«Теория принятия решений» (стр. 4 )

Оптимистическое время - время выполнения работы i в наиболее благоприятных условиях.

Наиболее вероятное время - время выполнения работы i в нормальных условиях.

Пессимистическое время - время выполнения работы i в неблагоприятных условиях.

Учитывая, что время выполнения работы хорошо описывается бета – распределением, среднее или ожидаемое время ti выполнения работы i может быть определено по формуле

Если время выполнения работы i известно точно и равно, то

Располагая указанными выше тремя оценками времени выполнения работы, мы можем также рассчитать общепринятую статистическую меру неопределенности – дисперсию или вариацию vari времени выполнения работы i:

Если время выполнения работы i известно точно, то = vari = 0.

Пусть Т - время, необходимое для выполнения проекта. Если в проекте есть работы с неопределенным временем выполнения, то время Т является случайной величиной. Математическое ожидание (ожидаемое значение) времени выполнения проекта Е(Т) равно сумме ожидаемых значений времени выполнения работ, лежащих на критическом пути. Для определения критического пути проекта может быть использован метод CPM. На этом этапе анализа проекта время выполнения работы полагается равным ожидаемому времени ti. Вариация (дисперсия) общего времени, требуемого для завершения проекта, в предположении о независимости времен выполнения работ равна сумме вариаций работ критического пути. Если же две или более работы взаимозависимы, то указанная сумма дает приближенное представление о вариации времени завершения проекта.

Распределение времени T завершения проекта является ассимптотически нормальным со средним Е(Т) и дисперсией (T). С учетом этого можно рассчитать вероятность завершения проекта в установленный срок T0. Для определения вероятности того, что T≤T0, следует использовать таблицу распределения величины z=(T0-E(T))/s(T), которая имеет стандартное нормальное распределение.

Пример 1.

Конструкторское бюро Московского часового завода разработало новый настольный радиобудильник. По мнению проектировщиков, запуск в серию нового продукта позволит расширить рынок сбыта и получить дополнительную прибыль. Руководство МЧЗ приняло решение провести работу по изучению возможности реализации нового продукта. Конечным результатом этого исследования должен стать доклад с рекомендациями относительно действий, которые должны быть предприняты для организации производства и сбыта нового продукта. Перечень работ и характеристики времени их выполнения (в неделях) указаны в следующей таблице.

Работа	Содержание работы	Непосредственно предшествующая работа	Оптимистическое время ai	Наиболее вероятное время mi	Пессимистическое время bi
A	Подготовить конструкторский проект	-	4	5	12
B	Разработать маркетинговый план	-	1	1,5	5
C	Подготовить маршрутные карты	A	2	3	4
D	Построить прототип	A	3	4	11
E	Подготовить рекламную брошюру	A	2	3	4
F	Подготовить оценки затрат	C	1.5	2	2.5
G	Провести предварительно тестирование	D	1.5	3	4.5
H	Выполнить исследование рынка	B, E	2.5	3.5	7.5
I	Подготовить доклад о ценах	H	1.5	2	2.5
J	Подготовить заключительный доклад	F, G,I	1	2	3

1. Определите критический путь для данного проекта.

2. Чему равно ожидаемое время выполнения проекта?

3. С какой вероятностью проект может быть выполнен за 20 недель.

На следующем рисунке показано графическое представление этого проекта.

Решение.

Используя информацию, указанную в таблице, определим ожидаемое время и вариацию времени выполнения каждой работы проекта. Например, для работы A:

tA = (aA + 4 mA + bA)/6 = (4 + 4 * 5 + 12)/6 = 6 ;

= varA = ((bA - aA )/6 )2 = ((12 – 4)/6)2 = 1.78.

Проводя аналогичные расчеты для других работ, получаем следующую таблицу.

Работа	Ожидаемое время ti	Дисперсия	Непосредственно предшествующая работа
A	6	1.78	-
B	2	0.44	-
C	3	0.11	A
D	5	1.78	A
E	3	0.11	A
F	2	0.03	C
G	3	0.25	D
H	4	0.69	B, E
I	2	0.03	H
J	2	0.11	F, G,I

Полагая время выполнения работы равным ожидаемому времени ее выполнения ti, находим критический путь, используя метод CPM.

 Результаты расчетов представлены в следующей таблице.

Работа	Время выполнения	tрн	tро	tпн	tпо	Дисперсия	R
A	6	0	6	0	6	1.78	0
B	2	0	2	7	9	0.44	7
C	3	6	9	10	13	0.11	4
D	5	6	11	7	12	1.78	1
E	3	6	9	6	9	0.11	0
F	2	9	11	13	15	0.03	4
G	3	11	14	12	15	0.25	1
H	4	9	13	9	13	0.69	0
I	2	13	15	13	15	0.03	0
J	2	15	17	15	17	0.11	0

Критический путь для данного проекта включает работы A, E, H, I, J. Длина критического пути равна 6 + 3 + 4 + 2 + 2 = 17. Это означает, что ожидаемое время выполнения проекта составляет 17 недель.

Предполагая, что распределение времени выполнения проекта является нормальным, мы можем определить вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель. Определим дисперсию времени выполнения проекта. Ее значение равно сумме значений дисперсий времен выполнения работ на критическом пути: s2(T)= 1.78+ 0.11 + 0.69 + 0.03 +0.11 = 2.72. Тогда, учитывая, что s(T) = 1.65, находим значение z для нормального распределения при T0=20:

z = (T0-E(T))/ s(T) = (20-17) /1.65 = 1.82.

Используя таблицу нормального распределения, находим вероятность того, что время T выполнения проекта находится в интервале E(T)≤T≤T0. На пересечении столбца «1.8» и строки «0.02» таблицы нормального распределения находим значение 0.4656. Следовательно, искомая вероятность того, что время T выполнения проекта находится в интервале 0≤T≤T0, т. е. вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель при ожидаемом времени его выполнения 17 недель, равна 0.5 + 0.4656 = 0.9656.

Контрольные вопросы.

1.  Метод PERT разработан для:

а.  описания проектов, путем указания всех работ, предшествующих данной работе

б.  описания проектов, путем представления каждой работы в виде пары узлов сети

в.  минимизации издержек на сокращение продолжительности проекта

г.  нахождения критического пути для проектов с заданным временем выполнения каждой работы

д.  нахождения критического пути для проектов с неопределенным временем выполнения работ

2.  Объясните суть оптимизации сетевых моделей по критерию «Время - затраты».

3.  Какими свойствами должна обладать работа, выбираемая на конкретном шаге для сокращения?

2.5. Варианты заданий по теме «Метод PERT»

Вариант 1

Ниже даны оценки продолжительности выполнения работ (в днях) применительно к небольшому проекту:

Работа	Оптимистическое время аi	Наиболее вероятное время mi	Пессимистическое время bi
A	4	5	6
B	8	9	10
C	7	7.5	11
D	7	9	10
E	6	7	9
F	5	6	7

Рассчитайте ожидаемое время выполнения и дисперсию для каждой работы. Известно, что критический путь составляют работы B, D, F.

Найдите:

§  чему равно ожидаемое время выполнения работы B;

§  чему равна дисперсия времени выполнения работы D;

§  ожидаемое время выполнения проекта;

§  чему равна дисперсия времени выполнения проекта.

Вариант 2

Проект строительства плавательного бассейна состоит из девяти основных работ. Работы, их непосредственные предшественники и оценки времени выполнения работ в днях показаны ниже.

Работа	Непосредственно предшествующая работа	Оптимистическое время аi	Наиболее вероятное время mi	Пессимистическое время bi
A	-	3	5	6
B	-	2	4	6
C	A, B	5	6	7
D	A, B	7	9	10
E	B	2	4	6
F	C	1	2	3
G	D	5	8	10
H	D, F	6	8	10
I	E, G, H	1	4	5

Постройте сеть для этого проекта.

Найдите:

§  каков ожидаемый срок завершения проекта;

§  чему равна стандартная ошибка (корень квадратный из дисперсии) времени завершения проекта;

§  какова вероятность того, что проект будет выполнен за 24 рабочих дня.

Вариант 3

Рассмотрите следующий проект (оценки времени выполнения работ указаны в неделях).

Работа	Непосредственно предшествующая работа	Оптимистическое время ai	Наиболее вероятное время mi	Пессимистическое время bi
A	-	4	5	6
B	-	2.5	3	3.5
C	A	6	7	8
D	A	5	5.5	9
E	B	5	7	9
F	D, E	2	3	4
G	D, E	8	10	12
H	C, F	6	7	14

Найдите:

§  какова ожидаемая продолжительность проекта;

§  какова вероятность того, что проект будет завершен за 21 неделю;

§  какова вероятность того, что проект будет завершен за 25 недель.

§   

2.6. Оптимизация сетевых моделей по критерию «время-затраты»

Оптимизация сетевого графика представляет процесс улучшения организации выполнения комплекса работ с учетом срока его выполнения. Она проводится с целью сокращения длины критического пути, рационального использования ресурсов.

В первую очередь принимаются меры по сокращению продолжительности работ, находящихся на критическом пути. Это достигается: перераспределением всех видов ресурсов, как временных (использование резервов времени некритических путей), так и трудовых, материальных, энергетических; сокращением трудоемкости критических работ за счет передачи части работ на другие пути, имеющие резервы времени; параллельным выполнением работ критического пути; изменением состава работ и структуры сети.

В процессе сокращения продолжительности работ критический путь может измениться и в дальнейшем процесс оптимизации будет направлен на сокращение продолжительности работ нового критического пути и так будет продолжаться до получения удовлетворительного результата. В идеале длина любого из полных путей может стать равной длине критического пути. Тогда все работы будут вестись с равным напряжением, а срок выполнения проекта существенно сократится.

2.6.1. Методика оптимизации сетевых моделей по критерию «Время – затраты»

Целью оптимизации по критерию «Время – затраты» является сокращение времени выполнения проекта в целом. Эта оптимизация имеет смысл только в том случае, когда время выполнения работ может быть уменьшено за счет задействования дополнительных ресурсов, что приводит к повышению затрат на выполнение работ (см. Рисунок 1). Для оценки величины дополнительных затрат, связанных с ускорением выполнения той или иной работы, используются либо нормативы, либо данные о выполнении аналогичных работ в прошлом. Под параметрами работ и понимаются так называемые прямые затраты, непосредственно связанные с выполнением конкретной работы. Таким образом, косвенные затраты типа административно-управленческих в процессе сокращения длительности проекта во внимание не принимаются, однако их влияние учитывается при выборе окончательного календарного плана проекта.

Рисунок 1. Зависимость прямых затрат на работу от времени ее выполнения

Важными параметрами работы (i, j) при проведении данного вида оптимизации являются:

·  коэффициент нарастания затрат

,

который показывает затраты денежных средств, необходимые для сокращения длительности работы (i, j) на один день;

·  запас времени для сокращения длительности работы в текущий момент времени ,

где tT(i, j) – длительность работы (i, j) на текущий момент времени, максимально возможное значение запаса времени работы равно

.

Эта ситуация имеет место, когда длительность работы (i, j) еще ни разу не сокращали, т. е. .

Общая схема проведения оптимизации «время-затраты»

1. Исходя из нормальных длительностей работ , определяются критические Lkp и подкритические Lп пути сетевой модели и их длительности Tkp и Tп.

2. Определяется сумма прямых затрат на выполнение всего проекта при нормальной продолжительности работ.

3. Рассматривается возможность сокращения продолжительности проекта, для чего анализируются параметры критических работ проекта.

3.1. Для сокращения выбирается критическая работа с min коэффициентом нарастания затрат k(i, j), имеющая ненулевой запас времени сокращения ZT(i, j).

3.2. Время , на которое необходимо сжать длительность работы (i, j), определяется как

,