Изучение квадратичной функции в школе (стр. 5 )

A) да B) нет

(1 балл)

2.  Верно ли, что среди функций , , , , только три являются четными?

A) нет B) да

(2 балла)

3.  Верно ли, что из двух функций и только одна принимает отрицательные значения?

A) да B) нет

(1 балл)

4.  Постройте график функции . Верно ли, что наименьшее значение функции будет больше –5?

A) да B) нет

(2 балла)

5.  Дана функция . Возрастает ли функция на промежутках (-4;-2) и (-3;1)?

A) нет B) да

(1 балл)

6.  Верно ли, что среди функций , , одна имеет две точки пересечения с осью ?

A) да B) нет (1 балл)

7. Верно ли, что абсциссы вершин парабол и

совпадают?

A) да B) нет

(1 балл)

8. Верно ли, что среди нулей всех функций ,

, есть число 3?

A) да B) нет (2 балла)

9. Постройте график функции . Найдите область

значения данной функции. Будет ли этот промежуток областью

значений функции ?

A) да B) нет (2 балла)

10.Пусть А – наибольшее значение функции на отрезке [-1;1], а

B – наибольшее значение функции на отрезке [-1;1]. Что

больше: А или В? (сделать геометрическую иллюстрацию)

A) А B) В

(3 балла)

2.2.3. Тесты III варианта

Тест № 1

(определение квадратичной функции)

1.  Дана функция . Укажите несколько значений (например, три), при которых .

(1 балл)

2.  Площадь прямоугольника с периметром, равным 20 см, является функцией длины основания . Задайте функцию формулой; убедитесь, что это квадратичная функция.

(3 балла)

3.  Запишите 2-3 алгебраических выражения, которые не могут задавать квадратичную функцию.

(2 балла)

4.  Приведите примеры трех функций, которые являются квадратичными.

(1 балл)

5.  Укажите квадратный трехчлен, дискриминант которого больше 1. Докажите это.

(2 балла)

6.  Придумайте задание, которое приводило бы к квадратичной функции.

(3 балла)

7.  Сравните значения функции при и функции при .

(1 балл)

8.  Докажите, что алгебраическое выражение может задавать квадратичную функцию. Найдите коэффициенты .

(3 балла)

Тест № 2

(область определения функции; четность, нечетность функции)

1.  Квадратичная функция определена на промежутке [-1; 2]. Какие значения может принимать функция в данном случае (укажите 5-6)?

(1 балл)

2.  Приведите 3-4 примера квадратичной функции, которая являлась бы четной.

(2 балла)

3.  Запишите несколько квадратичных функций, которые являются ни четными, ни нечетными.

(2 балла)

4.  Запишите пять примеров квадратичной функции, среди которых только две являются четными функциями.

(3 балла)

5.  Какими должны быть коэффициенты квадратичной функции , чтобы функция была четной.

(1 балл)

6.  Приведите три примера функций, которые бы на промежутке [-2; 2] могли принимать значения, большие 7.

(2 балла)

7.  Квадратичная функция определена на промежутке [0;5]. Какие значения не может принимать функция в данном случае (указать 5-6)?

(2 балла)

8.  Докажите, что функции , , являются четными.

(2 балла)

Тест № 3

( нули функции)

1.  Докажите, что числа –4 и 3 являются нулями функции .

(1 балл)

2.  Задайте формулой какую-нибудь квадратичную функцию, нулями которой являются числа –1 и 3.

(2 балла)

3.  Приведите два примера квадратичной функции, не имеющей нулей.

(2 балла)

4.  Задайте аналитически квадратичную функцию, если ее нулем является одно число 0.

(2 балла)

5.  При каких значениях коэффициента имеет нули функция ? Приведите пример и докажите это.

(2 балла)

6.  Приведите пример квадратичной функции, имеющей два разных корня. Найдите произведение обратных значений ее корней.

(3 балла)

7.  Известно, что и - нули некоторой квадратичной функции, причем . Запишите эту квадратичную функцию.

(3 балла)

8.  Какие выводы можно сделать, определив дискриминант квадратного трехчлена, задающего функцию?

(1 балл)

Тест № 4

(интервалы знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения,

интервалы возрастания и убывания функции)

1.  Дана функция . Укажите 3-4 значения , при которых .

(1 балл)

2.  Задайте аналитически квадратичную функцию, которая удовлетворяет условию: для любого только из промежутка (-3; 4,5).

(2 балла)

3.  Задайте аналитически квадратичную функцию, которая на всей области определения принимает только отрицательные значения.

(2 балла)

4.  Задайте аналитически квадратичную функцию, которая на всей области определения принимает только неотрицательные значения.

(2 балла)

5.  Покажите, что функция принимает наименьшее значение при . Укажите это значение.

(1 балл)

6.  Задайте квадратичную функцию, которая принимает наибольшее значение 25 при .

(2 балла)

7.  У функции изменили коэффициенты так, что наименьшее значение функции стало наибольшим. Как могли быть изменены коэффициенты функции?

(3 балла)

8.  Задайте квадратичную функцию таким образом, чтобы на промежутке (1;3) она возрастала.

(3 балла)

Тест № 5

(график функции)

1.  Определить значение так, чтобы вершина параболы лежала на оси абцисс.

(1 балл)

2.  Как изменить положение осей координат, чтобы парабола стала графиком функции: . Приведите пример.

(2 балла)

3.  Постройте график функции .

(2 балла)

4.  Постройте график функции .

(2 балла)

5.  Известно, что график квадратичной функции, заданной формулой вида , проходит через точку C (-6;-9). Укажите координаты каких-нибудь двух точек, одна из которых принадлежит графику, а другая – нет.

(3 балла)

6.  Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке.

O

Рисунок 16

(2 балла)

7.  Задайте аналитически квадратичную функцию, график которой пересекает ось абсцисс в тех же точках, что и график функции .

(3 балла)

8.  Запишите две квадратичные функции, для которых прямая является осью симметрии графика.

(2 балла)

Тест № 6

(контрольная работа)

1.  График некоторой функции пересекает координатные оси в точках A(-3;0), B(0;7), C(5;0). Достаточно ли этой информации, чтобы восстановить функцию? Если да, то задайте эту функцию аналитически.

(2 балла)

2.  Постройте график функции на заданной области определения и укажите ее наименьшее и наибольшее значения.

(2 балла)

3.  Известно, что уравнение :

а) имеет корни;

б) имеет корни одного знака;

в) имеет корни, один из которых в 3 раза больше другого.

Какое условие для вас будет важным при построении графика

функции ?

(1 балл)

4.  У функции изменили коэффициенты так, что знаки корней функции сменились на противоположные. Как могли быть изменены коэффициенты функции?

(3 балла)

5.  Докажите, что расстояние между вершинами парабол, которые являются графиками квадратичных функций и , равно . (2 балла)

6.  Постройте график функции . Укажите промежутки возрастания и убывания функции, область значений функции.

(3 балла)

7.  Запишите две функции, одна из которых является четной, а другая – нет.

(1 балл)

8.  Задайте аналитически квадратичную функцию, которая на промежутке (1; 3) принимает отрицательные значения.

(2 балла)

Ответы к тестам представлены в таблицах 3 и 4.

Ответы I варианта Таблица 3

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
T № 1	B	C	B	A	C	B	B	D	A	D
Т № 2	C	A	A	B	B	B	A	B	B	A
Т № 3	C	A	D	B	B	D	C	B	B	C
Т № 4	B	D	C	B	C	C	A	D	A	C
Т № 5	D	A	A	B	B	D	C	B	A	A
Т № 6	A	C	A	B	D	A	C	B	A	D

Ответы II варианта Таблица 4

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
T № 1	B	B	B	B	B	B	A	A	A	A
Т № 2	A	B	B	A	A	A	B	B	A	B
Т № 3	A	A	B	B	A	B	A	A	A	B
Т № 4	A	A	A	B	A	B	A	B	B	A
Т № 5	B	A	A	A	B	A	B	B	A	B
Т № 6	B	B	A	A	B	A	A	A	B	A

2.3. Содержание заданий, позволяющих скорректировать результаты тестирования

Разберем задания, входящие в систему упражнений.

1. Задания, способствующие организации обратимого перевода словесно – символических форм выражения понятий на “язык” образов.

Важно, чтобы в процессе обучения у учащихся постоянно формировалось умение переходить от соответствующих знаковых выражений на знаковые формы образной интерпретации. Надо понимать, что такой перевод не служит лишь иллюстративным целям, а он является необходимой частью процесса формирования данного понятия. От учащихся требуется умение читать график, самостоятельно определять его элементы, важные с точки зрения содержания соответствующего понятия.

“Какой из графиков функции указывает на то, что оба корня функции положительны, отрицательны, имеют разные знаки?”

 

I

IV

II

III

Рисунок 17

“Верно ли, что среди изображенных на рисунке графиков есть график функции ?”

I

II

III

Рисунок 18

Наряду с заданиями, где образ указан, а следует лишь выделить его элементы в соответствии с содержанием соответствующих понятий, необходимы задания, формирующие умения создавать образ объектов на основании заданных признаков понятия об этих объектах.

Например, “изобразите графически функцию, которая не имеет нулей и коэффициент при положителен”.

В дальнейшем важно систематизировать все сведения учебного материала; важно, чтобы ученики знали, что значит то или иное на “языке” алгебры и на “языке” графика.

Для выработки динамичности возникающего образа важны те задания, в которых формируется умение учащихся оперировать известными им образами.

“Как изменить положение осей координат, чтобы парабола стала графиком функции ”.

Ведущую роль в выделении свойств квадратичной функции играет ее график. Вместе с тем, учащиеся должны уметь представлять графически существенные свойства этой функции, соотнося их с соответствующим аналитическим выражением и обоснованием.

После того, как учащимся было предложено на основе построенного графика функции ответить на вопрос “Каково множество ее значений?”, “При каких значениях переменной функция принимает положительные (отрицательные), наибольшие (наименьшие) значения?” следуют задания: “Верно ли, что вершиной графика является точка (2;1)”.

Целям оценки существенных и несущественных признаков в возникающем образе служит задание:

“График какой из функций , , , изображен на рисунке?”

Рисунок 19

Данное задание способствует появлению у школьников обобщенных представлений о графике квадратичной функции.

Далее можно предложить задания следующего рода:

“Изобразите график функции , , , , ”.

При выполнении подобных заданий учащиеся должны обобщить свой опыт по построению и анализу графиков различных квадратичных функций, видеть возможное расположение парабол относительно начала координат, осей координат. Здесь формируется динамичный, обобщенный образ той или иной квадратичной функции, который в дальнейшем будет соотноситься с ее аналитическим заданием.

2. Задания, способствующие выделению признаков, характеризующих квадратичную функцию.

Сюда относятся задания, формирующие умение выделять признаки данного понятия, устанавливать наличие и отсутствие у данной квадратичной функции известного признака. Процедура выделения отличительных признаков понятия является важным этапом работы с определением понятия.

Например, “Какая из следующих функций , , является квадратичной?”

Учащиеся должны осознавать, какие из признаков являются более общими, а какие частными, какие более существенными для данной ситуации, а какие – менее.

Необходимо предложить задания, подготавливающие учащихся к оценке важности некоторых признаков квадратичной функции для решения вопроса об определении значений переменных, при которых значения функции положительны (отрицательны).

Например, “Задайте аналитически функцию, которая на промежутке (0;3) принимает отрицательные значения”.

Для формирования умения выбирать те признаки понятия, которые нужны для решения определенной задачи полезны задания с недостающим или избыточным набором признаков понятий. Например, “известно, что график квадратичной функции, заданной уравнением , не пересекает оси абцисс и ветви соответствующей параболы направлены вверх. Достаточно ли этих данных, чтобы ответить на вопрос о числе корней уравнения ?”

3. Задания, формирующие у учащихся умения видеть многосторонние связи между такими понятиями, как “нули (корни) квадратичной функции”, “коэффициенты квадратичной функции”.

Например, “когда корни квадратичной функции положительны; имеют разные знаки?”

4.Задания, формирующие умение анализировать, сравнивать, обобщать.

“Какая из функций , , , не имеет нулей?”

“Какая из данных точек принадлежит графику функции : A(-5;-900), B(2;-400), C(-2;200), D(5;700)”.

Эти задания способствуют более эффективному усвоению квадратичной функции, построению графиков квадратичных функций. И все это, в свою очередь, способствует систематизации данного раздела.

Итак, целью всех перечисленных выше заданий является: закрепление алгоритмов построения графиков, выделение свойств соответствующих квадратичных функций, установление связей между их аналитическим и графическим заданиями, применение свойств функций к решению некоторых задач.

Использование всей системы заданий является важным условием всестороннего усвоения рассматриваемого понятия “квадратичная функция”.

Заключение

Данная методическая разработка направлена на выявление резервов познавательной деятельности учащихся в процессе преподавания темы “Квадратичная функция”, на усовершенствование методических основ организации процесса усвоения понятий учащимися; на разработку тестов, позволяющих дифференцированно отнестись к организации контроля.

Рассмотрение психолого-педагогической литературы, связанной с особенностями организации понятийного мышления учащихся, позволило сформулировать ряд общих требований к организации познавательной деятельности учащихся по усвоению знаний. Конкретизация этих требований применительно к выбранному разделу школьного курса алгебры была осуществлена на основе анализа положительного опыта изложения этого материала в учебно-методической и математической литературе.

Предложена система работы по формированию у учащихся понятия “квадратичная функция” в соответствии с содержанием требований к организации понятийной познавательной деятельности. В итоге предлагается специально подобранная система тестовых заданий. Каждое задание, в зависимости от его логико-психологического назначения, ориентировано на выработку того или иного умения. В своей совокупности эти задания выступают в качестве средства развития понятийного мышления учащихся.

Список использованной литературы

1.  Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / , , . – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1997. – 239с.

2.  Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / , , ; Под ред. . – 6-е изд. – М.: Просвещение, 1999. – 271с.

3.  Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / , , ; Под ред. . – М.: Просвещение, 1996. – 384с.

4.  Андронов для техникумов. – М.: Высшая школа, 1965. – 824с.

5.  , , Сазанова познавательной деятельности учащихся в процессе формирования математических понятий. – В кн. "Структура познавательной деятельности” Сб. статей – Владимир, 1975.-С. 74-89.

6.  , , Шабукин и задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1971. – 592с.

7.  Ветров понятия и общественная практика. – В кн.: Практика и познание. – М.: Наука, 1973. – С.296-338.

8.  Выготский и речь / Собр. соч. Т. 2. М.: Педагогика, 1982.-С.5-361.

9.  Выготский подростка / Собр. соч. Т. 4. М.: Педагогика, 1984. – С.5-242.

10.  Гальперин , факты и теория в психологии формирования умственных действий и понятий. – В кн. XVII Международный психологический конгресс. Психология формирования умственных действий. – М.: Наука, 1966. – С. 38-47.

11.  Гальперин действия, как основа формирования мысли и образа / Вопросы психологии, 1957, № 6. – С. 58-69.

12.  , , Шноль и графики. – М.: Наука, 1968. – 95с.

13.  Гельфман основы процесса усвоения алгебраических понятий учащимися 7-8 классов: Автореф. дисс. … канд. пед. наук. – М., 1982. – 193с.

14.  и др. Квадратичная функция: Учебное пособие по математике для 9-го класса. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 2000. – 280 с.

15.  Гурский и построение графиков. – М.: Просвещение, 1964. – 213с.

16.  Давыдов обобщения в обучении. – М.: Педагогика, 1972. – 423с.

17.  О понятии развивающего обучения. Томск: Пеленг, 1995. – 208.

18.  Давыдов развивающего обучения: опыт теоретического и экспериментального психологического исследования. – М.: Педагогика, 1986. – 293.

19.  Дидактика математики: сегодня и завтра: Материалы школы семинара “Мастерство учителя в психологически ориентированных моделях обучения”. – Томск: Изд-во ТГПУ, 2001. – 200с.

20.  Зайцев и графики в курсе алгебры восьмилетней школы: Пособие для учителей. – Ижевск, 1963. – 94с.

21.  Занков . педагогические труды. – М.: Педагогика, 1990.

22.  История математики / Под ред. . – М.: Наука. т.1, 1970. – 351с.

23.  Концепция и программа проекта “Математика. Психология. Интеллект,” Математика 5 – 9 классы – Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. – 56с.

24.  Лихолетов и их графики. – Минск: Народная асвета, 1970. – 152с.

25.  Любецкий понятия школьной математики: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. “Математика”. – М.: Просвещение, 1987. – 400с.

26.  Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / , . – М.: Дрофа, 2000. – 352с.

27.  Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ. – мат. спец./, , и др., Сост. . – М.: Просвещение, 1987. – 416с.

28.  Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ. – мат. фак. пед. ин-тов. / , , . – М.: Просвещение, 1975. – 462с.

29.  Мордкович . 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – 3-е изд., доработ. – М.: Мнемозина, 2001. – 223с.

30.  и др. Алгебра. 8 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений / , , . – 3-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2001. – 239с.

31.  Окунев функции, уравнения и неравенства в курсе математики средней школы: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972. – 143с.

32.  Педагогика. Учебное пособие для студентов педагогических вузов и педагогических колледжей / Под ред. . – М.: Педагогическое общество России, 2001. – 640с.

33.  Квадратичная функция и ее применение: Кн. для учащихся. М.: Просвещение, 1995. – 96с.

34.  Росошек по математике для учащихся 5 – 9 классов средней школы, обучающихся по программе МПИ. / Под ред. проф. . – Томск: Изд-во Том. ун-та, 1997. – 57с.

35.  О мышлении и путях его исследования. – М.: Изд-вог Акад. наук СССР, 1958. – 147с.

36.  Сивашиский функции и графики. – М.: Наука, 19с.

37.  Сохор структура учебного материала. – М.: Педагогика, 1974. – 192с.

38.  Стройк очерк истории математики. – М.: Наука, 1984. – 284с.

39.  Сухотин в математическом познании. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 1977. – 160с.

40.  Холодная интеллекта. Парадоксы исследования. – СПб.: Питер, 2002. – 272с.

41.  Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия. Пособие для студентов физ. – мат. фак. пед. ин-тов / Под ред. . – М.: Просвещен6ие, 1976. – 318с.

42.  , и др. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1973. – 446с.