Часть II. Электричество и магнетизм (стр. 3 )

1.19. Энергия системы неподвижных точечных зарядов.

Как мы уже знаем, силы с которыми взаимодействуют заряженные тела, являются потенциальными. Следовательно, система заряженных тел обладает потенциальной энергией. Когда заряды удалены друг от друга на бесконечность, они не взаимодействуют. Положим в этом случае их энергию равной нулю.

Рис.4.9. К определению энергии системы зарядов.

Рассмотрим сначала систему, состоящую из двух точечных зарядов (рис.4.9). Cблизим заряды на заданное расстояние r. При этом мы совершим работу против сил электрического поля, которая пойдет на увеличение потенциальной энергии системы. Сближение зарядов можно произвести, приближая q2 к q1 либо q1 к q2. В обоих случаях совершается одинаковая работа:

В последней формуле - потенциал поля 1-го заряда в том месте, где находится второй заряд; - потенциал поля второго заряда в том месте, где находится первый заряд. С учетом сказанного, эту формулу можно записать также в виде:

.

Рис.4.10. Система трех неподвижных точечных зарядов.

Нетрудно убедиться в том, что потенциальная энергия системы трех неподвижных точечных зарядов (рис.4.10) может быть представлена в виде:

В общем случае системы n неподвижных точечных зарядов энергия системы определяется по формуле:

1.20. Энергия заряженного проводника и заряженного конденсатора.

Поверхность заряженного проводника (рис.4.11) при равновесии зарядов является эквипотенциальной (φi = φ = const). Следовательно, энергия заряженного проводника: , где q - заряд проводника.

Рис.4.11. Заряженный проводник.

Конденсатор представляет собой пару заряженных проводников (рис.4.12), поэтому имеем:

Рис.4.12. Заряженный конденсатор.

А поскольку заряд , то энергия заряженного конденсатора может быть представлена одной из трех формул:

1.21. Энергия электростатического поля.

Выразим энергию заряженного конденсатора через величины, характеризующие электрическое поле, локализованное в пространстве между его обкладками – напряженность поля Е и объем V, занятый полем. Имеем для напряженности поля:

, где .

Воспользовавшись формулой для емкости плоского конденсатора , находим:

, где - объём конденсатора, откуда следует, что

Мы видим, что энергия электрического поля прямо пропорциональна квадрату его напряженности Е и объёму V, занятому полем. Величину энергии поля, отнесенной к единице объема, называют плотностью энергии:

- плотность энергии электрического поля.

Лекция 5

2. Постоянный электрический ток

2.1. Характеристики тока. Сила и плотность тока. Падение потенциала вдоль проводника с током.

Всякое упорядоченное движение зарядов называется электрическим током. Носителями заряда в проводящих средах могут быть электроны, ионы, «дырки» и даже макроскопические заряженные частицы.

За положительное направление тока принято считать направление движения положительных зарядов. Электрический ток характеризуется силой тока – величиной, определяемой количеством заряда, переносимого через воображаемую площадку, за единицу времени:

Для постоянного тока силу тока можно определить как:

Размерность силы тока в СИ: (ампер).

Кроме этого, для характеристики тока в проводнике применяют понятие плотности тока – векторной величины, определяемой количеством заряда, переносимого за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную линиям тока (рис.5.1):

Рис.5.1. К определению вектора плотности тока

Размерность плотности тока в СИ: .

Покажем, что плотность тока пропорциональна скорости упорядоченного движения зарядов в проводнике . Действительно, количество заряда, протекающее через поперечное сечение проводника за единицу времени есть (рис.5.2):

, где - концентрация зарядов

.

Рис.5.2. К выводу формулы для плотности тока.

Или в векторном виде:

Как мы знаем, при равновесии зарядов, то есть при отсутствии тока, потенциал всех точек проводника имеет одно и то же значение, а напряженность электрического поля внутри него равна нулю (рис.5.3а). При наличии тока электрическое поле внутри проводника отлично от нуля, и вдоль проводника с током имеет место падение потенциала (рис.5.3б).

Тока нет:

Рис.5.3а. Электрическое поле проводника при отсутствии тока.

Ток есть:

Рис.5.3б. Электрическое поле проводника при наличии тока.

Таким образом, для существования тока в проводнике необходимо выполнение двух условий: 1) наличие носителей заряда и 2) наличие электрического поля в проводнике.

2.2. Закон Ома для однородного участка цепи. Сопротивление проводников.

Между падением потенциала - напряжением U и силой тока в проводнике I существует функциональная зависимость , называемая вольтамперной характеристикой данного проводника (ВАХ). Вид этой зависимости для разных проводников и устройств может быть самым разнообразным.

Как показывает опыт, для многих проводящих материалов выполняется зависимость: ,

получившая название закона Ома (Ohm G., ) для однородного участка цепи. (ВАХ приведена на рис.5.4).

Рис.5.4. ВАХ проводника, подчиняющегося закону Ома.

Коэффициент пропорциональности R называется сопротивлением проводника. Сопротивление однородного проводника (рис.5.5) зависит от материала, из которого он изготовлен, его формы, размеров, а также от температуры.

Рис.5.5. Однородный проводник.

Размерность сопротивления: [R] = . Кратные единицы измерения: 1кОм = 103Ом ; 1Мом = 106Ом.

ρ – удельное сопротивление. Размерность ρ в СИ: [ρ] = Ом∙м.

Для многих веществ зависимость сопротивления от температуры в широком интервале температур вблизи Т≈300К определяется эмпирической зависимостью от температуры их удельного сопротивления:

,

где α – температурный коэффициент сопротивления; - значение при .

Для металлов , поэтому сопротивление металлов в указанной области температур пропорционально температуре (рис.5.6).

Рис.5.6. Зависимость сопротивления металлов от температуры.

Для электролитов α<0, зависимость их сопротивления от температуры имеет вид, изображенный на рис.5.7. Для разных электролитов α различно.

Рис.5.7. Зависимость сопротивления электролитов от температуры.

2.3. Дифференциальная форма закона Ома.

Если проводник неоднороден по своему составу и/или имеет неодинаковое сечение, то для характеристики тока в различных частях проводника используют закон Ома в дифференциальной форме. Для его вывода выделим внутри проводника элементарный цилиндрический объем (рис.5.8) с образующими, параллельными вектору плотности тока . Если выделенный объем достаточно мал, его можно считать однородным и применить к нему закон Ома:

, где

, откуда

Рис.5.8. К выводу закона Ома в дифференциальной форме.

Или в векторном виде:

Величина называется коэффициентом электропроводности или проводимостью материала. Единицей измерения σ в СИ является (Ом∙м)-1=См (сименс).

2.4. Сторонние силы. ЭДС источника тока. Закон Ома для неоднородного участка цепи и для замкнутой цепи.

Для протекания электрического тока в проводнике необходимо, чтобы на его концах поддерживалась разность потенциалов. Очевидно, для этой цели не может быть использован заряженный конденсатор. Действительно, если включить в цепь проводника заряженный конденсатор (рис.5.9) и замкнуть цепь, то под действием сил электростатического поля заряды придут в движение, возникнет кратковременный ток, после чего установится равновесное распределение зарядов, при котором потенциалы концов проводника выравниваются и ток прекращается. Другими словами, электростатическое поле конденсатора не может осуществить постоянную циркуляцию зарядов в цепи (то есть электрический ток), что является следствием потенциальности электростатического поля – равенства нулю работы сил электростатического поля по замкнутому контуру. Таким образом, для поддержания постоянного тока в замкнутой цепи необходимо действие сторонних сил неэлектростатического происхождения и не являющихся потенциальными силами.

Кратковременный ток.

Рис.5.9. Заряженный конденсатор не может служить источником постоянного тока.

Эти силы могут быть обусловлены химическими процессами, диффузией носителей заряда через границу двух разнородных проводников, магнитными полями, другими причинами.

Сторонние силы можно охарактеризовать работой, которую они совершают по перемещению зарядов в замкнутой цепи. Величина, равная работе сторонних сил Аст, отнесенная к единице положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС). Единицей измерения ЭДС в СИ (как и напряжения) является В (Вольт).

Работа сторонних сил по замкнутому контуру не равна нулю (рис.5.10):

Рис.5.10. Источник электродвижущей силы в замкнутой цепи.

Участок цепи, содержащий источник ЭДС, называется неоднородным (рис.5.11). Всякий источник ЭДС характеризуется величиной ЭДС ε и внутренним сопротивлением r.

- напряжение на концах участка цепи.

Рис.5.11. Неоднородный участок цепи.

Закон Ома для неоднородного участка цепи имеет вид:

При соединении концов неоднородного участка цепи идеальным проводником образуется замкнутая цепь, в которойпотенциалы φ1 и φ2 выравниваются и мы приходим к закону Ома для замкнутой (или полной) цепи:

Если сопротивление внешней цепи , то имеем случай короткого замыкания. В этом случае в цепи течет максимальный ток:

При имеем разомкнутую цепь. В этом случае ток в цепи равен нулю:

2.5.  Напряжение на зажимах источника тока.

Как видно из рис.5.12:

или

Рис.5.12. Напряжение на зажимах источника тока.

График зависимости приведен на рис.5.13.

V

При коротком замыкании V = 0.

V = ε для разомкнутой цепи.

Рис.5.13. Зависимость V от сопротивления внешней нагрузки R.

2.6. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа.

Электрическая цепь, содержащая в себе узлы, называется разветвленной. Узел – место в цепи, где сходятся три или более проводников (рис.5.14). Для расчета разветвленных цепей применяют правила Кирхгофа (Kirchhoff G.,), являющиеся прямым следствием основных законов теории электричества. Этих правил два.

Рис.5.14. Участок разветвленной цепи.

Первое правило: алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в узле равна нулю:

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда в применении к узлу, через который протекают постоянные токи. Если в цепи имеется N узлов, то пишется N -1 уравнение для любых узлов.

Второе правило: для любого замкнутого контура, выделенного внутри разветвленной цепи, алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:

Второе правило Кирхгофа является следствием равенства нулю циркуляции электро- статического поля по замкнутому контуру, то есть следствием его потенциальности.

. 2.7. Соединение сопротивлений.

Соединение сопротивлений бывает последовательным, параллельным и смешанным.

1) Последовательное соединение.

При последовательном соединении ток, текущий через все сопротивления, одинаковый, а падения напряжения разные (рис.5.15).

Рис.5.15. Последовательное соединение сопротивлений.

, откуда следует, что

2) Параллельное соединение.

При параллельном соединении падения напряжения на всех сопротивлениях одинаковые, а токи, текущие в них, разные (рис.5.16).

Рис.5.16. Параллельное соединение сопротивлений.

, откуда следует, что

2.8. Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля – Ленца.

.При протекании по проводнику электрического тока проводник нагревается. Нагревание происходит за счет работы, совершаемой силами поля над носителями заряда:

,

Рис.5.17. Проводник с током.

Джоуль (Joule J., ) и независимо от него () установили экспериментально, что количество теплоты, выделяющейся в проводнике, пропорционально квадрату силы тока, сопротивлению проводника и времени протекания тока:

Если сила тока изменяется со временем, то за промежуток времени Δt = t2 – t1 выделится теплота:

Написанные соотношения выражают собой закон Джоуля – Ленца.

Если теплоту измерять в калориях, то: .

Количество теплоты, выделяющееся в единице объема проводника за единицу времени, называется удельной мощностью:

, где - плотность тока.

Это соотношение представляет собой закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:

Работа, производимая током за единицу времени, называется мощностью:

.

Размерность мощности в СИ: (ватт).

2.9. КПД источника тока.

Перемещая электрические заряды по замкнутой цепи, источник тока совершает работу. Различают полезную и полную работу источника тока. Полезная работа – это та, которую совершает источник по перемещению зарядов во внешней цепи; полная работа – это работа источника по перемещению зарядов во всей цепи:

- полезная работа;

- полная работа.

Соответственно этому, различают полезную и полную мощность источника тока:

Коэффициентом полезного действия (КПД) источника тока называют отношение:

Выясним, при каком сопротивлении внешней цепи полезная мощность максимальна.

Имеем: , где ;

, откуда

.

Рис.5.18. Зависимость Рполезн от R.

Условие называется условием согласования источника и нагрузки. В этом случае мощность, выделяемая источником во внешней цепи, максимальна (рис.5.18). Отметим, что при выполнении условия согласования КПД источника тока , то есть максимальная полезная мощность и максимальный КПД несовместимы. Из приведенного графика видно также, что одну и ту же полезную мощность можно получить при двух различных сопротивлениях внешней нагрузки .

Лекция 6

Основы классической теории электропроводности металлов.

2.10. Природа носителей тока в металлах.

Для выяснения природы носителей тока в металлах был поставлен ряд опытов.

Опыт Рикке (Riecke C., ). В 1901г. Рикке осуществил опыт, в котором он пропускал ток через стопку цилиндров с тщательно отполированными торцами Cu-Al-Cu (рис.6.1). Перед началом опыта образцы были взвешены с высокой степенью точности (Δm = ±0,03 мг). Ток пропускался в течение года. За это время через цилиндры прошел заряд q = 3,5∙106 Кл.

По окончании опыта цилиндры были вновь взвешены. Взвешивание показало, что пропускание тока не оказало никакого влияния на вес цилиндров. При исследовании торцевых поверхностей под микроскопом также не было обнаружено проникновения одного металла в другой. Результаты опыта Рикке свидетельствовали о том, что носителями тока в металлах являются не атомы, а какие-то частицы, которые входят в состав всех металлов.

Такими частицами могли быть электроны, открытые в 1897г. Томсоном (Thomson J., ) в опытах с катодными лучами. Чтобы отождествить носители тока в металлах с электронами, необходимо было определить знак и величину удельного заряда носителей. Это было осуществлено в опыте Толмена и Стюарта (Tolman R., , Stewart B., ).

Опыт Толмена и Стюарта. Суть опыта, проведенного в 1916г., состояла в определении удельного заряда носителей тока при резком торможении проводника (рис.6.2). В опыте для этой цели использовалась катушка из медного провода длиной 500м, которая приводилась в быстрое вращение (линейная скорость витков составляла 300м/с), а затем резко останавливалась. Заряд, протекавший по цепи за время торможения, измерялся с помощью баллистического гальванометра.

Найденный из опыта удельный заряд носителя тока , оказался очень близким к величине удельного заряда электрона, откуда был сделан вывод о том, что ток в металлах переносится электронами.

2.11. Основные положения классической электронной теории проводимости металлов Друде – Лоренца.

Исходя из представлений о свободных электронах как основных носителях тока в металлах, Друде (Drude P., ) разработал классическую теорию электропровод-ности металлов, которая затем была усовершенствована Лоренцем (Lorentz H., ).

Основные положения этой теории сводятся к следующим:

1). Носителями тока в металлах являются электроны, движение которых подчиняется законом классической механики.

2). Поведение электронов подобно поведению молекул идеального газа (электронный газ).

3). При движении электронов в кристаллической решетке можно не учитывать столкновения электронов друг с другом.

4). При упругом столкновении электронов с ионами электроны полностью передают им накопленную в электрическом поле энергию.

Средняя тепловая скорость хаотического движения электронов при Т≈300К составляет .

При включении электрического поля на хаотическое движение электронов накладывается упорядоченное движение (называемое иногда «дрейфовым»), происходящее с некоторой средней скоростью ; возникает направленное движение электронов – электрический ток. Плотность тока определяется по формуле .

Оценки показывают, что при максимально допустимой плотности тока в металлах j = 107 А/м2 и концентрации носителей 1028 – 1029м-3 , . Таким образом, даже при очень больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов .

2.12. Вывод законов Ома, Джоуля-Ленца и Видемана-Франца на основе теории Друде-Лоренца.

Закон Ома.

Ускорение, приобретаемое электроном в электрическом поле (рис.6.3).

Рис.6.3. К выводу закона Ома.

На пути свободного пробега λ максимальная скорость электрона достигнет величины

,

где τ - время свободного пробега: .

Среднее значение скорости упорядоченного движения есть:

.

Подставив это значение в формулу для плотности тока, будем иметь:

,

Полученная формула представляет собой закон Ома в дифференциальной форме:

,

где σ – удельная электропроводность металла:

.

Закон Джоуля - Ленца

Кинетическая энергия электрона, которую он имеет к моменту соударения с ионом:

.

При столкновении с ионом энергия, полученная электроном в электрическом поле , полностью передается иону. Число соударений одного электрона в единицу времени равно , где λ – длина свободного пробега электрона. Общее число столкновений за единицу времени в единице объема равно . Тогда количество тепла, выделяющегося в единице объема проводника за единицу времени будет:

.

Последнюю формулу можно представить в виде закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:

,

где ρ =1/σ – удельное сопротивление металла.

Закон Видемана-Франца.

Из опыта известно, что металлы, наряду с высокой электропроводностью, обладают также высокой теплопроводностью. Видеман (Wiedemann G., ) и Франц (Franz R.,) установили в 1853г. эмпирический закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности κ к коэффициенту электропроводности σ для всех металлов приблизительно одинаково и изменяется пропорционально абсолютной температуре:

.

Рассматривая электроны как одноатомный газ, можем на основании кинетической теории газов написать для коэффициента теплопроводности электронного газа:

,

где - удельная теплоемкость одноатомного газа при постоянном объеме.

Разделив κ на σ, приходим к закону Видемана-Франца:

.

Подставив сюда k = 1,38·10-23 Дж/К и е = 1,6·10-19 Кл, найдем, что

,

что очень хорошо согласуется с экспериментальными данными.

2.13. Затруднения классической теории электропроводности металлов. Сверхпроводимость металлов. Открытие высокотемпературной сверхпроводимости.

Несмотря на достигнутые успехи, классическая электронная теория проводимости металлов Друде-Лоренца не получила дальнейшего развития. Связано это с двумя основными причинами: 1) трудностями, с которыми столкнулась эта теория при объяснении некоторых свойств металлов; 2) созданием более совершенной квантовой теории проводимости твердых тел, устранившей затруднения классической теории и предсказавшей ряд новых свойств металлов.

Выделим основные затруднения теории Друде-Лоренца:

1. Согласно классической теории, зависимость удельного сопротивления металлов от температуры в то время, как на опыте в широком интервале температур вблизи Т≈300К для большинства металлов наблюдается зависимость ρ ~ Т.

2. Хорошее количественное совпадение с законом Видемана-Франца оказалось в известной степени случайным. В первоначальном варианте теории Друде не учитывал распределение электронов по скоростям. Позже, когда Лоренц учел это распределение, оказалось, что отношение

,

что значительно хуже согласуется с экспериментом. Согласно же квантовой теории,

.

3. Теория дает неправильное значение теплоемкости металлов. С учетом теплоемкости электронного газа С=9/2R, а на практике С=3R, что примерно соответствует теплоемкости диэлектриков.