Учебно-методический комплекс по дисциплине. Математический анализ (стр. 3 )

1). ; 2). ;

3).

4). 5) ;

6). 7).

8). .

3. Найти решение задачи Коши для дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

1).
2).
3).
4).
5).
6).
7).
8).
10).
11).
12).
13).
14).
15).
16).
17). ;
18).

4. Решить однородные дифференциальные уравнения первого порядка

1). ; 2). 3).

4). 5).6).

7). 8).

5. Решить линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли

1). 2). 3).

4). 5). 6).

7). 8)

Дифференциальные уравнения второго порядка

1.  Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1).; 1).

2). 3). 4). ;

5). 6).

7).

2.  Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка

1).
2).
3).
4).
6).
7).
8).
9).

10). .

Типовой расчет.

Задание 1. Доказать (найти , что:

;

Задание 2. Вычислить пределы функций.

;

Задание 3. Вычислить пределы функций.

;

Задание 4. Вычислить пределы функций.

;

Задание 5. Вычислить пределы функций.

;

Задание 6. Составить уравнение касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой .

;

Задание 7. Найти дифференциал

;

Задание 8. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.

;

Задание 9. Найти производную.

;

Задание 10. Найти производную.

;

Задание 11. Найти производную.

;

Задание 12. Найти производную.

;

Задание 13. Найти .

.

Задание 14. Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически.

;

Задание 15. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданных отрезках.

;

Задание 16. При подготовке к экзамену студент за дней изучает часть курса, а забывает часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса?

;

Задание 17. Провести полное исследование функции и построить графики.

;

Задание 18. Найти неопределенные интегралы.

а) б)

в) г)

д) е)

Задание 19. Вычислить определенные интегралы.

а) б)

в)

Задание 20. Вычислить несобственный интеграл.

Задание 21. Вычислить площади фигур, ограниченных

Задание 22. Вычислить площади фигур ограниченных линиями, заданными уравнениями.

Задание 23. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.

Задание 24.Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

Задание 25. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

Вопросы к экзамену

1семестр.

1.  Множество действительных чисел.

2.  Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент.

3.  Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел.

4.  Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Переход к пределу в неравенствах. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

5.  Функция. Способы задания функции. График функции, преобразования графиков функций.

6.  Предел функции в точке по Коши и по Гейне.

7.  Предел функции на бесконечности.

8.  Односторонние пределы.

9.  Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

10.  Свойства предела функции.

11.  Замечательные пределы.

12.  Непрерывность функции в точке. Основные теоремы о непрерывных функциях.

13.  Точки разрыва, их классификация.

14.  Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции.

15.  Определение производной. Геометрический и механический смысл производной.

16.  Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций.

17.  Производная сложной и обратной функций. Дифференцирование параметрически заданных функций и функций заданных неявно.

18.  Дифференциал. Определение и свойства. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

19.  Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.

20.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.

21.  Признаки возрастания и убывания функции. Точки экстремума функции. Необходимые и достаточные условия экстремума функции.

22.  Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

23.  Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

24.  Множества в : открытые, замкнутые, ограниченные.

25.  Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции.

26.  Частные производные. Геометрический смысл частных производных.

27.  Полный дифференциал. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.

28.  Дифференцирование сложной функции. Производная функции, заданной неявно.

29.  Частные производные высших порядков. Формула Тейлора.

30.  Производная по направлению. Градиент.

31.  Экстремумы функций двух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции в области.

32.  Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы.

33.  Замена переменной и интегрирование по частям.

34.  Интегрирование рациональных дробей.

35.  Интегрирование тригонометрических функций.

36.  Интегрирование иррациональных функций.

37.  Определенный интеграл. Определение и свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрические приложения определенного интеграла.

38.  Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченной функции. Признаки сходимости несобственных интегралов.

Вопросы к экзамену

II семестр

1.  Понятие числового ряда. Свойства сходящихся рядов.

2.  Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости ряда.

3.  Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши).

4.  Знакочередующиеся, знакопеременные ряды (признак Лейбница, общий достаточный признак сходимости).

5.  Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

6.  Функциональные ряды. Основные понятия. Сходимость степенных рядов. Абеля.

7.  Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

8.  Свойства степенных рядов.

9.  Разложение функции в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

10.  Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

11.  Тригонометрические ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций.

12.  Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

13.  Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.

14.  Интеграл Фурье.

15.  Двойной и тройной интегралы, их свойства.

16.  Сведение кратного интеграла к повторному.

17.  Замена переменных в кратных интегралах (полярные, цилиндрические, сферические координаты).

18.  Криволинейные интегралы 1-го рода, их свойства и вычисление.

19.  Криволинейные интегралы 2-го рода, их свойства и вычисление.

20.  Поверхностные интегралы первого и второго рода. Формулы Остроградского – Гаусса и Стокса.

21.  Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.

22.  Скалярное и векторное поле.

23.  Основные понятия математической теории поля: градиент, дивергенция, ротор

24.  Формула Грина, формула Гаусса – Остроградского. Формула Стокса.

25.  Соленоидальные и потенциальные векторные поля.

26.  Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.

27.  Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения первого порядка.

28.  Уравнения в полных дифференциалах.

29.  Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

30.  Линейные дифференциальные уравнения: однородные и неоднородные. Общее решение. Метод Лагранжа вариации постоянных.

31.  Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

32.  Простейшие типы уравнений в частных производных.

33.  Типы уравнений в частных производных второго порядка. Приведение к каноническому виду.

34.  Определение функции комплексной переменной. Предел и непрерывность.

35.  Дифференцируемость функции комплексного переменного. Условие Коши – Римана.

36.  Аналитическая функция. Дифференциал.

37.  Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Аналитической функции.

38.  Понятие о конформном отображении.

39.  Интегрирование функции комплексного переменного.

40.  Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.

41.  Интеграл Коши. Интегральная формула Коши.

42.  Ряды в комплексной плоскости. Ряд Тейлора. Ряд Лорана.

43.  Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции.

44. Понятия о вычетах.

Методические рекомендации преподавателю:

При проведении практических занятий по математическому анализу рекомендуется:

§  уделять внимание разбору теоретических задач, предлагаемых на лекциях и на семинарских занятиях;

§  уделять внимание краткому повторению теоретического материала, который используется при решении упражнений и задач;

§  осуществлять регулярную проверку домашних заданий;

§  ставить проблемные вопросы, по возможности использовать примеры и задачи с практическим содержанием;

§  использовать при проведении практических занятий активные методы обучения;

§  развивать математическую интуицию у студентов.

Методические указания студентам:

Учиться преодолевать самый высокий уровень непонимания материала («непонятно, что непонятно»).

При разборе примеров в аудитории или при выполнении домашних заданий целесообразно каждый шаг обосновывать теми или иными теоретическими положениями.

При изучении теоретического материала не задерживать внимание на трудных и непонятных местах, смело их пропускать и двигаться дальше, а затем возвращаться к тому, что было пропущено (часто последующее проясняет предыдущее).

При чтении учебников и лекционных материалов активно отмечать карандашом непонятные места. Карандаш легко стирается, когда вопрос можно снять.

С первых студенческих дней конструировать собственный стиль понимания сути изучаемого материала. Математические дисциплины в этой ситуации являются наиболее успешным полигоном.

Самостоятельная работа студентов. Аудиторная самостоятельная работа студентов по дисциплине выполняется на учебных занятиях под непосредственным руководством преподавателя и по его заданию. Она включает: текущие консультации; коллоквиум как форма контроля освоения теоретического содержания дисциплины (в часы консультаций); прием и разбор домашних заданий (в часы практических занятий).

Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. Она включает: формирование и усвоение содержания конспекта лекций, а также самостоятельное изучение отдельных вопросов на базе рекомендованной преподавателем учебной литературы, включая информационные образовательные ресурсы (электронные учебники, электронные библиотеки); написание рефератов; подготовка к выступлению на конференции; подготовка к семинарам, их оформление; выполнение микроисследований; выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач, проведения типовых расчетов, расчетно-компьютерных и индивидуальных работ по отдельным разделам содержания дисциплины; компьютерный текущий самоконтроль и контроль успеваемости.

Для того, чтобы заработать то количество баллов, которое вы видите в тематическом плане дисциплины «Математический анализ» по каждой теме, вам необходимо сделать задание по данной теме на оценку «отлично». В противном случае преподаватель имеет право снять несколько баллов. Снять баллы преподаватель может и за пропущенные семинарские или лекционные занятия.

Баллы, характеризующие успеваемость студента по дисциплине, набираются им в течение всего периода обучения за изучение дидактических единиц.

При выборе критериев оценки освоения студентом программы дисциплины в обязательном порядке учитывается: выполнение программы в части лекционных, практических занятий; выполнение предусмотренных программой аудиторных и внеаудиторных контрольных и иных письменных работ. Преподаватель осуществляет текущий контроль и выставляет рейтинговый балл по каждой контрольной точке модуля.

Максимальная сумма баллов, набираемая студентом по дисциплине (за один семестр), равна 100. Студент, набравший менее 60 баллов, получает итоговую оценку – неудовлетворительно, от 61 до 75 – удовлетворительно, от 76 до 90 - хорошо, 91 и выше баллов - отлично.

4. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ дисциплины

В учебном процессе используются стандартно оборудованные лекционные аудитории для проведения лекций и семинарских занятий, компьютерный класс, мобильный класс на ноутбуках. Совместно с данным оборудованием используются мультимедийный видеопроектор, интерактивная доска и интерактивная панель. В компьютерном классе должны быть установлены средства MS Office: Word, Excel, SPSS 11.5 for Windows Пакет STATISTICA и др.

Мобильные классы на ноутбуках используется в учебно-образовательной деятельности, как для учебных занятий, так и для организации доступа к ресурсам корпоративной сети и Internet на всей территории РИ АлтГУ. Все компьютеры объединены в единую локальную вычислительную сеть и имеет доступ в Интернет.

5. СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ

Основная литература

1.  Берман, к сборнику задач по курсу математического анализа Бермана : учеб. пособие / . – 2-е изд., стер. – СПб. : Лань, 2011. – 608 с.: ил.

2.  Бермант, курс математического анализа : учеб. / , . – изд.16-е, стер. – СПб. [и др.] : : Лань, 2010. – 736 с. ил. - (Классическая учебная литература).

3.  Данко, математика в упражнениях и задачах в 2х ч. Ч.1: учебное пособие для вузов / , , Т. Я Кожевников. - 7-е изд. испр.- М.: Оникс; Мир и Образование, 20c.

4.  Данко, математика в упражнениях и задачах В 2ч.: Ч.2: учебное пособие для вузов / , , Т. Я Кожевников. -7-е изд. испр.- М.: Оникс; Мир и Образование, 20с.

5.  Ильин, анализ : учебник: В 2ч. Ч.1 / . - перераб. и доп.- М.: Проспект, 2c.

6.  Ильин, анализ : учебник: В 2ч. Ч.2 / . - перераб. и доп.- М.: Проспект, 2c.

Дополнительная литература

7.  Виноградова, и упражнения по математическому анализу: Ч.1.Дифференциальное и интегральное исчисление / . - М.: Дрофа, 2c.

8.  Виноградова, и упражнения по математическому анализу: Ч.2.Дифференциальное и интегральное исчисление / . - М.: Дрофа, 2c.

9.  Жевержеев, курс высшей математики для втузов : учеб. пособ. / . - М.: Высшая школа, 1c.

10. Ильин, математического анализа : учебник для вузов: В 2ч. Ч.1 / , . - стер.- М.: Физматлит, 2c.

11. Ильин, математического анализа : учебник для вузов: В 2ч. Ч.2 / , . - стер.- М.: Физматлит, 2c.

12. Интегральное исчисление функции одной переменной: учебно-методическое пособие / сост. . – Барна1. –106 с.

13. Лаврентьев, уравнения: учебное пособие / . - Барнаул: АГУ, 1c.

14. Пискунов, Н. С Дифференциальное и интегральное исчисление. Т1 / . - изд.,стереотип.- М.: Интеграл-Пресс, 2c.

15. Пискунов, и интегральное исчисления. Т2 / . - М.: Интеграл-Пресс, 2c.

16. Подольский, задач по математике : учеб. пособие / , . - М.: Высш. шк., 1c.

17. Ряды: учебно-методическое пособие / сост. . - Барнаул: АлтГУ, 2c.

18. Сборник задач по высшей математике : С контрольными работами: 1 курс / , , . - испр.- М.: АЙРИС ПРЕСС, 2c.

19. Сборник задач по высшей математике : С контрольными работами: 2 курс / , , ; Под ред. .- М.: АЙРИС ПРЕСС, 2c.

20. Теория функций комплексного переменного: учебно-методическое пособие / сост. . – Барна1. –70 с.

21. Филиппов, задач по дифференциальным уравнениям : учеб. пособие / . - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1c.

22. Фихтенгольц, математического анализа : В 2ч. Ч.1 / . - стереотип.- СПб: Лань, 2c

23. Фихтенгольц, математического анализа : В.2ч. Ч.2 / . - стереотип.- СПб: Лань, 2c.

Базы данных, Интернет-ресурсы,

информационно-справочные и поисковые системы

24. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная библиотека [Электронный ресурс]: инф. система. – М.: ФГАУ ГНИИ ИТТ "Математика", . – Режим доступа: //www. http://window. *****, свободный. – Загл. с экрана (дата обращения 11.04.2012)

25. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная библиотека [Электронный ресурс] Университетская библиотека on-line. Режим доступа:// http://www. *****/collection. phpid=24– Загл. с экрана (дата обращения 11.10.2012).

26. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная библиотека [Электронный ресурс] Издательство Лань. Режим доступа:// http://e. /– Загл. с экрана (дата обращения 15.10.2012).

27.  Поисковые системы: Google, Yandex, Rambler.