Лекция: Основы дифференциального исчисления (Производная)

Рассмотрим график функции непрерывной на отрезке секущая графика.

Тогда тангенс угла наклона секущей. Предельное положение секущей при будем называть касательной.

Определение. Производной функции в точке называется значение если этот предел существует.

Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной.

Если в данной точке существует касательная, то в этой тоске существует и производная. И наоборот.

А если в данной точке графика нельзя построить касательную, то в этой точке и не существует производной.

Физический смысл производной – скорость изменения функции.

Если рассмотреть свободное падение тела с ускорением то путь пройденный телом за время определяется формулой Тогда

Таким образом, значение производной равно скорости тела в момент времени

Уравнение касательной

Уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом задается уравнением

Учитывая геометрический смысл производной, получим уравнения касательной к графику в точке

Производные элементарных функций

Алгоритм нахождение производной функции:

а) Вычислим отношение

в) Вычислим предел

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке если в этой точке существует производная.

Определение. Функция называется дифференцируемой на отрезке если в каждой точке этого отрезка существует производная.

Утв.1 (Производная обратной функции)

Если функция непрерывна и дифференцируема на отрезке и существует обратная функция то =

Действительно,

Например:

Утв.2 Если функция имеет конечную производную в точке то

где бесконечно малая от

Действительно,

Следствие(Связь между непрерывностью и производной)

Если функция имеет конечную производную в точке то непрерывна в этой точке.

Действительно, из Утверждения 2 следует, что при

Утв.3 Арифметические операции над пределами

Если функция и существуют, то:

1)

2)

3)

4)

Докажем 3) Пусть Тогда

Наконец,

Докажем 4)

Конечный предел интегральных сумм при называется определенным интегралом: Функция называется интегрируемой на если определенный интеграл существует.

Число называется нижним пределом интегрирования, верхним пределом интегрирования.

Суммы Дарбу.

Рассмотрим разбиение отрезка

Обозначим через Тогда

Нижней суммой Дарбу будем называть сумму вида верхней суммой Дарбу – сумму Тогда

3) Для любых двух разбиений и отрезка справедливо неравенство

Доказательство пункта 3 .Пусть Тогда имеет место цепочка неравенств

Таким образом, возрастающая последовательность, а убывающая и существует число, разделяющее два множества.

Утв.2 (Необходимое и достаточное условие интегрируемости)

интегрируема для любого существует разбиение, для которого

где величина называется колебанием функции.

Теорема. Если монотонная функция, то

Доказательство. Пусть возрастает. Рассмотрим разбиение отрезка

Тогда

Тогда

Отсюда следует, что при

Следствие1. Если непрерывная функция, то

Доказательство. Разобъем отрезок на интервалы монотонности: На каждом интервале монотонна и из доказательства теоремы можно получить следующие неравенства:

и т. д.

Т. е. где некоторая константа.

Следствие2. Если непрерывная функция на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойство определенного интеграла.

Теорема (о среднем). Если непрерывна на то существует точка такая, что

Доказательство. Пусть и - наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке Тогда

промежуточное значение непрерывной функции которое достигается в некоторой точке

Т. е.

Дифференцирование интеграла по верхнему пределу.

Рассмотрим функцию

Теорема. Если непрерывна на то дифференцируема на и

первообразная для функции

Доказательство.

По теореме о среднем существует значение такое, что

Отсюда получаем, что при

Формула Ньютона-Лейбница

Если непрерывная функция на то где первообразная для

Свойства определенного интеграла

1.

2.

3. Если то

4. Если то

5. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

6. Формула замены переменных в определенном интеграле

Если непрерывна на то

Доказательство следует из формулы

Приложение

Вычисление площадей

Вычисление объемов

Пусть в пространстве задано тело и известны площади его сечений плоскостями, перпендикулярными оси и проходящими через точку Тогда объем тела выражается формулой

Объем тел вращения.

Если тело получено вращением кривой вокруг оси то площадь сечения равна а объем тела вычисляется по формуле

Примеры.

1.

2.

3.

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

9.Найдите объем тела, ограниченного двумя цилиндрами

10.Найдите объем пирамиды, у которой площадь основания равна и высота равна

11. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями

12. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной графиками функций

13. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг прямой области, ограниченной графиками функций

14. Вычислить объем тела, полученного вращением эллипса вокруг оси

Т. е. графика

вокруг оси

Вокруг оси

Приложение определенного интеграла для решения физических задач

а) Путь, пройденный телом, двигающимся со скоростью за промежуток времени выражается формулой

б) Работа переменной силы, заданной формулой и направленной вдоль оси на отрезке равна

в) Давление жидкости на вертикальную пластину, ограниченную линиями вычисляется по формуле

г) Давление жидкости на горизонтальную пластину по «закону Паскаля» равно весу столба этой жидкости, и где плотность жидкости, площадь пластины, глубина погружения.

15.Найдите работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость плотностью из цистерны, имеющей форму параболического цилиндра.

16. Найдите давление воды плотностью на вертикальную пластину, имеющую форму трапеции с верхним основанием, лежащим на поверхности воды.

17. Найдите давление воды плотностью на круглый иллюминатор диаметром наполовину погруженный в воду.

18. Найдите работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину с одним укрепленным концом жесткости на расстояние