Методы распознавания (стр. 4 )

(2.20)

В результате получается набор

. (2.21)

Перестановка столбцов выполняется с помощью перестановочной булевой матрацы ||Rij||, которая должна строиться таким образом, чтобы

(2.22)

где ||Fki|| — матрица, составленная из набора (2.20); ||Gkj|| — матрица, составленная из набора (2.21), причем индекс k относится к номеру преобразуемой строки (номер функций Fk, Gk), а индексы i и j — номера разрядов в #Fk и #Gk, соответственно.

В частном случае, когда F1 = A, F2 = B, F3 = C, ..., должны быть, согласно (2.13), Gl = A(A¢, В¢, С¢, ...), G2 = B(A¢, В¢, С¢, ...), G3 = C(A¢, В¢, С¢, ...), ..., где функции А (A¢, В¢, С¢, ....), В(A¢, В¢, С¢, ...), С(A¢, В¢, С¢, ...), ..., считаются известными. Это условие определяет перестановочную матрицу ||Rij||, когда замена переменных (2.13) задана. Например, в случае преобразования (2.13а) матрица ||Rij|| должна переводить набор #A = 0101; #B=0011, представляющий собой просто базис b[А, В], в набор

изображающих чисел #A(A¢, В¢) и #B(А¢, В¢), вычисленных относительно базиса b[А¢, В¢], т. е. в набор (2.14). Таким образом, матрица ||Rij|| должна удовлетворять уравнению:

(2.23)

В (2.23) столбец с номером i = 0 переводится в столбец с номером j = 1, столбец с номером
i = 1 переводится в столбец с номером j = 3, столбец с номером i = 2 ставится на место столбца с номером j = 2 и столбец с номером i = 3 смещается на место столбца с номером j = 0. Если в матрице ||Rij|| элементы с указанными значениями индексов i и j положить равными 1, а остальные — равными 0, т. е. взять

(2.24)

то (2.23) удовлетворится. При этом преобразование функций F1 и F2, заданных (2.16) и (2.18), получится из соотношения (2.22):

таким образом, G1 = В¢, G2 = A¢ + В¢.

В общем случае перестановочная матрица ||Rij||, соответствующая заданному преобразованию переменных (2.13), строится аналогично: если столбец с номером i = k базиса b[А, В, С, ...] переводится в столбец с номером j = h набора изображающих чисел #А(А¢, В¢, С¢, ...), #В(А¢, В¢, С¢,...), #С(А¢, В¢, С¢,...), ..., вычисленных относительно базиса b[А¢, В¢, С¢,...], то матричный элемент Rkh = 1, а все другие элементы Rij = 0.

Перестановочная квадратная булева матрица ||Rij||, содержащая только одну единицу в каждом столбце и в каждой строке, допускает обратную матрицу ||Rij||-1, равную транспонированной матрице ||Rij| T, т. е. ||Rij||-1 = ||Rij||T = |Rij||, и, таким образом, ||Rij|| ´ ||Rij|| = ||dij|| где ||dij|| — единичная матрица. Например, для матрицы (2.24) обратная матрица

(2.25)

Умножая (2.22) справа на матрицу ||Rij||, получим

(2.26)

В частном случае, когда Gij = #A¢; G2j = #B; С3j = #С¢, ..., т. е. когда матрица ||Gkj||совпадает с базисом b[А¢, В¢, С¢, ...], (2.26) определяет преобразование переменных, обратное по отношению к (2.13): F1i = #A¢(A, В, С, ...); F2j = #B¢(A, В, С, ...); F3i = #C(A, В, С,...); где изображающие числа функций А¢(А, В, С,...), В¢(А, В, С, ...); С¢(А, В, С, ...), ... записаны в базисе b[А, В, С, ...].

Например, используя матрицу (2.25), можно получить обратное к (2.13а) преобразование переменных:

или

причем если функции G1 (А¢, В¢) и G2 (А¢, В¢) заданы выражениями (2.17) и (2.19), то в пере-менных А, В, согласно (2.26), получим

Рассмотрим обратную задачу: найти такое преобразование переменных вида (2.13), которое пе-реводило бы функции Fk в функции Gk, т. е. при всех k = 1, 2, ...n. Fk[A(A¢, В¢, С¢, ...);
В(А¢, В¢, С¢, ...); С(А¢, В¢, С¢, ...); ...] = Gk(A¢, В¢, С¢, ...). В отличие от предыдущего случая решение данной задачи существует не всегда и, кроме того, может быть неоднозначным. Например, для когда изображающие числа отличаются не только порядком расположения разрядов, но и их содержимым, не существует замены переменных А = А(А¢, В¢); В = В (А¢, В¢) с независимыми функциями А(А¢, В¢), В(А¢, В¢), которая переводила бы функцию F в функцию G.

Если наборы изображающих чисел (2.20) и (2.21) отличаются только порядком расположения столбцов, то задача решается с помощью (2.22). При этом перестановочная матрица ||Rij|| строится так же, как и в прямой задаче. Укажем для каждой колонки набора (2.20), на какое место ее сле-дует перевести с таким расчетом, чтобы в результате получился набор (2.21). Тогда, если колонка
i = k переводится в колонку j = h, элемент Rkh = l, а все другие элементы Rij = 0. Например, пусть F(A, В, С) = Тогда так как изображающие числа
#F(A, В, С) = 0и #G(A¢, В¢, С¢) = 0отличаются только порядком расположения нулей и единиц, то существует преобразование переменных вида (2.13), переводящее функцию F в функцию G. Положим в матрице ||Rij|| элементы R00, R16, R27, R32, R41, R54, Rб5 и R73 равными 1, а все остальные элементы Rij = 0. Это означает, что разряд i = 0, переводится в разряд j = 0, разряд
i = 1 — в разряд j = 6; i = 2 — в разряд j = 7 и т. д. Таким образом, выбираем

.

Соответствующее данной перестановочной матрице ||Rij|| преобразование переменных определится с помощью (2.22), если положить (F1i) = #A; (F2i) = #B; (F3i) = #C. Относительно базиса b[A¢,B¢,С¢]

откуда

Обратное преобразование по отношению к данному получается как

т. е.

Найденное преобразование переменных — не единственное удовлетворяющее условию
F(A, В, C) = G(A¢, B¢, С¢).

Если положить

то другое возможное преобразование будет

Всего же в данном случае существует 2 × 6! = 1440 различных перестановочных матриц ||Rij||. В отдельных случаях к замене переменных может сводиться задача нахождения решения специальных булевых уравнений. Предположим, что разведчик, проводивший в течение какого-либо времени наблюдения за действиями войск противника с целью получить сведения о тактике вооруженных сил, представил своему командованию доклад следующего содержания:

1. На холмистой местности в ясные дни локализованные атаки пехоты проводились в сопро-вождении дальнобойной артиллерии, а не танков.

2. На плоской местности в ночное время при плохой погоде применялась легкая артиллерия и никогда не предпринималось общее наступление пехоты на широком фронте, поддерживаемое тяжелыми танками.

3. На холмистой местности ночью или при плохой погоде в дневное время использовались тяжелые танки с локализованными атаками пехоты или же применялась дальнобойная артиллерия с наступлением пехоты на широком фронте.

4. При плохой погоде ночью или при плохой погоде на плоской местности, или же при хоро-шей погоде на холмистой местности применялись либо локализованные атаки пехоты, либо дальнобойная артиллерия и тяжелые танки совместно с наступлением пехоты на широком фронте.

На основе этого донесения требуется определить: 1) как влияют на тактику пехоты плоская местность, ночное время, плохая погода; 2) при каких условиях будет предпринято наступление на широком фронте, использована дальнобойная артиллерия или тяжелые танки; 3) какова будет тактика противника, если предположить, что битва происходит на равнине в ясный день.

Чтобы решить эту задачу, выделим прежде всего основные понятия, использованные в доне-сении разведчика: 1) местность — или плоская, или холмистая, но не одновременно плоская и холмистая; 2) время проведения операции — или день, или ночь; 3) погода — хорошая или плохая; 4) атака пехоты — или локализованная, или наступление на широком фронте. Заметим, здесь же, что все битвы происходили с атаками пехоты; 5) артиллерия — дальнобойная или легкая; 6) танки — тяжелые или легкие, причем легкие танки вообще не участвовали в сражениях.

В соответствии с перечисленными понятиями введем в рассмотрение следующие элемен-тарные высказывания: А — местность плоская, `А — местность холмистая, В — ночь, `В — день, С — плохая погода, `С — хорошая погода, А¢ — наступление пехоты на широком фронте, `А¢ — локализованная атака пехоты, В¢ — дальнобойная артиллерия, `В¢ — легкая артиллерия, С¢ — тя-желые танки, `С¢ — без танков.

Четыре пункта в донесении разведчика могут быть представлены следующими соотношениями:

Вычислим по отношению к базисам b[А, В, С] и b[А¢, В¢, С¢] соответственно изображающие числа функций в левых и правых частях приведенных соотношений эквивалентности.

Номера разрядов i =

Номера столбцов 10.

Номера разрядов i =

Номера столбцов2 12.

Один набор изображающих чисел может быть получен из другого набора перестановкой столбцов двумя способами. Это означает, что существуют два различных решения выписанных уравнений как относительно А, В, С, так и относительно А¢, В¢, С¢, которые можно определить, если найти соответствующую замену переменных, переводящую левый набор функций в правый набор и наоборот. Исследуем вначале решение, при котором единичными элементами переста-новочной матрицы ||Rij|| являются R02 = l, R15 = 1, R26 = l, R31 = 1, R43 = 1, R54 = 1, R67 = 1, R70 = l.

Тогда

и, согласно (2.29), искомое преобразование переменных есть

Отсюда

(2.27)

Обратное преобразование переменных осуществляется матрицей

(2.27а)

и имеет вид

или в явной форме:

(2.28)

В другом возможном случае единичными элементами перестановочной матрицы ||Rij|| будут R02 = l, R15 = 1, R27 = l, R31 = 1, R43 = 1, R54 = 1, R66 = 1, R70 = l, так что

(2.28а)

Соответствующее данной перестановочной матрице преобразование переменных имеет вид

Отсюда

(2.29)

И наконец, разрешая (2.29) относительно переменных, помеченных штрихами, получим

или в явной форме:

(2.30)

Соотношения (2.27) и (2.29) допускают следующую интерпретацию: а) на плоской местности будет применяться легкая артиллерия; б) в ночное время противник будет применять дальнобой-ную артиллерию и тяжелые танки или же легкую артиллерию без танков; в) при плохой погоде либо будет предпринято наступление пехоты на широком фронте, поддержанное дальнобойной артиллерией, либо будут проводиться локализованные атаки пехоты, сопровождаемые огнем лег-кой артиллерии, либо локализованные атаки пехоты будут поддерживаться тяжелыми танками, либо еще может быть предпринято наступление пехоты на широком фронте с дальнобойной артилле-рией без поддержки танков.

Соотношения (2.28) и (2.30) допускают следующую интерпретацию: г) наступление на широ-ком фронте будет предпринято или на плоской местности при хорошей погоде, или на холмистой местности при плохой погоде (в дневное время), или при хорошей погоде ночью; д) дальнобойная артиллерия будет применяться на холмистой местности; е) тяжелые танки будут применяться на плоской местности в дневное время или на холмистой местности ночью.

Для ответа на третий вопрос составим произведение элементов и выразим его через элементы, помеченные штрихами. Для первого варианта решения (2.27) получим

Следовательно, в сражении, которое происходит на равнинной местности днем при хорошей погоде, будет применено наступление пехоты на широком фронте, поддержанное легкой артил-лерией и тяжелыми танками.

Для второго варианта решения (2.29) найдем

Таким образом, результат не отличается от первого варианта.

2.7. Решение логических задач распознавания

В логических системах распознавания классы и признаки объектов рассматриваются как логи-ческие переменные. Чтобы подчеркнуть эту особенность, для обозначения классов и признаков введем специальные обозначения.

Пусть множество объектов подразделено на классы Ω1 ..., Ωm, а для описания объектов используются признаки А1 ..., Аn.

Предположим, что все сведения априорного характера о классах объектов, выражающие, с одной стороны, связь между высказываниями Ω1, ..., Ωm и А1, ..., Аn, с другой стороны, зависимости

только между признаками А1, ..., Аn или только между классами Ω1, ..., Ωm представлены в форме булевых соотношений:

(2.31)

Предположим также, что наряду с (2.31) в результате проведения экспериментов установлены некоторые данные, касающиеся части признаков A1 ..., Аn, присущих объектам классов Ω1, ..., Ωm, и что эти данные выражены как булева функция G(A1 ..., Аn) = 1.

Прямая задача распознавания ¾ задача, состоящая в том, чтобы определить, какие выводы можно сделать относительно классов Ω1, ..., Ωm на основе общих сведений априорного характера (2.31) и апостериорной информации G(A1..., Аn), т. е. требуется определить неизвестную функцию F(Ω1, ..., Ωm), удовлетворяющую уравнению

(2.32)

при ограничениях (2.31).

Задача, сопряженная с данной, заключается в том, чтобы установить, какие совокупности признаков А1 ..., Аn должны иметь место, если известны некоторые сведения о классах Ω1, ..., Ωm, т. е. требуется определить неизвестную функцию G1(A1, ..., Аn), удовлетворяющую уравнению

(2.33)

при заданной функции F1(Ω1, ..., Ωm) и связях (2.31).

Положим, в соотношениях (2.32) и (2.33) F(Ω1, ..., Ωm) = F1(Ω1, ..., Ωm). Тогда, если
G1(A1 ..., An) = G(A1 ..., Аn), перемножив левые части (2.32) и (2.33), получим G × F +`G ×`F = l или

(2.34)

иначе говоря, посылки G(A1 ..., Аn) [или F1 (Ω1, ..., Ωm)] и следствия F(Ω1, ..., Ωm) [или G1(А1, ..., Аn)] эквивалентны.

Обратная задача распознавания — задача, состоящая в том, чтобы определить множество априори неизвестных посылок G(A1 ..., Аn), из которых следуют некоторые данные выводы
F(Ω1, ..., Ωm) при условии, что признаки А1, ..., Аn и классы Ω1, ..., Ωm связаны зависимостями (2.31).

Покажем, что решение этой задачи приводится к решению предыдущей задачи. Пусть
F(Ω1, ..., Ωm) есть заданная функция, импликанты которой требуется найти в виде функции G(A1 ..., Аn). Перейдем от функции F(Ω1, ..., Ωm) к ее отрицанию F1 =`F(Ω1, ..., Ωm) и с помощью (2.33) определим функцию G1(A1 ..., Аn), связанную с `F(Ω1, ..., Ωm) зависимостью `F(Ω1, ..., Ωm)®G1(A1 ..., Аn). Так как эта зависимость эквивалентна соотношению

(2.35)

то G(A1 ..., An) = `G1(A1 ..., Аn) и является искомой функцией.

Если наряду с (2.35) справедливо соотношение F(Ω1, ..., Ωm)®G(A1 ..., Аn), то F(Ω1, ..., Ωm) =
= G(A1 ..., Аn), т. е. G(A1 ..., Аn) представляет собой полный набор импликант функции F(Ω1, ..., Ωm), через сумму которых эта функция может быть выражена.

Методы решения прямой и обратной задач распознавания основываются на построении сокра-щенного базиса bс[А1 ..., Аn; (Ω1, ..., Ωm)], определяемого следующим образом. Соотношения (2.31) накладывают определенные ограничения на возможные комбинации значений истинности элементов Аn..., А…; Qb..., Qm, так что не все столбцы полного базиса b[А1, ..., Аn; (Ω1, ..., Ωm)] совместны с этими соотношениями. Если отбросить столбцы базиса b[А1... Аn; (Ω1, ..., Ωm)], противоречащие хотя бы одному из соотношений (2.31), то оставшиеся столбцы, по определению, образуют сокращенный в соответствии с данными связями базис. Сокращенный базис устанавливает соответствие между колонками базиса bс[А1 ..., Аn] и базиса bc[(Ω1, ..., Ωm)] и определяет тем самым возможные преобразования соотношений (2.31) к такому виду, для которого рассматриваемые задачи решаются либо в рамках уравнений (2.32) или (2.35), либо (2.34).

Рассмотрим конкретный пример.

Предположим, что при некоторых условиях, характеризуемых признаками А1 А2, А3, в системе могут протекать процессы Ω1, Ω2, Ω3, причем связи между Ω1, Ω2, Ω3 и А1 А2 А3 представлены соотношениями

(2.36)

Изображающие числа булевых функций, представленных соотношениями (2.36), относи-тельно базиса b[А1 А2, А3; Ω1, Ω2, Ω3] соответственно равны 001 110 001 110 и 100 100 011 011.

Перемножив эти два изображающих числа, получим 000 100 001 010. Следовательно, соотношения (2.36) удовлетворяются только при таких комбинациях значений истинности элементов А1, А2, А3, Ω1, Ω2, Ω3, которые соответствуют 3, 13, 16, 28, 33, 47, 50 и 62-му столбцам базиса b[А1 А2, А3; Ω1, Ω2, Ω3]. Сохраняя перечисленные колонки и отбрасывая остальные, получим следующий сокращенный базис:

(2.37)

Разобьем базис (2.37) на два базиса: bс[А1, А2, А3] и bc[Ω1, Ω2, Ω3]. Тогда сокращенный базис bc[Ω1, Ω2, Ω3] будет совпадать с полным стандартным базисом b[Ω1, Ω2, Ω3 ] и bс[А1, А2, А3] и будет представлять собой полный нестандартный базис для элементов А1, А2, А3. Пусть i и j обозначают порядковые номера столбцов стандартных базисов b[Ω1, Ω2, Ω3 ] и b[А1, А2, А3] соответственно.

Базис (2.37) устанавливает следующее взаимно однозначное соответствие между значениями i и j:

(2.38)

или при другом порядке расположения чисел:

(2.39)

Из (2.38) следует, что изображающие числа #Al, #А2 и #А3 относительно базиса b[Ω1, Ω2, Ω3] запишутся как

(2.40)

а перестановочная матрица ||Rij|| будет иметь вид

(2.41)

Аналогично (2.39) показывает, что в базисе b[А1, А2, А3]

(2.42)

а матрица ||Rij|| перехода от переменных Ω1, Ω2, Ω3 к переменным А1, А2, А3 получается как транспонированная по отношению к матрице (2.41). Полученный результат означает, что исходные связи (2.36) полностью эквивалентны либо соотношениям (2.40), либо соотношениям (2.42).

Предположим, что протекающие в рассматриваемой системе процессы проявляют себя через совокупности признаков А1, А2, А3, причем сведения о признаках Aj можно представить в виде булевой функции G(A1, A2, А3), например

(2.43)

Какие выводы можно сделать относительно процессов Ω1, Ω2, Ω3 на основании информации (2.43) и соотношений (2.36)? По (2.26)

и, следовательно,

(2.44)

т. е. либо протекает только один процесс Ω3, либо можно утверждать, что процесс Ω1 протекает, а относительно процессов Ω2 и Ω3 ничего сказать нельзя, либо, наконец, имеет место Ω1, , Ω3. При таком не очень определенном выводе может потребоваться узнать, какие признаки из числа признаков А1, А2, А3 должны быть обнаружены дополнительно, чтобы убедиться, что в системе протекает только процесс Ω1 т. е. F(Ω1, Ω2, Ω3) = Ω1 ×`Ω2 ×`Ω3. В соответствии с (2.22)

# () = ||0|| ´

откуда

(2.45)

т. е. в группе наблюдений, где было установлено A1 ×`A2, требуется дополнительно обнаружить наличие признака A3, утверждения (2.44) и (2.45) имеют смысл необходимых и достаточных условий, когда посылки и следствия полностью эквивалентны.

3. ЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБЪЕКТОВ И ЯВЛЕНИЙ

Для решения задач распознавания объектов или явлений на практике приходится прибегать к пострению систем распознавания. При практическом построении систем распознавания необходи-мо использовать большие массивы данных о признаках объектов. Общее число классов объектов и признаков, на языке которых они описываются, может доходить до нескольких сотен. Построение логических систем распознавания ¾ систем, содержащих большое число классов и признаков, оценка эффективности которых связана со значительными трудностями.

В данной главе рассматривается идея использования сокращенного базиса применительно к логическим системам распознавания с большим числом элементов. Показаны особенности построения алгоритмов решения логических задач, возникающих при построении систем распознавания и реализации этих алгоритмов на ЭВМ.

3.1. Решение задач распознавания при большом числе элементов

Приложение изложенных в предыдущих параграфах методов построения сокращенного базиса и решения логических задач существенно ограничивается объемом памяти ЭВМ и их быст-родействием. Так, например, если общее число элементов А1, ..., Аn; Ω1 ..., Ωm равно 20, то полный базис b[А1 ..., Аn; Ω1 ..., Ωm] содержит 220=1 столбцов. Операции с изображающими числами 1 ∙ 106 разрядов и матрицами такой же размерности невыполнимы на современных ЭВМ. Для построения сокращенного базиса необязательно перебирать все колонки полного базиса и проверять истинность булевых функций (2.31), представляющих собой наложенные на элементы А1, ..., Аn; Ω1 ..., Ωm связи при всех возможных комбинациях значений истинности этих элементов. Вместо этого можно выписать только те колонки базиса b[А1, ..., Аn; Ω1 ..., Ωm], которые удовлетворяют (2.31). Чтобы построить таким способом сокращенный базис bС[А1, ..., Аn; Ω1 ..., Ωm], необходимо представить исходные связи (2.31) в виде

(3.1)

и перемножить функции fl..., fn. Так как функции fl..., fn должны быть истинны одновременно, то условия (3.1) можно записать в виде одного соотношения:

(3.2)

где обозначает конъюнкцию функций f1 ...,fn.

Если представить функцию Е(А1 ..., Аn; Ω1 ..., Ωm) в СДНФ

(3.3)

то каждое слагаемое (3.3), являясь элементарным произведением, явным образом указывает те значения истинности элементов А1, ..., An; Ω1 ..., Ωm, при которых функция Е истинна, и, следовательно, может быть интерпретировано как колонка сокращенного базиса. Например, функции (3.3) соответствуют следующие колонки базиса bс[А1 ..., Аn; Ω1 ..., Ωm]:

(3.4)

Так как при представлении булевой функции в СДНФ суммируются те и только те элемен-тарные произведения, при которых данная функция истинна, то (3.4) действительно содержит все колонки базиса bс[А1 ..., Аn; Ω1 ..., Ωm], сокращенного в соответствии со связями (3.1) или (3.2).

Рассмотрим соотношение В, связывающее элементы А, В, С, X, Y. По определению эквивалентности, данное соотношение можно записать в виде или в виде

(3.5)

Представим функцию (3.5) в СДНФ:

(3.6)

Трансформируя каждое слагаемое в (3.6) в колонку сокращенного базиса bС[А, В, С, X, Y], получим

(3.7)

Базис (3.7) устанавливает следующее соответствие между номерами i и j столбцов базисов b[А, В, С] и b[X, Y]:

Этот результат совпадает с результатом, полученным в п. 2.6.

В некоторых случаях при формировании функции Е(А1 ..., Аn; Ω1 ..., Ωm) = 1, представляющей наложенные на элементы А1 ..., Аn; Ω1 ..., Ωm связи, необходимо производить как умножение, так и сложение отдельных соотношений вида (3.1). Например, если в задаче, рассмотренной в п. 2.6, в качестве исходных зависимостей, связывающих элементы А, В, С и А¢, В¢, С¢, взять соотношения (2.27) и (2.29)

(3.8)

или

(3.9)

то для построения сокращенного базиса bС[А, В, С; А¢, В¢, С¢] необходимо вначале сложить левые части соотношение С × (A¢ × B¢ + ×`B¢) +`C × (A¢×`B¢ + × B¢) = I; C × (×`B¢ + × C¢ + A¢ ×`B¢ ´`C¢) + +`C¢ × (A¢ ×`B¢ + A¢ × C¢ +`A¢ × B¢ × C¢), эквивалентных зависимостям 3.9), и полученный результат умножить на функции и

эквивалентные связям (3.8). Тогда

(3.10)

Трансформируя отдельные слагаемые выражения (3.10) в колонки сокращенного базиса, будем иметь

. (3.11)

Соответствие между номерами i и j столбцов базисов b[А, В, С] и b[А¢, B¢, С] в виде:

полностью согласуется с соответствием, устанавливаемым перестановочными матрицами ||Rij|| в (2.28) и (2.29).

Вернемся еще раз к задаче о нахождении неизвестной функции F(Ω1, Ω2,...,), удовлетво-ряющей уравнению

(3.12)

где G(A1, А2, ...) — заданная функция, А1, А2, ...; Ω1, Ω2, ... — элементы, связанные зависимостями (2.31).

С формальной точки зрения сведения G(А1, А2,...) о признаках А1, А2 ... распознаваемых объектов, явлений или процессов Ω1, Ω2 можно рассматривать как дополнительную связь

(3.13)

накладываемую на элементы А1, А2, ..., наряду с зависимостями (2.31). Соотношение (3.13) выра-жает утверждение, что некоторая совокупность признаков, характеризующая распознаваемые яв-ления (процессы) Ω1, Ω2, ... и представленная функцией G(A1, A2, ...), действительно имеет место.

Для нахождения функции F(Ω1, Ω2) необходимо определить, какие комбинации классов Ω1, Ω2... будут истинны при различных предположениях об истинности признаков А1, А2, ... . Наибо-лее просто эта задача решается для случая, когда функция G(A1, A2, ...) имеет вид элементарного произведения, составленного из А1, А2, ..., так как при этом значения истинности А1, А2, ... определены однозначно. Пусть, например, применительно к связям (3.5) дополнительно утверждается, что

(3.14)

Соотношение (3.14) справедливо тогда и только тогда, когда одновременно А = 0, В = 1, С = 1. Подставляя эти значения истинности элементов А, В, С в (3.5), получим или после упрощения

(3.15)

Следовательно, из истинности функции (3.14) следует истинность (3.15), т. е.

В общем случае функция G(A1, A2, ...) представляется в виде суммы нескольких элементарных произведений и предыдущие рассуждения применяются отдельно к каждому слагаемому. Логи-ческая сумма полученных следствий будет представлять собой искомую функцию F(Ω1, Ω2...).

Действительно, пусть для произвольных элементов а, b, с, d справедливы зависимости a®b, c®d или

(3.16)

Перемножая левые части (3.16), добавляя слагаемое b × d и объединяя члены получим откуда на основании (3.16) находим или

(3.17)

Например, допустим, что при наличии связи (3.10) дополнительно утверждается, что или в СДНФ Последовательно под-ставляя в (3.10) значения А = 1, В = 0, С = 1; А = 1, В = 0, С = 0, А = 0, В = 0, С = 1 и складывая полученные результаты, найдем т. е.

(3.18)

Между отдельными слагаемыми функции Е[А1, А2, ...; Ω1, Ω2) и колонками базиса bс[А1, А2, ...; Ω1, Ω2] имеется взаимно однозначное соответствие. Если каждый суммируемый член в функции G(A1, A2, ...) представить также в виде колонки, аналогичной колонкам базиса b[А1, А2, ...], то ум-ножение функции Е на функцию G можно выполнить как операцию над колонками сокращенного базиса bс[А1, А2, ...; Ω1, Ω2...] и колонками, отвечающими функции G. Такое представление функций E и G весьма удобно в случае, когда для решения логической задачи по определению следствий, вытекающих из заданных посылок, привлекается ЭВМ.