Рабочая программа дисциплины Уравнения математической физики (стр. 1 )

 

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный университет путей сообщения»

ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫЙ ИНСТИТУТ

полное наименование института/факультета

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой

подпись, Ф. И.О.

«__» __________ 20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

дисциплины  Уравнения математической физики

для специальности / направления подготовки

Направление 010500 – «Прикладная математика и информатика»

Специальность –« Прикладная математика и информатика»

(специалист: математик, системный программист)

0105062 – бакалавр прикладной математики и информатики

Составитель (и) доцент __________________________________

_____________________________________________________________________

должность, Ф. И.О.

Обсуждена на заседании кафедры  «Прикладная математика»_____________

_____________________________________________________________________

полное наименование кафедры-разработчика

« » г., протокол № ___

Одобрена на заседании методической комиссии*  _________________________

_________________________

полное наименование института/факультета

«__» ____________ 20____ г., протокол № ___

.

2010 г.

Рабочая программа

по дисциплине "Уравнения математической физики"

Направление 010500 – Прикладная математика и информатика

Специальность «Прикладная математика и информатика»

Квалификация 65 «Математик, системный программист»

Введение

Рабочая программа оставлена в соответствии с содержанием и требованиями Государственного образовательного стандарта для специальности «Прикладная математика и информатика» ОПД. Ф.04 Уравнения математической физики: уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типа; исследование основных задач для уравнений математической физики. В настоящее время при изучении природных процессов широко используются методы математического моделирования. Физические процессы описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, которые традиционно изучаются в учебном курсе «Уравнения математической физики».

1 Цель и задачи дисциплины

1.1 Цель преподавания дисциплины

Целью преподавания курса «Уравнения математической физики» является обучение студентов основным методам решения уравнений математической физики и использованию их в качестве основного аппарата при математическом моделировании физических, биологических и других процессов.

1.2 Задачи изучения дисциплины

Основными задачами дисциплины является изучение основных методов нахождения точных решений уравнений математической физики: уравнения Лапласа, волнового уравнения и уравнения теплопроводности, основных методов доказательства существования решений начально-краевых задач для указанных уравнений, ознакомление с приближенными методами решения указанных уравнений и обучение студентов применению уравнений математической физики для моделирования различного рода процессов и явлений.

1.3 Связь с другими дисциплинами

Для изучения курса «Уравнения математической физики» необходимы знания многих разделов математического и функционального анализа: интегралы Лебега, теория рядов, ряды Фурье, преобразование Лапласа, специальные функции. Для вывода основных уравнений математической физики нужны знания классической физики.

Для исследования задач математической физики на современном уровне необходимы знания алгоритмических языков программирования

1.4 Требования к уровню освоения дисциплины

В результате изучения дисциплины студент должен знать:

основные типы линейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, постановки задач, основные методы решения, основные функциональные пространства, в которых решают задачи.

Студент должен уметь:

¾ находить явные решения методом Фурье краевых и начально-краевых задач для хороших областей, решать задачу Коши.

¾ уметь применять функции Бесселя и полиномы Лежандра.

3.11.19	Уравнения в частных производных	знать: основные правила и формулы дифференцирования уметь: находить частные производные ФНП – решать алгебраические уравнения
3.11.20	Определение типа линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка	знать: типы линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка уметь: определять тип линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка
3.11.21	Одномерное волновое уравнение	знать: решение одномерного волнового уравнения уметь: находить решение одномерного волнового уравнения
3.11.22	Уравнение теплопроводности	знать: определение краевой задачи для уравнения теплопроводности уметь: определять краевые условия для уравнения теплопроводности
3.11.23	Задача Коши	знать: определение задачи Коши уметь: представлять задачу Коши в виде интегрального уравнения

2 Содержание дисциплины

ОПД. Ф.04

Уравнения математической физики Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типа; исследование основных задач для уравнений математической физики.

204

2.1 Объем дисциплины «Уравнения математической физики» и распределение по видам работ

Вид занятий	Количество часов
Всего	Распределение по семестрам
5	6
Лекции	54	36	18
Практические занятия	36	18	18
Лабораторные занятия
Самостоятельная работа	110	70	40
Курсовой проект		+
РГР			+
Итого часов	200	124	76
Зачет		+
Экзамен			+

2.2 Модульное построение содержания учебного материала дисциплины

Дисциплина «Уравнения математической физики» - 5,5 з. е.

«Уравнения математической физики» 1 семестр 3,5 з. е.	Моду Модуль 1 – Проблемы и постановка задач Модуль 1 Модуль 2 – Уравнения гиперболического типа Модуль Модуль 3 – Уравнения эллиптического типа
«Уравнения математической физики» 2 семестр 2 з. е.	Модуль 3 – Уравнения эллиптического типа Модуль 4 – Уравнения параболического типа Модуль 5 – Обобщенные решения Модуль 6 – Численные методы решения

2.3 Тематическое содержание лекционного курса

Неделя	Содержание лекции	Коли- чество часов	Лите-ратура
5 семестр
Модуль 1 – Проблемы и постановка задач
1.	Основные проблемы математической физики. Корректно поставленные задачи. Пример Адамара. Корректность по Адамару, по Тихонову.	2	4,18, 20
2.	Вывод основных уравнений математической физики.	2	4,18,20
3.	Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Основные типы линейных дифференциальных уравнений. Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка.	2	4,18,20
4.	Характеристики и их роль в постановке и изучении задач. Основные краевые задачи для уравнений эллиптического типа: задачи Дирихле, Неймана, третья краевая задача.	2	4,18,20
5.	Основные задачи для уравнений гиперболического типа, параболических типов: задача Коши, начально-краевые задачи.	2	4,18,20
Модуль 2 – Уравнения гиперболического типа
6.	Уравнения гиперболического типа. Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера.	2	4,18,20
7.	Задача Коши для волнового уравнения в пространстве. Формула Кирхгофа. Физический смысл решения. Принцип Гюйгенса.	2	4,18,20
8.	Задача Коши для волнового уравнения на плоскости. Формула Пуассона.	2	4,18,20
9.	Задача Коши для неоднородного волнового уравнения. Физический смысл решения.	2	4,18,20
10.	Первая краевая задача для уравнений колебания струны. Метод Фурье. Обоснование метода Фурье.	2	4,18,20
11.	Применение метода Фурье для двумерного волнового уравнения. Колебания прямоугольной мембраны.	2	4,18,20
12.	Применение метода Фурье для уравнения колебания круглой мембраны. Цилиндрические функции Бесселя, Неймана, Ханкеля.	2	4,18,20
13.	Сферические функции. Полиномы Лежандра, свойства. Метод Фурье для шара, шарового слоя.	2	4,18,20
Модуль 3 – Уравнения эллиптического типа
14.	Уравнения эллиптического типа. Классическое решение. Гармонические функции, их свойства. Основные задачи для уравнений эллиптического типа. Фундаментальные решения.	2	4,18,20
15.	Интегральное представление дважды дифференцируемой функции. Потенциал масс, простого слоя, двойного слоя.	2	4,18,20
16.	Интегральные уравнения Фредгольма. Альтернативы Фредгольма.	2	4,18,20
17.	Решение интегральных уравнений.	2	4,18,20
18	Основные свойства потенциалов масс, простого и двойного слоев. Решения задач Дирихле, Неймана.	2	4,18,20
	6 семестр
Модуль 3 – Уравнения эллиптического типа
1	Метод Фурье при решении задач Дирихле, Неймана для «хороших» областей, круга, шара. Метод построения функции Грина при решении краевых задач для эллиптических уравнений. Формулы для круга, сферы, полуплоскости, полупространства.	2	4,18,20
Модуль 4 – Уравнения параболического типа
3	Уравнения параболических типов. Основные задачи, физичность поставленных задач. Свойства решений – принцип максимума. Метод Фурье при решении задачи Коши. Формула Пуассона.	2	4,18,20
5	О единственности классического решения задачи Коши, краевых задач для уравнений гиперболического, параболического, эллиптического типов. Об устойчивости решений краевых задач.	2	4,18,20
Модуль 5 – Обобщенные решения
7	Классы непрерывных функций, измеримых функций, обобщенных функций. Основные функциональные пространства в этих классах.	2	12, 23
9	Полнота, сходимость, сепарабельность, вложение. Основные функциональные неравенства. Теорема Рисса.	2	12, 23
11	Классические, обобщенные решения задачи Дирихле. Единственность обобщенного решения.	2	12, 23
13	О возможности получения классического решения из обобщенного. Теоремы вложения. Обобщенные решения краевых задач для параболического уравнения. Обобщенные решения краевых задач для гиперболического уравнения.	2	12, 23
Модуль 6 – Численные методы решения
15	Методы Ритца и Галеркина для приближенного решения уравнений в частных производных.	2	8, 18
17	Метод сеток, метод конечных элементов.	2	8, 18

2.4 Содержание практического курса

Неделя	Содержание занятий	Количество часов	Литература
5 семестр
2	Основные проблемы математической физики. Корректно поставленные задачи. Пример Адамара. Корректность по Адамару, по Тихонову. Задача Штурма-Лиувилля.	2	4,18, 20
4	Вывод основных уравнений математической физики. Приведение к каноническому виду. Характеристические кривые.	2	4,18,20
6	Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Основные типы линейных дифференциальных уравнений. Формула Даламбера. Формула Кирхгофа.	2	4,18,20
8	Задача Коши для волнового уравнения на плоскости. Метод спуска. Формула Пуассона.	2	4,18,20
10	Первая смешанная задача для волнового уравнения на отрезке, в прямоугольнике, в круге.	2	4,18,20
12	Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в кольце.	2	4,18,20
14	Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в шаровом слое.	2	4,18,20
16	Решение задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в круге.	2	4,18,20
18	Контрольная работа	2	4,18,20
	6 семестр
2	Метод Фурье при решении задач Дирихле, Неймана для «хороших» областей	2	[4,18, 20]
4	Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.	2	[4,18, 20]
6	Точное решение нелинейных дифференциальных уравнений. Преобразования Бэклунда. Точное решение уравнения Бюргерса-Хаксли. Частные решения уравнения Бюргерса - Кортевега-де Вриза.	2	24, 25, 26, 27
8	Уравнения Кадомцева-Петвиашвили, Колмогорова-Петровского-Пискунова.	2	24, 25, 26, 27
10	Уравнения Кричевера-Новикова, Курамото-Сивашинского	2	24, 25, 26, 27
12, 14, 16,18	Приближенное решение нелинейных дифференциальных уравнений солитонового типа.	8	24, 25, 26, 27

2.5 Курсовой проект

Ниже приводится примерный перечень тем курсовых работ, который может корректироваться и дополняться в течение учебного года. Примерные темы курсовых работ по курсу «Уравнения математической физики»: