащихся в изучении данного учебного материала.

I. Различные подходы к изучению квадратичной функции

1.1. Психолого-педагогические особенности процесса усвоения учащимися понятий в процессе обучения

Усвоение знаний, способствующее развитию мышления учащихся, предполагает целенаправленное управление процессом формирования понятий.

[8, 9], изучая закономерности умственного развития ребенка, пришел к заключению, что именно образование понятий является ключом к пониманию процессов психологического (в том числе интеллектуального) развития подростков.

Для современной практики обучения особый интерес представляет поиск ответа на вопрос о том, почему именно с образованием понятий связывал коренную перестройку всей интеллектуальной деятельности подростка, а также существенные изменения содержания его сознания в целом.

Во-первых, благодаря понятиям ученик начинает понимать связи, отношения, взаимозависимости, скрытые за поверхностью видимых явлений, и, следовательно, постигать закономерности, управляющие действительностью.

Во-вторых, с помощью понятий происходит расширение среды сознания подростка. Иными словами, средой для мышления ученика становится весь мир в его многообразии и целостности.

В-третьих, происходит перестройка элементарных познавательных функций на основе их синтеза с функцией образования понятий: восприятие фактически превращается в наглядное мышление, запоминание начинает опираться на смысловые связи, внимание приобретает произвольный характер.

В-четвертых, понятия выступают в качестве средства адекватного и полного усвоения исторически сложившегося опыта человечества. Фактически, только через понятия индивидуум открыт культуре и, таким образом, только через понятия осуществляется наиболее эффективная социализация (очеловечивание) индивидуального интеллекта, что создает предпосылки для понимания других людей.

В-пятых, благодаря формированию понятийного мышления (владению понятиями) содержание мышления становится внутренним убеждением подростка, его интересом, желанием и намерением. Переплетаясь со сложными внутренними моментами личности, содержание мышления становится “достоянием личности, начинает участвовать в общей системе движения этой личности”.

В-шестых, понятийный опыт – это основа самопознания, ибо, по словам Выготского, “… только с образованием понятий наступает интенсивное развитие самовосприятия, самонаблюдения, интенсивное познание внутренней действительности, мира собственных переживаний”.

Таким образом, мышление в понятиях обеспечивает возможность нового типа понимания объективного мира, возможность понимания других людей и, наконец, возможность понимания самого себя.

Не удивительно, что задача формирования понятийного мышления – это одновременно и задача развития личности и ее отношений с окружающим миром. Именно поэтому в центре любой предлагаемой технологии преподавания математики должно оказываться требование формирования понятийного мышления учащихся как психологической основы компетентности и важнейшего условия их интеллектуального роста [40].

Традиционно понятийное мышление определяется как особый вид познавательной активности, обеспечивающей обобщенное отражение существенных характеристик действительности в ходе ее анализа, синтеза, обобщения.

Генетический анализ процесса формирования понятий () показывает, что отличительной чертой понятийной познавательной деятельности является непрерывное взаимодействие словесно-символических форм выражения содержания понятий и соответствующих им образных структур [10, 11].

Словесно-речевые процессы выступают в качестве органического компонента понятийного отражения действительности. Мышление в понятиях невозможно вне речевого мышления. Слово при этом принимает самое непосредственное участие в вычленении различных компонентов отражаемых объектов, их дифференцировке и фиксации в сознании. Словесные знания упорядочивают и систематизируют образные представления учащихся.

Отмечая решающую роль слова в становлении мыслительной деятельности, нельзя забывать о том, что формирование мышления не сводится лишь к овладению языком. Превращение слова в регулятор процесса усвоения информации предполагает определенный уровень организации чувственно-практического опыта учащегося, при котором предметные действия и зрительные впечатления должны быть представлены в наглядно-обобщенной форме, обеспечивающей фиксацию существенных черт объекта.

Для понятийного мышления характерно появление особого рода представлений, а именно образных моделей и схем, требующих более высоких уровней обобщения.

К такому выводу приходит [40]. Она показывает, что в работу понятийной мысли непосредственно включены образные системы разной степени обобщенности, позволяющие воспроизводить в наглядной форме различные стороны объекта.

Образы обеспечивают такую характеристику понятия, как его предметная отнесенность. Они предлагают отличать любой предмет данного класса от всех предметов, не принадлежащих к этому классу. Образ выступает как одна из форм упорядочивания и систематизации информации. Образы делают мыслительный процесс более ярким, гибким, повышают его эмоциональную насыщенность.

Таким образом, в структуре мышления переработка информации идет в системе двух “языков”: словесно-речевого и образного. Следовательно, процессы взаимодействия словесно-речевых и образных компонентов составляют неотъемлемую черту работы понятийного мышления как частного вида мыслительной активности. Специфика образного “языка” понятийного мышления заключается в высокой степени его динамичности (активное преобразование образа, связанное с вычленением отдельных его элементов, перестройкой исходного образа в соответствии с требованиями задачи), системности (соотнесенность данного образа с рядом других образов), обобщенности (передача в образных формах общих, существенных характеристик объекта).

Дальнейший анализ психологических особенностей понятийного мышления показывает, что знания на понятийном уровне – это всегда знание некоторой совокупности признаков объекта [7].

В этом плане понятийный уровень осмысления фактов отличается от уровня представлений тем, что в последнем признаки представлены в органическом объеме, слитно и недифференцированно, отсутствует осознание связи между ними. Причем эти процессы невозможны без соответствующей словесной интерпретации признаков и образного их представления, так как признаки дифференцируются средствами языка и закрепляются за счет активизации образов разной степени обобщенности.

Таким образом, понятийное мышление предполагает расчленение признаков объектов, входящих в объем понятия и разъяснения существа каждого из них.

Далее, понятийное мышление характеризует такой уровень понимания действительности, при котором тот или иной факт описывается в органическом единстве его частных и общих характеристик.

Соотнесенность в понятии частных и общих признаков позволяет оценить степень их существенности применительно к содержанию решаемой задачи. Именно умение вычленить существенные характеристики отображаемых объектов является критерием сформированности понятийного мышления () [4, 35].

Понятийное обобщение имеет в своей основе целый ряд мыслительных процедур: дифференцировку некоторого множества признаков объекта, оценку каждого из них по степени обобщенности, определение места того или иного признака в системе других признаков, выявление степени существенности признаков в соответствии с характером поставленной задачи.

Важно заметить, что, по мнению , центральным вопросом для всей проблемы является вопрос о психологической основе такого важного свойства понятийного мышления, как системность [9].

Особенности усвоения каждого отдельного понятия определяются характером его взаимосвязей с другими понятиями, и только в системе понятийных взаимодействий отдельное понятие приобретает качество осознанности и произвольности.

В свою очередь, возможность включения понятия в систему отношений общности с другими понятиями зависит от того, насколько организованы признаки в содержании отдельного понятия. В исследованиях [40] проведен анализ процесса установления родо-видовых связей в системе понятий. По полученным данным, этот процесс включает целый ряд этапов, которые должна пройти мысль, прежде чем она сумеет осуществить переход от данного конкретного видового понятия к его родовому обобщению. В частности, чем более разнообразно, ярко развернут в сознании “видовой пример”, тем вероятнее и успешнее произойдет установление искомой родо-видовой связи. Родовые понятия, в свою очередь, воздействует на формирование и применение видовых понятий: направляют процесс словесно-образного перевода, определяют особенности анализа соответствующего объекта или явления, задают направление поиска понятий, связанных с исходным понятием.

Таким образом, необходимо одновременно вести работу как по упорядочению в сознании учащихся признаков отдельного понятия, так и по установлению связей последнего с системой понятий.

Последующий анализ особенностей организации понятийного мышления показывает, что оно представляет собой сложную форму умственной деятельности, связанную с необходимостью выполнения различных преобразований объектов, явлений, подводимых под понятие. В этом плане владение понятием предполагает выполнение ряда мыслительных операций.

Действительно, владение понятием о данном объекте предполагает умение мысленно воспроизводить, строить этот объект, вычленять его отдельные свойства, детали, стороны, качества, знать его происхождение.

подчеркивает, что операции на уровне понятийного мышления приобретают свои специфические черты. Так, анализ приобретает форму абстракции, предполагающей вычленение существенных свойств объекта и их преобразование. Синтез выступает как мыслительная процедура, связанная с восстановлением конкретного как проанализированного целого, в соотношении его многообразных проявлений. Понятийное обобщение характеризуется процессами обобщения по существенным признакам. По мере того, как в процессе мышления складываются определенные операции – анализа, синтеза, обобщения, - по мере того, как они генерализируются и закрепляются, у учащихся формируется мышление как способность, складывается интеллект [35].

Кроме того, при формировании понятий большое значение имеет умение учащихся производить различные операции с признаками понятия при подведении предмета под данное понятие.

Безусловно, в образовании понятий участвуют все мыслительные операции. Поэтому можно сказать, что по мере того, как у учащегося складывается определенная система операций, у него происходит усвоение научных понятий.

Говоря о важнейших особенностях понятийного мышления, нельзя обойти вопрос о той роли, которую играет в функционировании этой формы познавательной активности предметно-практический опыт учащихся.

Активность, динамичность образного “языка” мышления учащихся в значительной степени зависит от особенностей организации опыта предметно – практического взаимодействия ребенка с действительностью.

Регуляция предметного опыта через систему словесного знания приводит к тому, что информация об отражаемом объекте предстает для учащегося в наглядно – обобщенной форме, которая структурно фиксирует наиболее существенные “родовые” характеристики отображаемых объектов или явлений. Другими словами, чем активнее и целенаправленнее преобразовывается учащимися содержание предметного опыта, тем эффективнее идет формирование процессов словесно-образного перевода и, следовательно, понятийного мышления в целом.

При введении новых понятий следует пользоваться действительными пространственными формами и количественными отношениями – вещами, их моделями, изображениями, надо использовать с этой целью и опыт учащихся, приобретенный в обыденной жизни.

Итак, общий обзор психологических и педагогических исследований показывает, что понятийное мышление выступает как сложная форма умственной деятельности, особенность организации которой необходимо связана с актуализацией целой системы тесно взаимосвязанных видов психического отражения действительности.

Так, понятийная познавательная деятельность предполагает:

·  подключение предметного (житейского) опыта детей;

·  наличие взаимно-обратимого перевода содержания понятий со словесно-символического языка на язык образов разной степени обобщенности;

·  осознание и дифференциацию признаков, характеризующих объект или явление; соотнесение всех выделенных признаков по степени их обобщенности и существенности в соответствии с требованиями задачи;

·  установление системы связей каждого отдельного понятия с рядом других понятий;

·  сформированность основных мыслительных операций (анализа, синтеза, сравнения, обобщения), характеризующихся свойством обратимости;

·  различные формы “участия” в процессах становления и функционирования понятий, опыта предметно-практического взаимодействия учащихся с окружающей средой.

Квадратичная функция относится к числу основных понятий школьного курса математики. Поэтому учебная программа школы предполагает достаточно полное и всестороннее изучение этого понятия. Данный учебный материал имеет широкие связи с другими разделами алгебры, а также с рядом учебных предметов. Такое место указанного раздела школьного курса математики требует, чтобы его основные понятия были усвоены полноценно.

Большое количество допускаемых учащимися ошибок и причин их возникновения дает основание предполагать, что имеются определенные пробелы в знаниях учащихся по данному учебному материалу.

Но, с другой стороны, в преподавании этого раздела накоплен большой опыт, который необходимо проанализировать с точки зрения отражения в нем современных требований к процессу преподавания. А также выяснить, насколько учитывается и какими средствами реализуются те условия, которые способствуют формированию и полноценному усвоению понятия данной темы.

Одной из задач методики преподавания математики является сохранение лучших традиций преподавания. В этой связи важно проследить, каким образом осуществляется преемственность опыта изложения темы "Квадратичная функция".

Основной целью данной главы является анализ и обобщение опыта преподавания темы “Квадратичная функция” с точки зрения современных требований к организации процесса обучения и задач формирования основных понятий.

Важно отметить, что формирование понятий связано с выработкой у учащихся ряда интеллектуальных и практических умений.

Так, реализация обратимого перевода словесно-символических форм выражения содержания понятий на язык образов предполагает выработку целого ряда умений: читать и анализировать графики, пространственно представлять словесно-символическую информацию, словесно описывать схематически представленные планы действий, оперировать пространственными образами, перестраивать образы в соответствии с приемами расчленяющей абстракции, составлять задачи на основе предъявленного графика.

Таким образом, эффективность процессов словесно-образного перевода предполагает наличие достаточно развитой речи и пространственного представления учащихся.

Осознание учащимися признаков, характеризующих предмет или явление, понимание связей в системе признаков данного понятия, возможность их оценок по степени существенности могут быть достигнуты в результате формирования умений: устанавливать в объекте необходимое множество признаков и обосновать их, выделять из данного множества объектов его подмножества по указанным признакам, распределять признаки в системе признаков на частные и общие, устанавливать наличие или отсутствие у данного предмета известного признака, сравнивать предметы по указанному признаку, выбирать из всех известных признаков понятия те, которые важны для решения данной задачи.

Активизации мыслительных операций спосособствует формирование умений: устанавливать аналогии между объектами, анализировать, формулировать задачу, обратную данной, критиковать, ставить вопросы, планировать и контролировать стратегию своей деятельности.

Включение данного понятия в систему других понятий возможно, если учащиеся умеют устанавливать родо-видовые связи между различными понятиями, отдифферецировывать понятия, классифицировать их, составлять схемы связей изучаемых понятий и объяснять их взаимосвязи, включать данное понятие в систему межпредметных связей.

Задача установления связи понятия с содержанием предметно-практического опыта решается в результате выработки у детей следующих умений: выполнять соответствующие содержанию усваиваемого понятия различные предметные действия, осознавать некоторую предметную область возникновения и применения понятия.

Одним из средств формирования каждого из перечисленных выше умений может служить специально подобранная система заданий. Логическая структура каждого из этих заданий должна непосредственно способствовать выработке того или иного умения, а в своей совокупности данные задания должны обеспечить возможность целостной организации понятийной познавательной деятельности учащихся по усвоению рассматриваемого понятия.

1.2. Анализ опыта преподавания темы “Квадратичная функция”

Проанализируем опыт преподавания темы “Квадратичная функция” с точки зрения выделенных требований к процессу формирования понятий: подключение предметного опыта детей; организация обратимого перевода содержания словесных определений, формул на “язык” образов; выделение признаков, характеризующих понятие данной темы, установление различных связей между этими признаками, соотнесение этих признаков по их существенности относительно определенной задачи; формирование связей между понятиями данного раздела алгебры, а также связей изучаемого понятия с другими понятиями школьных дисциплин; активизация основных мыслительных операций в процессе изложения данного учебного материала; подключение и реорганизация предметно-практического опыта учащихся, соответствующего содержанию входящего в тему понятия.

1.2.1. Определение квадратичной функции

При анализе методики изучения данного понятия внимание обращалось на то, как выделяются и закрепляются особенности такого класса функций, как квадратичные, как используются различные формы образной интерпретации и т. д.

Важным условием эффективного усвоения учащимися данного понятия является знакомство их с предметной областью возникновения и применения понятия.

Важно отметить, что прежде чем дать определение, ввести математическое понятие, необходимо привлечь жизненный опыт учащихся, рассмотреть с детьми ситуации, в которых возникает данное понятие.

Лишь в некоторых учебниках прослеживается связь данной темы с реальной жизнью [14, 26]. Например, параболу часто можно наблюдать в реальной жизни как траекторию движения какого-либо тела. Баскетболист бросает мяч в корзину, и он летит почти по параболе. Струя фонтана «рисует» линию, которая близка к параболе. Ныряльщик, прыгающий со скалы в море, описывает в воздухе линию, близкую к параболе.

При рассмотрении различных предметных задач появляются различные виды квадратичных функций (, и др.).

Вопрос об источниках возникновения параболы, квадратичной функции, к сожалению, отражается не во всех учебниках. Лишь только в одном из них данная тема разработана довольно полно [14]. Здесь знакомство учащихся с истоками появления параболы, квадратичной функции проходит в ходе решения предметно-практических исторических задач (Делосская задача, конические сечения и др.).

В различных учебниках изучение квадратичной функции начинается с построения параболы [14], с изучения физических процессов, где зависимость между величинами может быть выражена с помощью многочленов второй степени [1, 2, 14, 26], с анализа аналитического и графического задания этой функции. Далее следует работа с определением квадратичной функции.

Дается одно из следующих определений.

“Функция, где – заданные действительные числа, , – действительная переменная, называется квадратичной функцией” [1, 29].

”Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида, где – независимая переменная, – некоторые числа, причем ” [2, 26].

”Функции вида и функции, которые приводятся к такому виду, называются квадратичными” [14].

В различных учебниках выбирается тот или иной вариант определения.

Следует отметить, что некоторые авторы организовывают сравнение квадратичной функции с другими функциями, что позволяет ученикам выделить отличительные признаки [1, 14, 26, 30]; предлагают такие задания, с помощью которых после различных преобразований выражений, учащиеся непосредственно могут получить квадратичную функцию, установить ее общий вид, выделить коэффициенты [14].

Связь между различными видами квадратичных функций устанавливается в ходе анализа одного из представлений квадратичной функции , где :

-  , , ;

-  , , ;

-  , ;

-  , ;

-  , ;

-  .

Проведя соответствующий анализ литературы по изучаемой теме, можно сделать вывод, что предлагаемые тесты по разделу “определение квадратичной функции” должны предполагать следующее:

1.  выделение и закрепление существенных признаков квадратичной функции;

2.  работа с коэффициентами квадратичной функции;

3.  установление связей между различными квадратичными функциями;

4.  установление связи между понятиями “функция” и “квадратичная функция”.

1.2.2. Построение графика функции

При анализе учебников, учебных пособий обращалось основное внимание на методику формирования геометрического образа квадратичной функции, установления связей между аналитическим и графическим способами ее задания.

Прежде всего, остановимся на вопросах методики построения графика квадратичной функции. Именно здесь вырабатывается умение переводить информацию с символико-алгебраического языка на язык образно-графический.

Анализ литературы показывает, что выделяются два пути построения графика квадратичной функции. При первом подходе построение проводится на основе предварительного исследования соответствующей квадратичной функции (ищутся точки пересечения с осями координат, координаты вершины параболы). При втором подходе проводится такое преобразование формулы, задающей квадратичную функцию, в результате которого построение графика искомой функции сводится к построению графика функции .

Второй путь является более оправданным, так как он достаточно нагляден, здесь процесс построения связан с проведением геометрических преобразований. Следует отметить, что этот путь построения графика квадратичной функции может быть перенесен на построение графиков функций, задаваемых с помощью формул, приводимых к виду , а именно: , , , , . Остановимся на особенностях такого способа построения графика функции. Важно отметить, что при анализе литературы обращает на себя внимание различная последовательность перехода от построения графика функции к построению графика функции . В большинстве работ выбрана следующая последовательность.

,

В других – осуществляется переход сразу от построения графика функции к построению графика .