Методы распознавания (стр. 3 )

Изображающее число дизъюнкции двух элементов равно сумме изображающих чисел слагаемых:

(2.2)

причем сложение #А и #В выполняется поразрядно без переносов в высшие разряды по правилу
0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1,1 + 1 = 1. Например, по отношению к базису b[А, В, С] изображающее число #(А + В + С) = #(А+В) + #С = #А + #В + #С= = 0+0+0=0

Изображающее число конъюнкции двух элементов определяется как произведение изображающих чисел сомножителей:

(2.3)

причем перемножение #А и #В выполняется поразрядно по правилу 00 = 0, 01 = 10 = 0, 11 = 1. Например, по отношению к b[А, В, С]

Изображающее число отрицания `А получается из изображающего числа А заменой в каждом разряде 0 на 1 и 1 на 0, например

(2.4)

Отметим двойной смысл символов «+» и «×» в логических формулах и операциях над изобра-жающими числами. В одном случае эти символы используются для обозначения дизъюнкции и конъюнкции над высказываниями, а в другом случае — для операций поразрядного логического сложения и умножения изображающих чисел элементов. Руководствуясь правилами (2.2) — (2.4), можно найти изображающее число любой булевой функции. Например, по отношению к базису
b[А, В, С, D] изображающее число #(А × В+`В×`С × D) = (010l 0´ (011) + + (100) · (100) ´ (011) = 001 +
+ 000 = 001. Следовательно, данная функция истинна только при таких комбинациях значений истинности элементов А, В, С, D, которые соответствуют 3, 7, 8, 9, 11 и 15-му столбцам базиса.

Укажем, что #I = 1111, ..., т. е. имеет единицы во всех разрядах #0 = 0000..., т. е. имеет 0 во всех разрядах, #Х = #У тогда и только тогда, когда Х = Y; Х®Y тогда и только тогда, когда #Y имеет 1, по крайней мере, в тех разрядах, в которых #Х содержит 1.

Используя изображающие числа, можно доказать любое из правил 1 — 20 алгебры логики.

Докажем, например, соотношение A × B +`B ×`C×D = A × B+`B ´`C × D + A ×`C × D, вытекающее из правила 19. Изображающее число левой части было сосчитано в предыдущем примере и равно 001. Изображающее число правой части отличается от этого числа только на #А ×`С×D = (001) · () =
= 000. Поразрядное логическое сложение число #А ×`С × D с числом 001 не изменяет последнего. Следовательно, изображающие числа левой и правой частей рассматриваемого соотношения тождественны.

Чтобы проверить истинность импликации (А × В + В ×`С)®(А + С), достаточно по отношению к b[А, В, С] вычислить #(А × В +`В × C) = (010l 0101) × (0+ (1×(0= 0+ 0= 0и #(A + С) = 0+ 0= 0и убедиться, что в разрядах 3, 4, 5, 7 последнего числа стоят единицы.

2.3. Восстановление булевой функции по изображающему числу

Рассмотрим методы, позволяющие переходить от задания булевой функции в виде изображающего числа к явному выражению ее через элементы.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ). Пусть имеется множество, состоящее из n элементов А1 ..., Аn. Произведение вида доставленное из элементов Ai или их отрицаний Aj и содержащее n сомножителей, называется элементарным произведением. Из n элементов можно составить 2n различных элементарных произведений. Изображающее число каждого элементарного произведения имеет только одну единицу в одном из 2n разрядов. Например, выпишем для трех высказываний А, В, С все возможные элементарные произведения и их изображающие числа по отношению к b[А, В, С]:

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) булевой функции — сумма элемен-тарных произведений. Чтобы по данному изображающему числу восстановить булеву функцию в СДНФ, нужно суммировать элементарные произведения, изображающие числа которых имеют единицы в тех же разрядах, что и изображающее число булевой функции. Например, 1имеет единицы в разрядах 0, 3, 5, 6, поэтому

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ). Элементарными суммами для n элементов А1 ..., Аn называются суммы вида составленные из элементов Аi или их отрицаний `Aj и содержащие n слагаемых. Из n элементов можно составить 2n элементарных сумм. Изображающие числа элементарных сумм содержат только один 0 в одном из 2 n разрядов. Например, для трех высказываний А, В, С имеем

Конъюнктивная нормальная форма булевой функции представляет собой произведение элемен-тарных сумм. Для того чтобы написать булеву функцию, соответствующую данному изображаю-щему числу в КНФ, необходимо перемножить элементарные суммы, изображающие числа кото-рых имеют тот же 0, что и изображающее число булевой функции. Например, число 1имеет 0 в разрядах 1, 2, 4 и 7, поэтому 1=

Представление в форме суммы первых имнликант. Рассмотрим булеву функцию F(A, В, С,...). Функция f(A, В, С, ...) называется импликантой функции F(A, В, С, ...), если f(А, В, С, ...)® F(A, В,С, ...). Изображающее число #f импликанты функции F имеет нули в тех разрядах, в каких имеет нули изображающее число #F, наличие же единицы в разряде изображающего числа #f влечет за собой наличие единицы в аналогичном разряде изображающего числа #F.

Если P1 и Р2 представляют собой какие-либо произведения из элементов А, В, С, ... или из их отрицаний и P1®P2, то Р2 получается из P1 отбрасыванием некоторых сомножителей, например и т. д.

Функция f(A, В, С, ...) называется первой импликантой функции F(A, В, С, ...), если f®F, и не существует такой функции f '(A, В, С, ...), что f ' ® F и f®f', например

Элементарные произведения отвечающие единицам в разрядах 1, 2, 3 и 5 #F, по определению, — импликанты функции F. Так как то, во-первых,— импликанты функции F, во-вторых, так как ни один из элементов A, B, не является импликантой функции F, то, следовательно, — первые импликанты функции F, и, в-третьих, импликанта А ×`С — несущественная. Запишем столбцы базиса b[А, В, С], соответствующие единицам в изображающем числе #F в виде двоичных чисел и отметим, как и в базисе b[А, В, С], разряды этих чисел буквами А, В, С в порядке справа налево.

Объединению импликант отвечающих столбцам 1 и 3 в базисе b[А, В, С], можно поставить в соответствие аналогичную операцию на числах 001 и 011, отличающихся
только содержимым второго разряда, причем результат объединения, т. е. А ×`С, выражается как 0´1, где символ «´» во втором разряде указывает на то, что элемент В отсутствует в возникающей импликанте. Аналогично можно объединить (повернутые) столбцы 001 и 101, а также столбцы 010 и 011, в результате получим числа ´ 01 и 01 ´, отвечающие импликантам АВ и ВС, соответственно. Число 0 ´ 1 выражает тот факт, что среди номеров единичных разрядов изображающего числа #F=0имеются числа 1 и 3 и, кроме того, что изображающее число #А · С = 0имеет единицы в разрядах 1 и 3. Аналогично, число х 01 показывает, что в ФР есть два единичных разряда 1 и 5 и что #А × = 0имеет единицы в разрядах 1 и 5.

Так как в данном процессе попарно объединяться могут колонки, отличающиеся содержимым только одного разряда, то перед началом работы для удобства следует распределить все номера единичных разрядов на группы, объединяя в одну группу числа (номера столбцов), которые, будучи записаны в двоичном коде, имеют одинаковое число единиц. Например, если #F= 0, то числа 1, 2 образуют одну группу, числа 3, 5 — другую (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Распределение номеров единичных разрядов на группы

Номер столбцов	Разряды CBA 222120	Соответствующие элементарные произведения	Номер столбцов	Разряды CBA 222120	Соответствующие элементарные произведения
1 2	001 010		3 5	011 101

2.4. Зависимость и независимость высказываний

Условия независимости. Поскольку каждая булева функция может иметь два значения истин-ности, n булевых функций могут образовывать 2n комбинаций значений истинности. По опреде-лению n булевых функций f1(А, В, С, ...), ..., fn(А, В, С, ...) независимы, если в совокупности при всех возможных значениях аргументов А, В, С, ... они могут принимать 2n комбинаций значений истинности. Следовательно, для проверки независимости функций f1(A, В, С, ...), ..., fn(А, В, С, ...) необходимо по отношению к базису b[А, В, С, ...] вычислить их изображающие числа

(2.5)

и проверить, образуют ли столбцы набора (2.5) 2n чисел 0, 1, ..., 2 n — 1; если 2n чисел имеется, то функции независимы, в противном случае — зависимы. При этом считается что, как во всяком базисе, разряды двоичных чисел, представленных столбцами набора (2.5), возрастают вдоль столбца сверху вниз.

Пример. Установить, зависимы или независимы функции А × В +`А ×`В и `B. Запишем их изображающие числа в последовательные строки:

Колонки набора представляют все возможные комбинации значений истинности, соответствующие числам 0, 1, 2, 3. Следовательно, рассматриваемые функции независимы.

Пример. Установить, зависимы или независимы функции А × В+`А × В, `В и А ×`В+`А × В.

Эти функции зависимы, так как в колонках набора

содержатся числа 1, 3, 4, 6, а числа 0, 2, 5, 7 отсутствуют.

Метод нахождения явного вида логической зависимости. Чтобы найти явную форму логической связи зависимых булевых функций f1(Л, В, С, ...), ..., fn(A, В, С, ...) в виде

F (f1, ...,fn) = 1 (2.6)

поступают следующим образом. В базисе b[А, В, С] выписывают в последовательные строки изображающие числа #f1, ..., #fn и определяют, какие числа отсутствуют в наборе столбцов (2.5), повторяющиеся значения чисел считают один раз. Столбцы набора (2.5) представляют собой комбинации значений истинности функций f1 ..., fn, при которых соответствующие элементарные произведения, составленные из f1 ..., fn, истинны. Так как #(F = 1) = # F, то, следовательно, имею-щиеся в наборе (2.5) столбцы указывают номера тех колонок базиса b[f1 ..., fn], совпадающие с
номерами разрядов #F(f1 ..., fn), на которых функция F истинна, т. е. в соответствующих разрядах изображающего числа #F(f1 ..., fn) должны стоять единицы.

Таким образом, изображающее число функции F(f1 ..., fn), отвечающей связи (2.6), получим, если в его разрядах относительно базиса b(f1 ..., fn), которые имеют номера отсутствующих в наборе (2.5) столбцов, поставим 0, а в остальных разрядах — 1.

Пример. Требуется установить явный вид логической зависимости функций

Вычислим по отношению к базису b[А, В, С]:

Выпишем последовательно все столбцы в этом наборе изображающих чисел как строки или соответствующие двоичные числа и укажем справа их десятичные значения: 111 = 7, 101 = 5,
010 = 2, 000 = 0, 111 = 7, 110 = 6, 001 = 1, 000 = 0.

Видим, что имеются только числа 0, 1, 2, 5, 6 и 7, а числа 3, 4 отсутствуют. Это означает, что по отношению к b[f1, f2, f3] изображающее число связи F(f1, f2, f3) = 1 имеет вид #F(f1, f2, f3) = 1

Так как 1= #[(f1 + f2) × f3 + (f1 + f2) × f3], то функции f1, f2, f3 связаны соотношением
(f1 + f2) × f3 + (f1 + f2) × f3 = 1.

В справедливости последнего равенства можно убедиться непосредственно, если подставить в него выражения для f1, f2, f3, записанные как функции от А, В, С. Выполним эту подстановку через изображающие числа f1, f2, f3 по отношению к b[А, В, С]:

2.5. Булевы уравнения

Решение многих задач, связанных с распознаванием объектов, может быть сведено к нахож-дению решений булевых алгебраических уравнений с одним (или более) неизвестным. Примером булева уравнения с одним неизвестным может служить соотношение Х × (А + В) — А × В × С,
где X — некоторая булева функция, зависящая от А, В, С, которую требуется найти, так чтобы в результате подстановки Х(А, В, С) в данное уравнение оно обращалось в тавтологию.

Перейдем от элементов X, А, В, С к их изображающим числам. Относительно базиса
b[А, В, С] найдем #А × В × С = 0; #(А + В) = 0и, следовательно, #Х должно быть таким, чтобы выполнялось равенство (0´ (#X) = 0, откуда #Х = ´ 000 ´ 001, где вместо ´ можно написать как 0, так и 1.

Таким образом, рассматриваемое уравнение имеет четыре решения, соответствующие изображающим числам 0,

Аналогично можно найти решение уравнения в виде импликации, например

(2.7)

Так как #(А + В +`С) = 1, #(А × В+`B × C) = 0, то #Х = 000´ ´´0´.

Таким образом, имеется 24 = 16 решений уравнения (2.7):

Уравнение в виде импликации всегда можно записать как соотношение эквивалентности, например, вместо (2.7) можно было бы написать или после упро-щения

Существуют также уравнения, которые вообще не имеют решений, например

Решение булевых уравнений. Изложим общий метод решения булевых уравнений, основанный на вычислении изображающих чисел неизвестных, на примере уравнения, записанного в форме эквивалентности, которое возникает из рассмотрения следующей задачи.

Когда было много разговоров о существовании «летающих тарелок» в связи с утверждениями некоторых лиц о том, что ночью ими наблюдались странные небесные тела, то был произведен опрос населения двух близлежащих к месту предполагаемого появления этих тел населенных пунктов.

Систематизация результатов опроса жителей первого населенного пункта показала следующее: а) в небе появились сгустки слабо светящейся ионизированной пыли (А); б) среди атмосферных облаков (В) появилось одиночное светлое дискообразное тело радиусом приблизительно 100 м (X) и больше не было никаких других тел (), в) далеко в небе показалась группа движущихся сигарообразных тел (Y), и движение этих тел сопровождалось слабыми мерцающими разрядами атмосферного электричества (С).

Ответы жителей второго населенного пункта можно было объединить в такие группы: а) не было ни светящейся ионизированной пыли (), ни большого светлого дискообразного тела (), ни сигарообразных тел (), б) не видели ни атмосферных облаков (), ни светлого дискообразного тела (), в) наблюдались слабые разряды атмосферного электричества (С);
г) среди облаков (В) были видны сгустки слабо светящейся ионизированной пыли (А). На основании этих данных требовалось определить, следует ли принимать всерьез заявления некоторых лиц о наблюдавшихся ими странных небесных телах X и Y или же представления о телах X и Y могли быть вызваны комбинированными действиями атмосферных явлений А, В, С. Используя введенные обозначения, результаты опроса представим в виде следующего булева уравнения:

(2.8)

Решение вопроса о существовании тел X и Y сводится к определению возможности разрешить уравнение (2.8) относительно неизвестных X и Y и выразить их как функции от элементов А, В, С.

Если решение Х(А, В, С), Y(A, В, С) существует и, кроме того,

(2.9)

то нет оснований делать вывод о появлении каких-либо тел X, Y. Если же решения, отличного от (2.9), не существует, то следует отнестись к заявлениям «очевидцев» с большой серьезностью.

Вычисление #X и #Y относительно базиса b[А, В, С] удобно проводить с помощью следующей рабочей таблицы 2.2:

Таблица 2.2

Рабочая таблица вычислений #X и #Y относительно базиса b[А, В, С]

Изображающие числа коэффициентов при неизвестных функциях по отношению к базису b [A, B, C]	Комбинация неизвестных функций	Изображающие числа комбинаций неизвестных функций по отноше-нию к базису b[X, Y]: Xj = 0101 Yj = 0011
Левая часть уравнения Правая часть уравнения	# А # B #C #`A #`B #(C + A + B)	0 = 0 = 0 = 0 = 1 = 1 = 0	I X ·`Y Y `X ·`Y `X I	# I = 1111 # X ·`Y = 0100 # Y = 0011 #`X ·`Y = 1000 #`X = 1010 # I = 1111

Рекомендуется следующий порядок работы при вычислении #X и #Y относительно b[А, В, С]. Возьмем первую пару значений (Xj, Yj) при j = 0, т. е. (Х0, Y0) = (0, 0), которые соответствуют нулевому столбцу базиса b[X, Y]. Паре значений (Х0, Y0) = (0, 0) отвечают колонка в наборе изображающих чисел элементов I, X ×`Y и Y для левой части уравнения (2.8) и колонка в наборе изображающих чисел и I для правой части этого уравнения. Колонку умножаем на нулевую колонку в наборе изображающих чисел коэффициентов А, В и С для левой части уравнения и результат суммируем по правилу логического сложения: 01 + 00 + 00 = 0.

Аналогично поступим с колонкой и нулевой колонкой в наборе для правой части уравнения: 1×1 + 1×1 + 0×1 = 1.

Так как полученные результаты не совпадают, то, следовательно, пара значений (Х0, Y0) = (0,0) в разрядах i = 0 изображающих чисел #Х и #Y, вычисленных относительно базиса b[А, В, С], не удовлетворяет (2.8) и потому должна быть отброшена.

Далее проверяется пара значений (Xj, Yj) = (1, 0) при j = 1 в разрядах с номером i = 0 изображающих чисел #X и #Y по отношению к b[А, В, С]. Как и раньше, необходимо сравнить логическую сумму произведения колонкина колонку т. е. 0 × 1 + 0 × 1 + 0 × 0 = 0, с аналогичным

результатом для колонок и 0 × 1 + 0 × 1 + 1 × 0 = 0.

— колонка с номером j = 1 в наборе и # Y, а — колонка с номером i = 0 в наборе #A, #B #С. Аналогично, — колонка с номером j = 1 в наборе и #I, a — колонка с номером i = 1 в наборе и #(C = A × B).

Поскольку суммы произведений колонок совпадают, можем записать в нулевые (i = 0) разряды #X и #Y по отношению к b[А, В, С] значения Х1 = 1, Y1 = 0, как показано в таблице результатов (табл. 2.3).

Таблица 2.3

Допустимые пары значений (Xj, Yj)

При проверке всех оставшихся пар значений (Xj, Yj) для разрядов изображающих чисел #X и #Y с номером 1 = 0 в базисе b[А, В, С] отбросим пару (X2, У2) = (0,1), поскольку 1 × 0 + 0 × 0 +
+1 × 0 ¹ 0 × 1 + 1 × 1 + 1 × 0, и запишем в разряд i = 0 таблицы результатов (Х3 ,У3) = (1,1), так как
1 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 = 0 × 1 +1 × 0 + 1 × 0.

Аналогично можно выбрать все допустимые пары значений (Xj, Yj) по отношению к разрядам 1, 2 и т. д. изображающих чисел #X и #Y в базисе b[А, В, С].

В общем случае для проверки j-й пары значений (Xj, Yj) колонки, стоящие справа от неизвест-ных, последовательно умножаются на i-ю колонку коэффициентов и результат логически склады-вается, при совпадении значений сумм выше и ниже средней горизонтальной черты рабочей таблицы, разделяющей наборы чисел для правой и левой частей уравнения, соответствующие j-й колонке неизвестные значения (Xj, Yj) подставляются в j-й разряд таблицы результатов.

Поступая аналогично, получим решение для #X и #Y, приведенное в таблице результатов. Согласно этой таблице, имеются 2 × 2 × 2 × 4 × 2 × 4 × 3 × 4 = 3072 различных неэквивалентных пар решений уравнения (2.8). Например, если, в частности, взять числа, стоящие первыми в каждом разряде (i = 0, 1, ..., 7) таблицы результатов, то получим: т. е. представление о существовании тела X либо не связано ни с одним из названных атмосферных явлений, либо вызвано только появлением облаков и атмосферными разрядами электричества, а представление о существовании группы тел Y вызвано либо одними облаками, либо одними атмосферными разрядами. Поэтому нет серьезных оснований считать, что небесные тела X и Y действительно существуют.

Изложенный метод может быть применен и при решении системы уравнений в форме

эквивалентности с тем, однако, усложнением, что проверяемая пара значений (Xj, Yj) должна одновременно удовлетворять всем уравнениям системы.

Процедуру отбора пар значений (Xj, Yj), удовлетворяющих, например, уравнению (2.8), можно значительно упростить, если ввести в рассмотрение операции над булевыми матрицами. Прямоугольная матрица называется булевой, если элементы ее — числа 0 и 1. Произведение булевых матриц

(2.10)

определяется по правилам обыкновенного матричного умножения, т. е. с той только разницей, что операция суммирования произведений элементов строк и столбцов заменяется логическим сложением, например

Соотношение импликации, обозначаемое ||аij||®||bij||, справедливо для двух булевых матриц: ||аij|| и ||bij||, если нет i и j таких, что bij = 0 и aij = 1, например

Транспонированной матрицей по отношению к ||аij||называют Матрицу

получаемую из матрицы ||аij||, при перемене местами строк и столбцов.

Последовательное умножение с последующим сложением каждого столбца в наборе изображающих чисел коэффициентов на все столбцы набора изображающих чисел неизвестных эквивалентно умножению булевой матрицы, полученной транспонированием таблицы изображающих чисел коэффициентов, на булеву матрицу, составленную из изображающих чисел неизвестных. Выполняя эти вычисления для левой части уравнения (2.8), найдем булеву матрицу:

(2.11)

Аналогично для правой части уравнения (2.8) находим

(2.12)

Сравнение матриц ||cij|| и ||dij|| показывает, что в строках i=0 совпадают элементы с индексами
j = 1 и j = 3, т. е. c01 = d01 = 0, c03 = d03 = 0, и, следовательно, в разряд i = 0 таблицы результатов должны быть внесены значения (X1, Y1) = (1,0) и (Х3, У3) = (1, 1).

В строках i = 1 совпадают элементы с индексами j = 0 и j = 2, т. е. c10 = d10 1 и c12 = d12 =1, поэтому в разряд i = 1 таблицы результатов записываются значения (Х0, Y0) = (0,0) и (X2, У2) = (0,1). Точно так же получим для всех оставшихся i следующие совокупности значений индекса
j: i = 2, j = 2, 3; i = 3, j = 0, 1, 2, 3; i = 4, j = 2, 3; i = 5, j = 0, 1, 2, 3; i = 6, j = 1, 2, 3; i = 7, j = 0, 1, 2, 3; они полностью соответствуют выписанной ранее таблице результатов.

Для системы из r уравнений в форме эквивалентности, которые будем предполагать перенумерованными с помощью индекса s, решения находятся из условия совпадения элементов одновременно во всех r матрицах ||csij|| и ||dsij||, s = 1, ..., r, вычисленных таким же образом, как и матрицы (2.11) и (2.12). Если при каком-либо x не существует таких Y, что csij = dsij, s =l, ..., r, то система уравнений не имеет решения.

Для уравнений в форме импликации не нужно требовать совпадения элементов матриц ||cij|| и ||dij||; для существования решения достаточно только, чтобы единице слева обязательно соответствовала единица справа.

2.6. Замена переменных

Понятие замены переменных в алгебре логики аналогично понятию замены переменных в обычной алгебре. Если А, В, С, ... — элементарные высказывания и совершается замена переменных, то, полагая

(2.13)

где А¢, В¢, С¢, ... — новые переменные, необходимо убедиться, что не вводятся зависимости между А, В, С, ... за счет специального выбора булевых функций (2.13). При этом новые элементы А¢, В¢, С¢, ... также будут независимыми

Пример. Преобразовать элементы А и В в элементы А¢ и В¢:

(2.13а)

Вычислим по отношению к базису b[А¢, В¢]

(2.14)

Так как в наборе (2.14) имеются все 22 чисел от 0 до 3, то, следовательно, функции (2.13а) независимы и преобразование допустимо.

Первая задача, возникающая в связи с заменой переменных, состоит в следующем. Предположим, что задана некоторая функция F1(А, В, С, ...) и совершается преобразование переменных вида (2.13). Требуется найти функцию

(2.15)

Для нахождения #G1{А¢, В¢, С¢, ...) вычислим #А, #В, #С, ... по отношению к b[А¢, В¢, С¢, ...] и произведем над ними действия, посредством которых формируется функция F1(A, В, С, ...) из эле-ментов А, В, С, ... . Полученный результат и будет #G1(А¢,В¢,С¢, ...) по отношению к b[А¢,В¢,С,¢ ...]. Например, если

(2.16)

и совершается преобразование (2.13а), то #G(A¢, В¢) = (1001) ´ (0101) + (0110) × (1010) × 0011 и, следовательно,

(2.17)

В более общем случае требуется одновременно преобразовать несколько функций F1(А, В, С, ...), F2(A, В, С, ...) от переменных А, В, С, ... к переменным А¢, В¢, С¢, ... . Например, наряду с (2.16) может быть задана функция

(2.18)

которая в результате преобразования (2.13а) переходит в функцию

(2.19)

причем #G2(A¢,B¢) = 1001 + 0101 = 1101.

Замена переменных (2.13) в функциях F1(А, В, С, ...), F2(A, B С,...) эквивалентна переходу от #F1(А, В, С, ...), #F2(A, В, С, ...), вычисленных относительно b[А, В, С, ...], к #G1(А¢, В¢, С¢, ...), #G2(A¢, В¢, С¢, ...), ..., вычисленных относительно b[А¢, В¢, С¢, ...]. Этот переход в случае независимых функций (2.13) сводится к перестановке столбцов в наборе